Пересечение многогранника прямой линией

При пересечении прямой линии с поверхностью выпуклого многогранника получается две точки встречи - точка входа и выхода.

Их определение основано на решении первой основной позиционной задачи - построить точку пересечения прямой линии с плоскостью (гранью). Алгоритм решения этой задачи заключается в следующем:

а) через заданную прямую проводим вспомогательную плоскость (обычно проецирующую);

б) строим проекции сечения многогранника этой плоскостью, как показано на примере 1;

в) определяем искомые точки в пересечении заданной прямой со сторонами построенного сечения;

г) определяем видимость прямой линии относительно поверхности многогранника.

Пример 3. Построить точки пересечения прямой l общего положения с поверхностью октаэдра R. (см. рис. 4.4).

Запишем решение в символической форме:

1. SÉl, на П₂ S₂ºl₂

2. SÇR=123456,

на P₂ l₂º1₂2₂3₂4₂5₂6_2,

наП₁ строим 1₁2₁3₁4₁5₁6₁

3.l₁Ç1₁2₁3₁4₁5₁6₁=K₁LN₁на P₂находим K₂ и N₂.

4. Видимость концов прямой можно определить по видимости граней, которым принадлежит точка К и М.

Взаимное пересечение многогранников

Две многогранные поверхности в общем случае пересекаются по пространственной замкнутой ломаной линии. В частных случаях эта ломаная может распадаться на две и более замкнутые ломаные линии. Вершинами ломаной являются точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого. Стороны ломаной представляют собой отрезки прямых, по которым пересекаются грани многогранников.

Отсюда следует два способа построения линии пересечения поверхностей многогранников: способ ребер и способ граней. Выбор одного из этих способов или их комбинаций зависит от свойств данных многогранников.

Рассмотрим один из примеров. Построить линию пересечения поверхностей горизонтально проецирующей трехгранной призмы и трехгранной пирамиды (рис. 4.5.). Так как боковые грани призмы являются горизон-тально проециру-ющими плоскостями, то определение точек пересечения ребер SA, SB, SC пирамиды с гранями призмы выпоняется просто: горизонтальные проекции этих точек получаются в результате пересечения горизонтальных проекций указанных ребер с вырожденными проекциями граней призмы.

У призмы боковое ребро ММ^¢ пересекается с поверхностью пирамиды. Для определения точек ее пересечения с поверхностью пирамиды через их проекции 6₁,8₁ на П₁ проводим вспомогательные прямые S9 и S10, соответственно принадлежащие граням SAB и SAC, которые пересекаясь на П₂ с ребром ММ^¢, определяют недостающие проекции вершин 6,8 (6₂,8₂) искомой линии пересечения. Эта искомая линия, как видим, состоит из двух замкнутых линий 1231 и 456784.

Вопросы для самопроверки к лекции 4:

1. Какие многогранники Вы знаете?

2. Чем руководствоваться при определении видимости с ребер многогранника?

3. Как можно построить сечение многогранника плоскостью?

4. Каков алгоритм нахождения точек пересечения многогранника с прямой линией?

ЛЕКЦИЯ 5

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Помимо позиционных задач, рассматривающих лишь относительное расположение фигур в пространстве, в инженерной практике часто приходится решать задачи, в которых выясняются вопросы измерения отрезков и углов, определения натуральной величины плоских фигур, определение расстояний и др. Такие задачи называют метрическими задачами. Их решение сводится к решению простейших (базовых) задач. К ним в первую очередь следует отнести:

¨ определение натуральной величины отрезка, заданного своими проекциями;

¨ построение проекций прямых, перпендикулярных друг другу и прямой, перпендикулярной данной плоскости.

Поэтому изложение теории и алгоритмов решения метрических задач начнем с рассмотрения сформулированных задач.