Сначала задумаемся над самим словом: а что такое последовательность? Последовательность – это когда что-то расположено за чем-то. Например, последовательность действий, последовательность времён года, последовательность месяцев года. Или когда кто-то расположен за кем-то. Например, последовательность людей в очереди, последовательность слонов на тропе к водопою.
Немедленно проясним характерные признаки последовательности. Во-первых, члены последовательности располагаются строго в определённом порядке. Так, если двух человек в очереди поменять местами, то это уже будет другая последовательность. Во-вторых, каждому члену последовательности можно присвоить порядковый номер:
С числами всё аналогично. Пусть каждому натуральному значению 
по некоторому правилу поставлено в соответствие действительное число 
. Тогда говорят, что задана числовая последовательность 
.
Да, в математических задачах в отличие от жизненных ситуаций последовательность почти всегда содержит бесконечно много чисел.
При этом:
называют первым членом последовательности;
– вторым членом последовательности;
– третьим членом последовательности;
…
– энным или общим членом последовательности;
Последовательности можно задавать тремя способами: словестно ( последовательность четных чисел ), аналитически ( с помощью формулы ) и рекуррентно. При словестном задании последовательности, описывается из каких элементов она состоит.
Последовательность нечетных чисел:1, 3, 5, 7,...
Последовательность простых чисел:2, 3, 5, 7, 11,...
и т.д.
Последовательности (1) и (2) мы задали словестно.
Последовательность называется заданной аналитически, если указана формула ее n -го члена.
Последовательность нечетных чисел аналитически задается формулой 
Действительно. Взяв для n значения 1, 2, 3,... мы получим последовательность (1).
Отметим, что последовательность простых чисел невозможно задать аналитически.
На практике последовательность обычно задаётся формулой общего члена, например:
– последовательность положительных чётных чисел:
Таким образом, запись однозначно определяет все члены последовательности – это и есть то правило (формула), по которому натуральным значениям в соответствие ставятся числа . Поэтому последовательность часто коротко обозначают общим членом, причём вместо «икс» могут использоваться другие латинские буквы, например:
Последовательность положительных нечётных чисел 
:
Ещё одна распространённая последовательность 
:
Как, наверное, многие подметили, переменная «эн» играет роль своеобразного счётчика.
Пусть 
– первый член, а следующий член последовательности на 5 больше (d=5). Тогда:
– второй член данной прогрессии;
– третий член данной прогрессии;
– четвертый;
– пятый;
И, очевидно, энный член задаётся рекуррентной формулой 
Примечание: в рекуррентной формуле каждый следующий член выражается через предыдущий член или даже через целое множество предыдущих членов.
Полученная формула малопригодна на практике – чтобы добраться, скажем, до 
, нужно перебрать все предыдущие члены.
Последовательность задана рекуррентно, если указан метод вычисления n - го члена, при известных предыдущих членах последовательности.
Пример задания рекуррентной последовательности: 
В этой последовательности 
