Графическая интерпретация результатов исследований

Раздаточный материал

Приближенная оценка нормальности распределения исследуемой величины может быть выполнена с использованием выборочных характеристик: коэффициента асимметрии и эксцесса, определяемых по формулам

	k = Sni (xi - )3 / (n.Sx3), i=1	(31)
	k = Sni (xi - )4 / (n.Sx4), i=1	(32)

 

где - эмпирический коэффициент асимметрии;

- эксцесс.

Пример. По данным, приведенным в табл.8, вычислить эмпирический коэффициент асимметрии и эксцесс для распределения давлений в гидросистеме управления дорожной машины.

12.3689

Коэффициент асимметрии = - ------------ = -0.47.

46.407 120^.0.60³

Эксцесс = ------------ -3 = -0.03.

120^.0.60⁴

Вспомогательные вычисления заносим в табл.12.

 

Таблица 12

Расчет эмпирических характеристик асимметрии и эксцесса распределения давлений в гидросистеме управления дорожной машины

№ интервала	Эмпирическая частота	Середина интервалов	(Rj - )3.nj	(Rj - )4.nj
j	nj	Rj,
		3.96	-15.8826	23.3474
		4.36	-6.1252	6.5540
		4.86	-4.2107	2.8212
		5.16	-0.5118	0.1382
		5.56	0.0659	0.0086
		5.96	4.7641	2.5250
		6.36	4.8261	4.4883
		6.76	4.7053	6.2580
			-12.3689	46.1407

 

Более строгий метод проверки гипотезы о нормальном распределении результатов экспериментальных исследований основан на использовании «хи-квадрат» критерия, разработанного К.Пирсоном. Сущность этого метода заключается в оценке меры

P( > c 2a,k-r-1) = a,

(33)

 

где - вычисленное значение «хи-квадрат» критерия:

k (nj - njT)2 =S ------------; i=1 njT

(34)

n_j - эмпирическая частота;

n_jT - теоретическая частота попадания наблюдений в j-й интервал,

njт = n . Pj;

(35)

n - объем наблюдений;

P_j - теоретическая вероятность, численно равная площади, ограниченной сверху кривой распределения Гаусса, а снизу - верхней и нижней границами j-го интервала,

Pj = P(xjн < x < xjв) = P(z1 < z < z2) = Ф(z2) - Ф(z1),

(36)

где x_jн и x_jв - соответственно нижняя и верхняя границы j-го интервала;

z₁ и z₂ - нормированные случайные величины

	xjн - z1 = -------- Sx	ü ÷ ÷ ÷
	xjв - z2 = ------- Sx	ý ÷ ÷ þ	; (37)

Ф(z₂) и Ф(z₁) - интегралы вероятностей /2/:

 

		(38)
		(39)

c ² _{a ,k-r-1} - критическое значение «хи-квадрат» критерия, взятое по табл.13 при уровне значимости a и числе степеней свободы

	f = k - r - 1,	(40)

где r - число выборочных оценок, использованное для расчета теоретических частот n_jT, равное двум.

k – число интервалов

 

При	ì÷ í	>c2a,f	гипотеза отвергается (имеют место большие отклонения наблюдаемых частот от теоретических);
	÷ î	<c2a,f	гипотеза принимается.

 

 

Таблица 13

Значения c ² _{a ,f} по данным /5/

Число степеней	Уровень значимости a
свободы f	0.05	0.025	0.01
	3.8	5.0	6.6
	6.0	7.4	9.2
	7.8	9.4	11.3
	9.5	11.1	13.3
	11.1	12.8	15.1
	12.6	14.4	16.8
	14.1	16.0	18.5
	15.5	17.5	20.1
	16.9	19.0	21.7
	18.3	20.5	23.2

 

Пример. По данным примера проверить статистическую гипотезу о нормальном распределении давлений в гидросистеме управления с использованием критерия согласия c ² К.Пирсона.

Решение. Для расчета критерия используем зависимость (34). Последовательность расчета показана в табл.14, графы 1 и 2 табл.14 заполнены по данным табл.8. Частоты n_j, меньшие 5, объединены согласно условиям применения c ² - критерия.

При числе степеней свободы f=k-r-1=8-2-1=5 и уровне значимости a =0.05 по табл. 3.13 находим критическое значение «хи-квадрат»

критерия c ²_0.05;5=11,1. Поскольку имеет место неравенство =14.56 > c ² _{0.05; 5} = 11,1, то исходная гипотеза должна быть отвергнута.

 

Графический метод проверки гипотезы выполняют с помощью вероятностной бумаги, на которой в прямоугольной системе координат на оси ординат нанесена шкала, соответствующая интегралу Гаусса

(41)

а по оси абсцисс - линейная или логарифмическая шкала

аргумента х.

Функцию нормального распределения Ф(z) на вероятностной сетке строят по трем характеристическим значениям (рис.4):

при	x = ,	z = 0	Ф(z) = Ф(0) = 50%;
	x = + Sx ,	z = 1	Ф(z) = Ф(1) = 84.13%;
	x = - Sx ,	z = -1	Ф(z) = Ф(-1) = 15.87%.

 

Рис.4. Схема к иллюстрации графического метода проверки гипотезы N-распределения с помощью вероятностной бумаги

Таблица 14

Графическая интерпретация результатов исследований

И нтерпретацию результатов экспериментальных исследований в виде гистограммы, полигона частот и функции распределения исследуемой величины.

Гистограммой называют ступенчатую функцию, построенную в системе координат D _j , n_j (или D _j , n_j^I ).

Полигон частот или многоугольник распределения (эмпирическую кривую распределения) строят также в прямоугольных координатах, откладывая по оси абсцисс середины интервалов х_j (табл.8), а по оси ординат - абсолютные (или относительные) частоты n_j.

Эмпирической функцией распределения называется

функция (x), определяющая для каждого значения исследуемой величины x ее относительную частоту.

 

Функция (x) обладает следующими свойствами:

 

1) (x) - неубывающая функция;

 

2) значения эмпирической функции распределения (x) принадлежат отрезку (0,1);

 

3) при x < x_min (x)=0; при x > x_max (x)=1.

 

Рис.5. Графическая интерпретация результатов исследования изменения давления в гидросистеме управления дорожной машины:

1 - гистограмма; 2 - полигон частот; 3 – эмпирическая функция распределения

Значения критерия Фишера