Способ вспомогательных плоскостей применяется для построения линии пересечения таких пар поверхностей, которые пересекаются с семейством посредников по графически простым линиям (прямым и окружностям). Такие пары поверхностей составляют:
¨ две плоскости;
¨ плоскость и поверхность многогранника;
¨ две многогранные поверхности;
¨ плоскость и линейчатая поверхность;
¨ плоскость и поверхность вращения;
¨ две поверхности вращения с параллельными осями;
¨ две конические, коническая и цилиндрическая, две цилиндрические поверхности;
¨ две линейчатые поверхности с общей плоскостью параллелизма и некоторые другие пары поверхностей.
Некоторые примеры с плоскостями и гранными поверхностями мы рассмотрели ранее. Остановимся на примерах с криволинейными поверхностями.
Пример 1. Построить линию пересечения конической поверхности вращения Ф (i,m) со сферой D(O,r) (рис. 12.1).
Рис.12.1 |
Обе поверхности в качестве горизонталей со-держат семейства окружностей, поэтому в качестве посредника мы примем горизонтальные плоскости уровня Гi.
Экстремальные (выс-шая и низшая) точки А,В линии пересечения определяются проведением общей плоскости симметрии S(i,O) данных поверхностей. Точками видимости на П2 будут эти же точки, так как они принадлежат очерковым линиям поверхности конуса и сферы на П2. Точки видимости D1,D¢1 на П1 определяются проведением посредника Г, проходящего через центр сферы. В этом случае плоскость Г пересекает сферу по окружности d, проекция d1 которой на П1 будет очерковой.
Случайные точки 1,1¢ и 2, 2¢ линии пересечения l определяются проведением горизонтальных плоскостей уровня Г¢ и Г¢¢: Г¢ÇF=q¢, G¢ÇD=d¢, q¢Çd¢=1,1¢; Г²ÇF=q², Г²ÇD=d², q²Çd²=2,2¢.
Так как общая плоскость симметрии S данных поверхностей параллельна П2 то на П2 видимая и невидимая ветви проекции l2 линии пересечения совпадают. На П1 проекция дуги DАD¢ линии пересечения видима, а проекция дуги D¢ВD - невидима; в точках D1,D¢1 горизонтальная проекция l1 линии пересечения касается очерковой линии d1 сферы.
| Рис.12.2 |
Пример 2. Построить линию пересечения l отсеков конических поверхностей Ф(S,а), D(S¢,b), направляющие а, b которых принадлежат одной плоскости Г (рис. 12.2).
Задачу решим способом вращающейся плоскости. Этот способ применяется для построения линии пересечения двух конических, конической и цилиндрической, двух цилиндрических поверхностей. Способ состоит в том, что множество (пучек) плоскостей - посредников qi проходящих, через вершины S,S¢ данных конических поверхностей Ф, D, пересекает последние по образующим. При этом прямая s=S È S¢ является осью пучка плоскостей - посредников. Очевидно, название способа связано с кинематическим образованием пучка плоскостей qi, проходящих через фиксированную прямую s.
Порядок решения поставленной задачи будет следующим:
1. Строим прямую s=S È S¢ и находим точку М ее пересечение с плоскостью Г направляющих а,b данных конических поверхностей.
2. Находим экстремальные точки L¢(L¢1,L¢2) и L²(L²1,L²2) линии пересечения l(l1,l2). Для этого в плоскости Г через точку М проводим такие прямые m¢,m², которые проходили бы через концы дуги одной направляющей и пересекли бы вторую направляющую. В нашем случае А¢=m¢Ça, А²=m²Ça. Прямые m¢,m² (плоскости q¢(sÇm¢), q²(sÇm²)) задают пределы изменения положения посредника qi. Плоскость q¢ пересекает коническую поверхность Ф по граничной образующей SА¢, а поверхность D- по образующей S¢В¢. Точка L¢=SА¢ÇS¢В¢ пересечения этих образующих определяет одну из экстремальных точек L¢. Аналогично определяется вторая экстремальная точка L².
3. Строим случайные точки линии пересечения. Для этого угол m¢1M1m²1 делим на несколько частей прямыми mi1 (на рис. 12.2 показана одна из таких прямых m1). Плоскость посредник q(sÇm) пересекает конические поверхности Ф,D соответственно по образующим SA(S1A1, S2A2), S¢B(S¢1B1, S¢2,B2), где A=qÇa(A1=m1Ça1), B=qÇb(B1=m1Çb1). Точка L(L1,L2) пересечения прямых SA,S¢B будет случайной точкой искомой линии l пересечения конических поверхностей Ф, D.
4. Определяем видимость на П1 с помощью конкурирующих точек 1,2, а на П2 - точек 3,4.
Способ сфер