Р А З Д Е Л III
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Тема 1. Понятие производной функции в точке.
Формулы производных
Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики, других наук.
Определение: Производная функции в точке
называется
предел отношения приращения функции к приращению
аргумента, при приращении аргумента
стремящегося к нулю.
.
Обозначение:
Функция , имеющая производную в каждой точке интервала
, называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.
Физический смысл:
.
Геометрический смысл:
– угловой коэффициент касательной, проведенной
к графику функции в точке касания
;
– уравнение касательной;
– угловой коэффициент нормали к графику функции;
– уравнение нормали.
Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.
Формулы дифференцирования
Основные правила
1. ;
2. ;
3. ;
4.
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
Рассмотрим примеры.
1. Точка движется по закону .
Найти скорость в момент времени .
Решение:
.
2. Составить уравнение касательной и уравнение нормали, проведенных к графику функции в точке
.
Решение
Уравнение касательной: ;
Уравнение нормали: .
;
;
.
Уравнение касательной
;
.
Уравнение нормали:
;
.
Упражнения
№1. Найдите производные следующих функций.
а) ; к)
;
б) ; л)
;
в) ; м)
;
г) ; н)
;
д) ; 0)
;
е) ; п)
;
ж) ; р)
;
з) ; с)
.
и) ;
№2. Составить уравнение касательной и нормали к графику функции в точке .
а)
;
б)
;
в)
.
№3. Точка движется по закону . Найдите значение скорости в момент времени
.
Тема 2. Нахождение производных сложных функций
- сложная функция.
- сложная функция.
Производная сложной функции вычисляется по формуле
.
Например:
;
;
;
;
;
;
.
Упражнения
№1. Найдите производные следующих функций:
1) ; 8)
;
2) ; 9)
3) ; 10)
;
4) ; 11)
;
5) ; 12)
;
6) ; 13)
;
7) ; 14)
;
15) ; 21)
;
16) ; 22)
;
17) ; 23)
18) ; 24)
19) ; 25)
.
20) ;
Тема 3. Дифференциал функции и его нахождение
Пусть функция , где
дифференцируема в некоторой точке
, т.е. функция
имеет производную в этой точке
бесконечно малая величина,
при
- главная часть приращения функции, которая называется дифференциалом функции и обозначается:
.
.
Определение: Дифференциал функции – величина равная произведению производной этой функции на дифференциал аргумента .
Например:
;
;
|


Например:
Найти приближенное функции в точке
.
Решение
используем формулу
;
4;
;
;
;
;
;
если .
Формулы для приближенных вычислений
1) ;
2) ;
3) .
Например
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .
Упражнения
№1. Найти дифференциал следующих функций:
1) ; 2)
;
3) ; 4)
; 5)
;
6) ; 7)
;
8) ; 9)
; 10)
.
№2. Вычислить приближенное значение функции:
1) ;
2) ;
3) .
№3. Вычислите приближенное значение следующих выражений:
1) ; 2)
; 3)
;
4) ; 5)
; 6)
;
7) ; 8)
; 9)
;
10) ; 11)
; 12)
;
13) ; 14)
; 15)
;
16) .
Тема 4. Наибольшее и наименьшее значение функции
На промежутке.
Задачи на максимум и минимум
Рассмотрим функцию .
Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции, непрерывной в некотором промежутке, необходимо:
1. Найти производную.
2. Приравнять производную к нулю, т.е. найти критические точки.
3. Найти значение функции на концах промежутка и в критических точках, принадлежащих данному промежутку.
4. Выбрать наибольшее и наименьшее значение функции на данном промежутке.
Например:
Найти наибольшее и наименьшее значение функции
на промежутке .
1.
2.
;
;
;
.
3. ;
;
;
;
.
.
Рассмотрим задачу
Из квадратного листа жести со стороной 36 м надо изготовить ящик, открытый сверху с квадратным основанием наибольшего объема. Найти этот объем.
Обозначим за длину стороны вырезаемого квадрата, тогда сторона основания будет равна
. Следовательно, объем будет вычисляться по формуле
.
Т.к. в основании ящика квадрат, тогда , а
.
1.
.
2. ;
;
;
.
![]() |
;
.
Упражнения
№1. Найдите наибольшее и наименьшее значение следующих функций на заданных промежутках:
1. ;
2. ;
3. .
№2. Сумма двух положительных чисел равна 5. Каковы эти числа, если сумма их кубов является наименьшей.
№3. Сумма основания и высоты треугольника равна 12 см. Каким должно быть основание треугольника, чтобы площадь треугольника была наибольшей?
№4. Из шара радиуса R выточить цилиндр наибольшего объема. Найдите размеры этого цилиндра.
№5. Произведение двух положительных чисел равно 16. Чему равны эти числа, если их сумма наименьшая.
№6. Из листа картона 80 х50 см, требуется изготовить коробку открытую сверху наибольшей вместимости. Найти объем коробки.
№7. На какой высоте надо повесить фонарь над центром круглой площадки радиуса 20 см, чтобы площадка была максимально освещена у границы. Ъ
№8. Из всех прямоугольников данного периметра 60 см, найти тот, у которого площадь наибольшая.
Зачетная работа по теме
«Дифференциальное исчисление»
№1. Проволокой длиной 100 м нужно оградить прилегающую к дому прямоугольную площадку наибольшей площади. Установить размеры площадки.
№2. Вычислить:
;
;
.
№3. Найдите дифференциал следующих функций:
;
;