Метод хорд (секущих).
Этот метод применяется при решении уравнений вида 
, если корень уравнения отделён, т.е. 
и выполняются условия:
1) 
(функция 
принимает значения разных знаков на концах отрезка 
);
2) производная 
сохраняет знак на отрезке 
(функция либо возрастает, либо убывает на отрезке ).
Первое приближение корня находится по формуле: 
.
Для следующего приближения из отрезков 
и 
выбирается тот, на концах которого функция имеет значения разных знаков.
Тогда второе приближение вычисляется по формуле:
, если 
или 
, если 
.
Вычисления продолжаются до тех пор, пока не перестанут изменяться те десятичные знаки, которые нужно оставить в ответе.
Метод касательных (Ньютона).
Этот метод применяется, если уравнение имеет корень 
, и выполняются условия:
1) 
(функция принимает значения разных знаков на концах отрезка 
);
2) производные 
и 
сохраняют знак на отрезке 
(т.е. функция 
либо возрастает, либо убывает на отрезке , сохраняя при этом направление выпуклости).
На отрезке выбирается такое число 
, при котором 
имеет тот же знак, что и 
, т. е. выполняется условие 
. Таким образом, выбирается точка с абсциссой , в которой касательная к кривой 
на отрезке пересекает ось 
. За точку сначала удобно выбирать один из концов отрезка.
Первое приближение корня определяется по формуле: 
.
Второе приближение корня определяется по формуле: 
.
Вычисления ведутся до совпадения десятичных знаков, которые необходимы в ответе, или при заданной точности 
- до выполнения неравенства 
.
Достоинства метода: простота, быстрота сходимости.
Недостатки метода: вычисление производной и трудность выбора начального положения.
Комбинированный метод хорд и касательных.
Если выполняются условия:
1) 
,
2) и сохраняют знак на отрезке ,
то приближения корня 
уравнения 
по методу хорд и по методу касательных подходят к значению этого корня с противоположных сторон. Поэтому для быстроты нахождения корня удобно применять оба метода одновременно. Т.к. один метод даёт значение корня с недостатком, а другой – с избытком, то достаточно легко получить заданную степень точности корня.
Схема решения уравнения методом хорд и касательных
1. Вычислить значения функции 
и 
.
2. Проверить выполнение условия 
. Если условие не выполняется, то неправильно выбран отрезок .
3. Найти производные и .
4. Проверить постоянство знака производных на отрезке . Если нет постоянства знака, то неверно выбран отрезок .
5. Для метода касательных выбирается за тот из концов отрезка , в котором выполняется условие 
, т.е. и 
одного знака.
6. Приближения корней находятся:
а) по методу касательных: 
,
б) по методу хорд: 
.
7. Вычисляется первое приближение корня: 
.
8. Проверяется выполнение условия: 
, где - заданная точность.
Если условие не выполняется, то нужно продолжить применение метода по схеме 1-8.
В этом случае отрезок изоляции корня сужается и имеет вид 
. Приближённые значения корня находятся по формулам:
и 
.
Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет найдено такое значение 
, при котором 
и 
совпадут с точностью .
Пример. Решить уравнение 
методом хорд и касательных с точностью 0,001, если известно, что корень уравнения 
.
Решение.
1. Вычислим значения функции 
на концах отрезка: 
, 
.
2. Проверим выполнение условия: 
- условие выполняется.
3. Найдём производные: 
и 
.
4. На отрезке 
производные 
и 
, т.е. сохраняют знак, следовательно, условие выполняется.
5. Выберем значение для метода касательных. Т.к. 
и 
, то 
.
6. Найдём приближения корня:
а) по методу касательных: 
б) по методу хорд: 
.
7. Найдём первое приближение корня: 
.
8. Проверим выполнение условия: 
- условие не выполняется, значит нужно продолжить вычисления.
9. Отрезок изоляции корня имеет вид: 
.
10. Продолжим уточнение корня по схеме. Для этого найдём значения функции на концах суженного отрезка:
, 
.
11. Проверим условие: 
- выполняется, значит можно продолжить применение метода.
12. Так как 
и 
на отрезке 
, то для метода касательных: 
.
13. Вычислим значение производной: 
.
14. Найдём новые значения концов отрезка изоляции:
, 
.
15. Найдём второе приближение корня: 
.
16. Проверим выполнение условия: 
- неравенство неверное, значит необходимо продолжить вычисления.
17. Отрезок изоляции корня имеет вид: 
.
18. Вычислим значения функции:
, 
.
19. Условие 
- выполняется.
20. Так как 
и 
на , то для метода касательных 
.
21. Вычислим производную: 
.
22. Вычислим: 
,
.
23. Найдём третье приближение корня: 
.
24. Проверим выполнение неравенства: 
- условие выполняется, значит, цель достигнута.
25. Следовательно, 
или 
- приближённое значение корня с точностью до 0,001.
Ответ: .