Пример 1. Произвести 0-1 нормализацию 
вида: 
.
Решение.
Нормализация производится для существенных игр, т.е. 
. Проверим, является ли игра существенной: 
или 
- игра существенная. Нормализация характеристической функции производится по формуле
Для рассматриваемой игры 
. Определим 
на 
и 
(по определению, 
):
а) для имеем: 
, 
б) для имеем: 
Получили 
вида
Пример 2. Для 
из примера 1 привести примеры дележей.
Решение.
По определению, вектор 
является дележом в условиях 
, если для него выполняются условия индивидуальной и коллективной рациональности:
Для 0-1 нормализации - имеем: 
тогда 
. Действуя в соответствии с этими соотношениями, получим следующие дележи: пусть 
тогда имеем дележ с компонентами: 
; пусть 
тогда компоненты дележа и дележ равны: 
. Отметим, что дележей – бесконечное множество.
Пример 3. Для примера 1 привести примеры дележей 
и 
таких, что доминирует на коалиции 
- 
.
Решение.
Дележ 
доминирует дележ 
на коалиции (по коалиции) 
, если выполняются условия:
а) 
- условие доминирования компонент;
б) 
- условие реализуемости дележа.
Пусть 
проверим условия доминирования на 
:
а) 
или 
- условия выполняются;
б) 
или 
- не выполняется, т.е. дележ нереализуем.
Пусть 
проверим условие доминирования:
а) 
или 
- выполняются;
б) 
или 
- выполняется, значит дележ доминирует дележ на 
в условиях 
примера 1.
Пример 4. Показать, какой из двух дележей 
, 
предпочтительней другого, если условия реализуемости дележей выполняются.
Решение.
Возможные варианты доминирований: 
. Условия покомпонентного доминирования выполняется для 
для дележа 
:
, т.к. 
или 
Для остальных коалиций ни один из вариантов доминирования не выполняется. Геометрическая интерпретация решения приводится на рис. 12, рис. 13.
|
|
Рис. 12. Множества дележей, доминируемых дележом 
Рис. 13. Множества дележей, доминируемых дележом 
Пример 5. Игра «джаз-оркестр». Постановка задачи. Оркестр из трех человек: певец, пианист, ударник, за совместную игру в клубе может получить 1000 ден.ед.; за выступление певца с пианистом – 800 ден.ед.; за выступление ударника и пианиста – 650 ден. ед.; за выступление пианиста (соло) – 300 ден.ед. Другие дуэты не рассматриваются, т.к. присутствие пианиста обязательно. Кроме того, работая в кафе, певец и ударник могут заработать 500 ден.ед., а один певец – 200 ден.ед.; один ударник не зарабатывает ничего.
Найти справедливое распределение максимального выигрыша, с учетом приведенных возможностей оценки индивидуальной и коллективной работы.
Решение.
Имеем 
трех лиц: 
- певец, 
- пианист, 
- ударник. Примем в качестве критерия оптимальности дележей устройчивость в смысле С-ядра. По определению, дележ принадлежит С-ядру, если выполняются условия
(2.13)
Прежде чем записать условия (2.13),формализуем характеристическую функцию игры:
(2.14)
Произведем 0-1 нормализацию 
, по формуле
1) 
- по определению;
2) 
Получили 0-1 нормализацию
(2.15)
Из (2.15) имеем: 
. Проверим необходимые условия существования непустого С-ядра
или 
, значит 
.
Запишем условия (2.13) и, используя условие коллективной рациональности, запишем ограничения на выигрыши игроков:
или 
или 
(2.16)
Дадим геометрическую интерпретацию С-ядра (рис. 14).
Рис. 14. С-ядро игры «джаз-оркестр»
В соответствии с рис. 14, любая точка заштрихованного треугольника является дележом игры. В качестве примеров дележей возьмем точки,
|
|
соответствующие вершинам 
:
1) вершина А: 
, тогда имеем дележ 
2) вершина B: 
тогда имеем дележ 
3) вершина С: 
тогда имеем дележ 
.
Пример 6. Показать, что для 
с постоянной суммой решение по Нейману-Моргенштерну состоит из трех дележей:
Решение.
По определению, множество дележей, составляющих решение по Нейману-Моргенштерну, обладает свойствами внутренней и внешней устойчивости; проверим эти свойства.
1. Внутренняя устойчивость – никакие два дележа не доминируют друг друга. Рассмотрим все возможные доминирования дележей: 
и наоборот - 
на коалициях 
. По определению, дележ 
доминирует дележ 
на коалиции 
если:
а) 
б) 
Условие а) не выполняется ни для одного дележа, значит доминирования на коалиции нет. Аналогично проверяются доминирования на коалициях 
.
2. Внешняя устойчивость – множество дележей 
обладает внешней устойчивостью, если любой дележ 
, не принадлежащий множеству 
, доминируется дележом из 
. Рассмотрим следующие группы дележей 
.
Группа а) 
: дележ 
доминируется дележом 
на коалиции 
; дележ 
доминируется дележом 
на коалиции 
; дележ 
доминируется дележом 
на коалиции 
.
Группа б) одна компонента дележа 
больше 
, а сумма двух других компонент меньше 
: если 
, а 
, то дележ 
доминируется дележом 
на коалиции 
- 
; если 
, а 
, то 
; если 
, а 
, то 
.
Таким образом, указанная совокупность дележей есть решение игры по Нейману-Моргенштерну.
Пример 7. Для 
c 
найти 
и проверить, является ли С-ядро решением по Нейману-Моргенштерну; 
имеет вид:
Решение.
|
|
1) Произведя нормализацию 
получим
2) Дележ принадлежит 
, если 
или 
или 
Проверим условие существования непустого 
:
или 
- ядро непустое.
Геометрическая интерпретация 
приводится на рис. 15.
Рис. 15. Непустое С-ядро игры.
3) Если для 
в 0-1 редуцированной форме выполняются условия
(2.18)
то 
непустое и является решением по Нейману-Моргенштерну. Проверим условия (2.18):
а) 
- условие выполняется;
б) 
- условие не выполняется;
в) 
- условие не выполняется.
Условия (2.18) не выполняются, следовательно С-ядро не является решением по Нейману-Моргенштерну.
С-ядро не является решением по Нейману-Моргенштерну.