• Главная
• Избранное
• Популярное
• Новые добавления
• Случайная статья

Графическая интерпретация результатов исследований

Раздаточный материал

Приближенная оценка нормальности распределения исследуемой величины может быть выполнена с использованием выборочных характеристик: коэффициента асимметрии и эксцесса, определяемых по формулам

	k = Sni (xi - )3 / (n.Sx3 ) , i=1	(31)
	k = Sni (xi - )4 / (n.Sx4) , i=1	(32)

где - эмпирический коэффициент асимметрии;

- эксцесс.

Пример. По данным, приведенным в табл.8, вычислить эмпирический коэффициент асимметрии и эксцесс для распределения давлений в гидросистеме управления дорожной машины.

12.3689

Коэффициент асимметрии = - ------------ = -0.47 .

46.407 120^.0.60³

Эксцесс = ------------ -3 = -0.03 .

120^.0.60⁴

Вспомогательные вычисления заносим в табл.12.

Таблица 12

Расчет эмпирических характеристик асимметрии и эксцесса распределения давлений в гидросистеме управления дорожной машины

№ интервала	Эмпирическая частота	Середина интервалов	(Rj - )3.nj	(Rj - )4.nj
j	nj	Rj,
		3.96	-15.8826	23.3474
		4.36	-6.1252	6.5540
		4.86	-4.2107	2.8212
		5.16	-0.5118	0.1382
		5.56	0.0659	0.0086
		5.96	4.7641	2.5250
		6.36	4.8261	4.4883
		6.76	4.7053	6.2580
			-12.3689	46.1407

Более строгий метод проверки гипотезы о нормальном распределении результатов экспериментальных исследований основан на использовании «хи-квадрат» критерия, разработанного К.Пирсоном. Сущность этого метода заключается в оценке меры

P( >c 2a,k-r-1) = a,

(33)

где - вычисленное значение «хи-квадрат» критерия:

k (nj - njT)2 =S ------------ ; i=1 njT

(34)

n_j - эмпирическая частота;

n_jT - теоретическая частота попадания наблюдений в j-й интервал,

n - объем наблюдений;

P_j - теоретическая вероятность, численно равная площади, ограниченной сверху кривой распределения Гаусса, а снизу - верхней и нижней границами j-го интервала,

где x_jн и x_jв - соответственно нижняя и верхняя границы j-го интервала;

z₁ и z₂ - нормированные случайные величины

	xjн - z1 = -------- Sx	ü ÷ ÷ ÷
	xjв - z2 = ------- Sx	ý ÷ ÷ þ	; (37)

Ф(z₂) и Ф(z₁) - интегралы вероятностей /2/:

		(38)
		(39)

c²_a,k-r-1 - критическое значение «хи-квадрат» критерия, взятое по табл.13 при уровне значимости aи числе степеней свободы

где r - число выборочных оценок, использованное для расчета теоретических частот n_jT , равное двум.

k – число интервалов

При	ì÷ í	>c2a,f	гипотеза отвергается (имеют место большие отклонения наблюдаемых частот от теоретических);
	÷ î	<c2a,f	гипотеза принимается.

Таблица 13

Значения c ²_a,f по данным /5/

Пример. По данным примера проверить статистическую гипотезу о нормальном распределении давлений в гидросистеме управления с использованием критерия согласия c² К.Пирсона.

Решение. Для расчета критерия используем зависимость (34). Последовательность расчета показана в табл.14, графы 1 и 2 табл.14 заполнены по данным табл.8. Частоты n_j , меньшие 5, объединены согласно условиям применения c² - критерия.

При числе степеней свободы f=k-r-1=8-2-1=5 и уровне значимости a=0.05 по табл. 3.13 находим критическое значение «хи-квадрат»

критерия c²_0.05;5=11,1. Поскольку имеет место неравенство =14.56 >c² _{0.05; 5} = 11,1, то исходная гипотеза должна быть отвергнута.

Графический метод проверки гипотезы выполняют с помощью вероятностной бумаги, на которой в прямоугольной системе координат на оси ординат нанесена шкала, соответствующая интегралу Гаусса

(41)

а по оси абсцисс - линейная или логарифмическая шкала

аргумента х.

Функцию нормального распределения Ф(z) на вероятностной сетке строят по трем характеристическим значениям (рис.4):

при	x = ,	z = 0	Ф(z) = Ф(0) = 50% ;
	x = + Sx ,	z = 1	Ф(z) = Ф(1) = 84.13% ;
	x = - Sx ,	z = -1	Ф(z) = Ф(-1) = 15.87% .

Рис.4. Схема к иллюстрации графического метода проверки гипотезы N-распределения с помощью вероятностной бумаги

Таблица 14

Графическая интерпретация результатов исследований

Интерпретацию результатов экспериментальных исследований в виде гистограммы, полигона частот и функции распределения исследуемой величины.

Гистограммой называют ступенчатую функцию, построенную в системе координат D_j , n_j (или D_j , n_j^I ).

Полигон частот или многоугольник распределения (эмпирическую кривую распределения) строят также в прямоугольных координатах, откладывая по оси абсцисс середины интервалов х_j (табл.8), а по оси ординат - абсолютные (или относительные) частоты n_j.

Эмпирической функцией распределения называется

функция (x), определяющая для каждого значения исследуемой величины x ее относительную частоту.

Функция (x) обладает следующими свойствами:

1) (x) - неубывающая функция;

2) значения эмпирической функции распределения (x) принадлежат отрезку (0,1);

3) при x < x_min (x)=0; при x > x_max (x)=1.

Рис.5. Графическая интерпретация результатов исследования изменения давления в гидросистеме управления дорожной машины:

1 - гистограмма; 2 - полигон частот; 3 – эмпирическая функция распределения

Значения критерия Фишера

Поиск по сайту: