Задачи на максимум и минимум




Р А З Д Е Л III

 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Тема 1. Понятие производной функции в точке.

Формулы производных

 

Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики, других наук.

Определение: Производная функции в точке называется

предел отношения приращения функции к приращению

аргумента, при приращении аргумента

стремящегося к нулю.

.

Обозначение:

 

Функция , имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

 

Физический смысл:

.

 

Геометрический смысл:

– угловой коэффициент касательной, проведенной

к графику функции в точке касания ;

– уравнение касательной;

– угловой коэффициент нормали к графику функции;

 

– уравнение нормали.

Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.

Формулы дифференцирования

 

Основные правила

 

1. ;

2. ;

3. ;

4.

 

 
 
   
   

 

Рассмотрим примеры.

1. Точка движется по закону .

Найти скорость в момент времени .

 

Решение:

.

 

2. Составить уравнение касательной и уравнение нормали, проведенных к графику функции в точке .

 

Решение

Уравнение касательной: ;

Уравнение нормали: .

;

;

.

Уравнение касательной

;

.

Уравнение нормали:

;

.

 

Упражнения

 

№1. Найдите производные следующих функций.

 

а) ; к) ;

б) ; л) ;

в) ; м) ;

г) ; н) ;

д) ; 0) ;

е) ; п) ;

ж) ; р) ;

з) ; с) .

и) ;

 

№2. Составить уравнение касательной и нормали к графику функции в точке .

а) ;

б) ;

в) .

 

№3. Точка движется по закону . Найдите значение скорости в момент времени .

 

Тема 2. Нахождение производных сложных функций

 

- сложная функция.

- сложная функция.

Производная сложной функции вычисляется по формуле .

Например:

;

;

;

;

;

;

.

 

Упражнения

 

№1. Найдите производные следующих функций:

1) ; 8) ;

2) ; 9)

3) ; 10) ;

4) ; 11) ;

5) ; 12) ;

6) ; 13) ;

7) ; 14) ;

15) ; 21) ;

16) ; 22) ;

17) ; 23)

18) ; 24)

19) ; 25) .

20) ;

 

Тема 3. Дифференциал функции и его нахождение

 

Пусть функция , где дифференцируема в некоторой точке , т.е. функция имеет производную в этой точке

бесконечно малая величина,

при

- главная часть приращения функции, которая называется дифференциалом функции и обозначается: .

.

 

Определение: Дифференциал функции – величина равная произведению производной этой функции на дифференциал аргумента .

 

Например:

;

;

.

 

Например:

Найти приближенное функции в точке .

Решение

используем формулу

;

4;

;

;

;

;

;

если .

 

Формулы для приближенных вычислений

 

1) ;

2) ;

3) .

 

Например

1) ;

2) ;

3) ;

 

4) ;

 

5) .

 

Упражнения

 

№1. Найти дифференциал следующих функций:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ;

8) ; 9) ; 10) .

 

№2. Вычислить приближенное значение функции:

1) ;

2) ;

3) .

 

 

№3. Вычислите приближенное значение следующих выражений:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) ;

16) .

 

Тема 4. Наибольшее и наименьшее значение функции

На промежутке.

Задачи на максимум и минимум

 

Рассмотрим функцию .

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции, непрерывной в некотором промежутке, необходимо:

1. Найти производную.

2. Приравнять производную к нулю, т.е. найти критические точки.

3. Найти значение функции на концах промежутка и в критических точках, принадлежащих данному промежутку.

4. Выбрать наибольшее и наименьшее значение функции на данном промежутке.

Например:

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

на промежутке .

1.

2. ;

;

;

.

3. ;

;

;

;

.

.

 

Рассмотрим задачу

Из квадратного листа жести со стороной 36 м надо изготовить ящик, открытый сверху с квадратным основанием наибольшего объема. Найти этот объем.

 

 

 


Обозначим за длину стороны вырезаемого квадрата, тогда сторона основания будет равна . Следовательно, объем будет вычисляться по формуле .

Т.к. в основании ящика квадрат, тогда , а

.

1.

.

2. ;

;

;

.

 
 

 


; .

 

 

Упражнения

 

№1. Найдите наибольшее и наименьшее значение следующих функций на заданных промежутках:

 

1. ;

2. ;

3. .

 

№2. Сумма двух положительных чисел равна 5. Каковы эти числа, если сумма их кубов является наименьшей.

 

№3. Сумма основания и высоты треугольника равна 12 см. Каким должно быть основание треугольника, чтобы площадь треугольника была наибольшей?

 

№4. Из шара радиуса R выточить цилиндр наибольшего объема. Найдите размеры этого цилиндра.

 

№5. Произведение двух положительных чисел равно 16. Чему равны эти числа, если их сумма наименьшая.

 

№6. Из листа картона 80 х50 см, требуется изготовить коробку открытую сверху наибольшей вместимости. Найти объем коробки.

 

№7. На какой высоте надо повесить фонарь над центром круглой площадки радиуса 20 см, чтобы площадка была максимально освещена у границы. Ъ

 

№8. Из всех прямоугольников данного периметра 60 см, найти тот, у которого площадь наибольшая.

 

Зачетная работа по теме

«Дифференциальное исчисление»

 

№1. Проволокой длиной 100 м нужно оградить прилегающую к дому прямоугольную площадку наибольшей площади. Установить размеры площадки.

 

 

№2. Вычислить:

; ; .

 

№3. Найдите дифференциал следующих функций:

; ;



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2020-12-27 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: