По практическому занятию №1.

По дисциплине «Теория систем и системный анализ»

Исследование характеристик потоков требований в информационных системах

Вариант 7

Работу выполнила

Студентка 2 курса

Группы ПИН-141

Конник Алина

Работу проверил

д.т.н., профессор Мочалов П.П

Ставрополь, 2016

Задача 1. В ИС поступают заявки с интенсивностью 0,7 заявки в час. Среднее время обслуживания одной заявки 0,4 часа. Определить показатели эффективности работы ИС: интенсивность потока обслуживаний, среднее число заявок в очереди, интенсивность нагрузки канала (трафик), вероятность, что канал свободен, вероятность, что канал занят, среднее число заявок в системе, среднее время пребывания заявки в очереди, среднее время пребывания заявки в системе.

Решение. ИС можно рассматривать как одноканальную СМО с неограниченным ожиданием (т. е. с очередью). Таким образом, параметры системы: число каналов n = 1, число мест в очереди m = ∞.

Интенсивность входящего потока λ = 0,7 в час, среднее время обслуживания одной заявки = 0,4 ч, интенсивность потока обслуживаний

μ = 1/0,4 = 2,5. Таким образом, нагрузка системы

, (1.2)

ρ = 0,7/2,5= 0,28

Среднее число заявок, ожидающих обслуживания,

, (1.3)

= 0,28²/(1 – 0,28) = 0,108.

Так как ρ < 1, то очередь не может бесконечно возрастать, значит, предельные вероятности существуют. Вероятность того, что ИС свободнаp₀, рассчитывается по следующей формуле:

p_k = ρ^k(1 – ρ); k = 0,1,2…

p₀ =1 – ρ. (1.4)

p₀ = 1 – 0,28 = 0,72, тогда вероятность того, что ИС занята p_зан = 1 – 0,72 = 0,28.

Среднее число заявок (составов) в системе рассчитывается по следующей формуле:

где ; = 0,72/(1 – 0,72) = 2,5714

Среднее время пребывания заявки в очереди

= 0,72^2/0,7(1-0,72) = 2,6448.

Среднее время пребывания заявки в системе (в ожидании обслуживания)

, (1.7)

_сист =2,6448+0,4=3,0448.

Вывод. Очевидно, что скорость обслуживания заявок невысокая, так как время на ожидание обслуживания (2,64 ч) превышает время на обслуживание (0,4 ч). Для повышения эффективности работы необходимо уменьшить время обслуживания одной заявки или увеличить число ИС.

Задача 2. Интенсивность потока заявок в ИС λ = 1,4 заявки в мин. Средняя продолжительность обслуживания ИС одной заявки _об = 1,2 мин. Определить минимальное количество каналов ИС n = n_min, при котором очередь не будет расти до бесконечности, и соответствующие характеристики обслуживания при n = n_min (вероятность того, что в ИС отсутствуют заявки, вероятность очереди, среднее число заявок находящихся в очереди, среднее время пребывания заявки в очереди, среднее число заявок, находящихся в системе, среднее время пребывания заявки в системе, доля занятых обслуживанием каналов, абсолютная пропускную способность)

Указание. Прежде чем использовать формулы предельных вероятностей, необходимо быть уверенным в их существовании, ведь в случае, когда время t → ∞, очередь может неограниченно возрастать. Доказано, что если ρ < 1, т. е. среднее число приходящих заявок меньше среднего числа обслуженных заявок (в единицу времени), то предельные вероятности существуют. Если ρ ≥ 1, очередь растет до бесконечности. Очередь не будет возрастать до бесконечности при условии ρ /n < 1, т. е. при n > ρ.

Решение. n > 1, m = ∞, т. е. имеем многоканальную систему с неограниченной очередью. По условию λ = 1,4 (1/мин). Показатель нагрузки системы определяется по формуле (4.2): ρ = 1,4∙1,2 = 1,68.

Очередь не будет возрастать до бесконечности при условии ρ / n < 1, т. е. при n > ρ = 1,68. Таким образом, минимальное количество каналов n_min = 2.

Найдем характеристики обслуживания СМО при n_min = 2.

Вероятность того, что в узле расчета отсутствуют заявки, определяется по формуле

, (1.8)

р₀ = (1 + 1,68 + 1,68²/2! + 1,68³/(2! ∙ (2 – 1,68)))^–1 = 0,0869, т. е. в среднем 8,69 % времени каналы будут простаивать.

Вероятность того, что в узле расчета будет очередь, определяется по формуле

, (1.9)

Р_оч = (1,68³/2!(2 – 1,68)) ∙ 0,0869 = 0,6438.

Среднее число заявок, находящихся в очереди, определяется по формуле

, (1.10)

= ((1,68^3*0,0869)/(2 ∙ 2!(1 – 1,68/2)²⁾)) = 0,6438.

Среднее время ожидания в очереди определяется по формуле

, (1.11)

_оч = 0,6438/1,4 = 0,4598 мин.

Среднее число заявок в определяется по формуле

, (1.12)

= 0,6438 + 1,68 = 2,3238.

Среднее время нахождения заявок в узле определяется по формуле

, (1.13)

_сис = 2,3238/1,4 = 1,6598 мин.

Среднее число каналов, занятых обслуживанием, определяется по формуле

, (1.14)

= 1,68.

Коэффициент (доля) занятых обслуживанием каналов

= ρ/n = 1,68/2 = 0,84.

Абсолютная пропускная способность узла А = 1,4 (1/мин), или 84 (1/ч), т. е. 84 заявка в час.

Вывод. Анализ характеристик обслуживания свидетельствует о значительной перегрузке узла при наличии трех каналов.

Задача 3. На ИС имеется два выходных порта. Интенсивность поступления заявок в ИС составляет 0,9 заявки в минуту. Среднее время обслуживания одной заявки – 1,5 минуты. Приходящая заявка отправляется на другую станцию, если в очереди на обслуживание стоят более трёх заявок. Оценить эффективность работы выходных портов ИС: вероятность, что выходные порты свободны, вероятность, что заявка останется без обслуживания, относительную пропускную способность, абсолютную пропускную способность, среднее число заявок, ожидающих обслуживания, среднее число заявок в системе, среднее время пребывания заявки в очереди, среднее время пребывания заявки в системе

Решение. По условию задачи n = 2, m = 3, т. е. ИС представляет собой многоканальную систему с ограниченной очередью. Интенсивность потока обслуживаний определяется по формуле (4.1):

μ =1/1,5 = 0,66.

Интенсивность нагрузки канала (трафик) определяется по формуле (4.2):

ρ = 0,9 ∙ 1,5 = 1,35.

Вероятность того, что выгрузочный порт свободен, определяется по формуле