ЗАДАНИЯ ПО ИССЛЕДОВАНИЮ УМНОЖИТЕЛЯ

Б.Е.Грачёв, Г.А.Дружинин, 2015 г.

Исследование нелинейных процессов

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Электрические цепи бывают линейными и нелинейными. Линейные описываются линейными алгебраическими или дифференциальными уравнениями. Нелинейные – нелинейными. Простейший пример линейной цепи – источник тока, нагруженный на

сопротивление (рис. 1). Ток i через сопротивление R пропорционален напряжению U. График зависимости i = U / R – прямая линия. Это – закон Ома. Уравнение линейно. Для него действует принцип суперпозиции, при котором увеличение
Рис.1 напряжения вдвое вызывает увеличение тока вдвое. Нелинейные цепи описывают более сложными уравнениями. Например, простейший колебательный контур с нелинейной ёмкостью можно описывать дифференциальным уравнением для заряда конденсатора q.

(1)

 

Последний член – нелинейный. Без него уравнение легко решается.

Некоторые элементы электрических цепей можно описать алгебраическими уравнениями. Чаще всего для описания свойств элементов используют зависимость тока от напряжения i( U ). Такая зависимость называется вольт-амперной характеристикой. Ее можно определить только экспериментально, после чего аппроксимировать полиномом

i = a_o + a₁U + a₂U ² + a₃U ³ +…+ a_nU ⁿ.

Если число nдостаточно велико, то кривая вольт-амперной характеристики будет проходить близко к экспериментальным точкам или даже проходить через все точки. Но основные возможные нелинейные явления можно проанализировать, ограничившись небольшим числом членов.

Оставим в полиноме первый нелинейный член a₂U² и приложим к нелинейному элементу с такой характеристикой синусоидальное напряжение U = U _m sin (wt). Если вольт-амперная характеристика описывается уравнением i = a₀ + a₁U + a₂U², то ток через этот элемент будет:

i = a₀ + a₁U_m sin (wt) + a₂U_m² sin² (wt) =

= a₀ + a₁U_m sin (wt) + ½ a₂U_m² (1 – cos (2wt)) =

= (a₀ + ½ a₂U_m²) + a₁U_m sin (wt) – ½ a₂U_m² cos (2wt).

Видно, что при действии чисто синусоидального гармонического входного напряжения с круговой частотой w = 2pf на элемент с такой «квадратичной» характеристикой ток имеет постоянную составляющую (a₀ + ½ a₂U_m²), гармонику с той же частотой w и вторую гармонику с частотой 2w. Если сделать такие же вычисления для элемента, описываемого полиномом третьей степени, то Вы обнаружите в спектре еще и третью гармонику и т.д.

Важнейший вывод из этого таков: линейные цепи могут менять амплитуду и фазу гармонического сигнала, но никогда не меняют его спектр. Сигнал как был, так и останется гармоническим. Нелинейные цепи могут менять спектр сигнала, переводя энергию колебаний с одной частотой в энергию колебаний с другими частотами.

Если к элементу с квадратичной характеристикой приложить напряжение U = U₁ + U₂ = U_1m sin (w₁t) + U_2m sin (w₂t), то можно поверить, а можно проверить, что возведение в квадрат даст член с произведением синусов. Этот член даст в спектре гармоники с суммарной и разностной частотами. Члены с квадратами синусов дадут гармоники с удвоенными частотами. Спектр тока станет сложным (см. рис. 2).

 

0 f₂ – f₁ f₁ f₂ 2f₁ f₁+f₂ 2f₂

| ___ | _________________ | ___ | ___________________ | ____|____ | ___f

 

Рис. 2.

 

Из приведенных примеров видно, что даже элементы с простейшими вольт-амперными характеристиками преобразуют энергию гармонического колебания в энергию колебаний комбинационных частот (nf₁ ± mf₂), где n и m – целые числа.

УМНОЖЕНИЕ ЧАСТОТЫ

 

Умножением частоты называется нелинейное преобразование гармонического электрического сигнала с частотой f и последующее выделение гармонической составляющей спектра с частотой nf. Эту составляющую называют «энной» гармоникой (второй, третьей и т.д.).

Что такое «нелинейное преобразование сигнала»? Нелинейным преобразованием сигнала чаще всего называется пропускание его через цепь, описываемую нелинейным алгебраическим уравнением. При этом изменяется не только амплитуда, но и форма сигнала.

 

 

 

Рис. 3.

 

Одним из простейших способов изменения формы синусоидаль­ного переменного напряжения является его «обрезание». Результат этого процесса показан на рис. 3. Угол q называется углом отсечки,

 

Очень просто разложить эту обрезанную синусоиду или, точнее, косинусоиду в ряд Фурье. Эта функция чётная, поэтому её можно разложить в ряд по косинусам. Коэффициенты разложения будут

q

U_n = (2U_max/p)ò( cos wt – cos q) cos n w t dwt,

U₁ = (U_m/p)(q – sin q cos q).

 

Здесь использованы известные формулы из справочника

q

ò cos² x dx = ½ (q + sin q cos q),

q

ò cos x dx = sin q.

 

Если использовать еще одну формулу из справочника

 

ò cos x cos nx dx = [ sin (n+1)x] / [2(n+1)] + [ sin (n–1)x] / [2(n–1)],

то после несложных тригонометрических преобразований можно вычислить амплитуду энной гармоники

U_n = (2U_m/ pn(n²-1))×( sin nq cos q - n sin q cos nq).

Рис. 4.

Графики зависимостей амплитуды гармоник от угла отсечки показаны на рис. 4 для n = 2, 3, 4 и 5. Заметьте, что число нулей каждой функции равно номеру гармоники. Этот факт поможет Вам при измерении зависимостей амплитуды гармоники от угла отсечки.

Для n = 5, 6, 7 и 8графики приведены на рис. 5.Если нормировать эти коэффициенты на амплитуду обрезанной синусоиды U _a, то получаются так называемые коэффициенты Берга:

a_n = 2( sin nq cos q – n sin q cos nq) / [ pn (n²–1)(1– cos q)].

 

Заметьте, что спектральные составляющие имеют не только разные амплитуды, но и разные фазы. На графиках рис. 4 и 5 при переходе кривой через нуль, фаза соответствующей гармоники меняется на 180°.

 

 

Рис.5

«Обрезание» синусоиды лучше всего получается при помощи операционного усилителя. Меняя постоянное напряжение балансировки, можно сдвигать амплитудную характеристику усилителя вправо или влево, как показано на рис. 6 для двух различных положений амплитудной характеристики. В результате на выходе операционного усилителя получается сигнал в виде обрезанной синусоиды. Для выделения n-й гармоники нелинейно преобразованного сигнала необходимо пропустить его через узкополосный усилитель, который усиливает переменное напряжение на частоте n-й гармоники и подавляет остальные. Если мы захотим наблюдать и измерять n-ю гармонику, амплитуда которой, например, в 10 раз меньше амплитуды первой гармоники и потребуем, чтобы доля сигнала этой первой гармоники в общем сигнале была в 10 раз меньше амплитуды n-й, то, получается, что избирательный усилитель должен ослаблять первую гармонику не меньше, чем в сто раз. При этом, конечно, сигнал n-й гармоники не будет чисто синусоидальным. На

 

Рис.6

экране осциллографа это будет выглядеть в виде размазанных минимумов и максимумов синусоиды.

То, что функцию можно разложить в ряд Фурье – это легко доказываемый факт. Но то, что каждый член ряда Фурье действительно может быть выделен в спектре нелинейно преобразованного синусоидального сигнала, – это можно обнаружить только в эксперименте.

 

§ 3. ОПИСАНИЕ МАКЕТА

Макет включает в себя операционный усилитель (ОУ, рис. 7.), амплитудная характеристика которого может смещаться потенциометром «Отсечка». На неинвертирующий вход усилителя со звукового генератора должно быть подано синусоидальное напряжение. Нелинейно преобразованный сигнал с выхода ОУ
Рис. 7
поступает как на вход осциллографа для контроля формы и измерения угла отсечки, так и на вход избирательного усилителя (ИУ), собранного по схеме активного фильтра с двойным Т-мостом. Избирательный усилитель ослабляет напряжение с частотой, отличающейся вдвое от частоты настройки f_н, не менее чем в 2000 раз.

 

ЗАДАНИЯ ПО ИССЛЕДОВАНИЮ УМНОЖИТЕЛЯ

ЧАСТОТЫ

Поскольку избирательный усилитель в нашем макете не перестраивается, то первым делом необходимо самостоятельно определить частоту его настройки (и немедленно сообщить преподавателю). Для этого подайте переменное напряжение с генератора на вход избирательного усилителя и наблюдайте на осциллографе за амплитудой выходного сигнала при изменении частоты генератора. Не подавайте на вход сразу большое напряжение. Подайте маленькое, например, 1 мВ.

Найдя частоту, соответствующую максимальному усилению, определите динамический диапазон усилителя, т. е. напряжение, при котором усилитель начинает искажать синусоиду. Результаты наблюдений и их истолкование запишите и приведите в отчете.

Первое задание: для исследования n- й гармоники на вход необходимо подавать напряжения с частотами в n раз меньше f_н и с амплитудой от 5 мВ до 30 мВ. Точную настройку на частоту f_н/n нужно проводить следующим образом:

установите какой-либо угол отсечки;

найдите на шкале частот генератора частоту f_н/n;

поищите в окрестности нее частоту, на которой сигнал на n -й гармонике будет максимален.

Лучше наблюдать за выходным сигналом на экране осциллографа потому, что он позволяет контролировать форму сигнала. Если он искажен, то нужно уменьшить входное напряжение.

Преподаватель может дать задание исследовать зависимость амплитуд некоторых гармоник от угла отсечки – например, 2, 4, 6, 8 и 10 или 2, 3, 5, 7 и 9 и т.д.

Угол отсечки вычисляют по измеренным на экране осциллографа значениям А и В. Амплитуду гармоники измеряют либо милливольтметром, либо осциллографом. При переходе амплитуды гармоники через нуль посмотрите, изменится ли ее фаза, и немедленно покажите этот факт (или отсутствие оного) преподавателю. Рекомендуется тут же строить график U_n(q), чтобы ясно было видно, что нужно исследовать и малые углы отсечки, и большие. Особенно внимательно нужно исследовать переход амплитуды гармоники через ноль.

В отчете нужно указать, какие углы отсечки должны быть выбраны для получения максимальных напряжений каждой из гармоник.

Второе задание: исследуйте спектр обрезанной синусоиды с помощью анализатора спектра СК4-26. Это анализатор так называемого последовательного типа, на котором можно видеть амплитуду сразу нескольких гармоник практически одновременно. Подайте на вход прибора обрезанную синусоиду с выхода макета. Угол отсечки измеряют так, как написано выше. Амплитуды гармоник отсчитываются прямо в делениях шкалы прибора. Подумайте, какая из гармоник является первой, второй и т. д. К анализатору спектра есть дополнительное описание. Сравните поведение гармоник в зависимости от угла отсечки с данными, полученными при выполнении первого задания. Сделайте выводы.

 

 

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ

 

Как указывалось во введении, при подаче на вход нелинейного элемента с произвольной вольт-амперной характеристикой двух синусоидальных напряжений в спектре выходного сигнала появятся гармоники с комбинационными частотами (nf₁ ± mf₂), где n и m – целые числа. Такое изменение спектра носит название «преобразование частоты». Преобразование частоты используется при радиоприеме и в таких устройствах, где перенос спектра оказывается удобным и даже энергетически выгодным.

До начала выполнения этой части работы убедитесь, что операционный усилитель может работать как в линейном, так и в нелинейном режиме. Для этого на неинвертирующий вход ОУ подайте напряжение с частотой в несколько килогерц, допустим, 10 кГц, и с амплитудой от 5 мВ до 30 мВ, а к выходу ОУ подсоедините осциллограф. В линейном режиме синусоида на выходе будет

Рис. 8.

 

неискаженной, а в нелинейном – обрезанной.

Первое задание: если частота настройки избирательного усилителя (рис. 7) f_н Вами уже определена, как это было предложено в § 6, то, подав на вход макета одновременно с двух генераторов напряжения с частотами, отличающимися друг от друга на f_н (например, f₁ = 30 кГц, а f₂ = 30 кГц + f_н). Убедитесь, что в линейном режиме Вы наблюдаете просто сложение двух синусоид – так называемые биения, (рис. 8, а). Конечно, такая красивая картинка с переходом огибающей через ноль получается только в том случае, когда амплитуды обоих колебаний равны.

Частота огибающей равна половине разностной частоты. Это видно из школьной формулы:

Отсюда же видно, что частота «заполнения» биений (f₁ + f₂)/2 – среднее арифметическое частот обеих синусоид.

С помощью осциллографа, подключенного к выходу избирательного усилителя, убедитесь, что на его выходе нет никаких комбинационных частот, какие бы f₁ и f₂ Вы не задавали.

Второе задание: наблюдая за биениями, добейтесь с помощью ручки «Отсечка» их обрезания, например, такого, как на рис. 8, б. При этом на осциллографе, подключенном к выходу избирательного усилителя, Вы обнаружите колебания одной из комбинационных частот. Это произойдет, конечно, если будет выполняться условие (nf₁ ± mf₂) = f_н. Убедитесь, что это так, выбрав две – три пары исходных частот.

Третье задание: измеряя угол отсечки θ,как указано в § 2, от нуля до 180° найдите зависимость напряжения разностной частоты от этого параметра. Если такая функция имеет максимум, объясните, почему так происходит. Подумайте, что определяет погрешность измерения угла θ.

Четвертое задание: убедитесь в том, что если две исходные частоты дают в сумме f_н, то на выходе избирательного усилителя можно обнаружить колебания с суммарной частотой.

При выполнении указанных заданий нужно следить за формой исследуемых сигналов. Если сигнал искажен, то нужно уменьшить амплитуды исходных сигналов. Избирательный усилитель должен всегда работать в линейном режиме. Этого можно добиться регулировкой его чувствительности (рис. 7, «Усиление»).

 

 

Модуляция.

 

Модуляцией называется изменение амплитуды, частоты или фазы колебаний с несущей частотой f колебаниями со значительно более
Рис. 9.

низкой частотой F. Простейшая из них – амплитудная модуляция (АМ). Как написано в § 1, взаимодействие колебаний двух частот даже на элементе с простейшей, квадратичной вольт-амперной характеристикой, приводит к появлению колебаний с суммарной и разностной частотами. Эти частоты называются боковыми. Если F << f, то амплитудно-модулированные колебания будут выглядеть так, как на рис. 9.

Спектр АМ показан на рис. 10. Несущая и обе боковые в нашем

 

Рис. 10.

 

макете выделяются узкополосным избирательным усилителем (ИУ). Если частота модулирующего сигнала будет больше полуширины полосы пропускания ИУ, то боковые будут ослабляться и глубина модуляции уменьшится. Глубина модуляции определяется коэффициентом модуляции

 

Амплитуды напряжений можно измерить на экране осциллографа.

Амплитудная модуляция применяется для радиовещания. В этом случае будет не одна боковая частота, а некоторая полоса частот. Как видно из рис. 10, полезную информацию, передаваемую на частоте F, несут только боковые полосы. Несущая не несет информации. Поэтому, в профессиональных радиостанциях применяется передача и прием на одной боковой полосе. Это – так называемые SSB (Single Side Band) радиостанции.

Рис. 11.

 

В нашем макете модуляция производится простейшим образом – на диоде. Сигналы с двух генераторов подают на диод через разделительные сопротивления для того, чтобы не шунтировать выходное сопротивление одного генератора выходным сопротивлением другого. Ток через сопротивление будет содержать низкую модулирующую частоту, несущую и обе боковые. Чтобы выделить только несущую и боковые, сигнал с сопротивления подают на вход избирательного усилителя. Конечно, несущая частота должно быть равна f_н. Попробуйте подавать разные модулирующие частоты – от 20 до 200 Гц. Постройте график зависимости коэффициента модуляции m от частоты F и объясните, почему m меняется.

 

 

Выпрямление.

 

Выпрямителем называется устройство, превращающее знакопеременный ток в однополярный, пульсирующий. Простейший выпрямитель – диод. Подайте на диод напряжение с генератора и наблюдайте картину, состоящую из чередующихся положительных (или отрицательных) полупериодов.

При выпрямлении чаще используют мостовую схему. Попробуйте начертить, как идет ток в диодном мостике как при положительном полупериоде напряжения на входе моста, так и при отрицательном. Ток через диод идет по стрелке (имеется в виду изображение диода на схеме).

В результате выпрямления, напряжение на выходе моста будет выглядеть так, как показано на рис. 12 пунктирной кривой. Если взять частоту 50 Гц, сопротивление нагрузки R_н = 39 кОм, а на выход моста включить ещё и конденсатор ёмкостью, С_ф = 1 мкФ, то пульсации выпрямленного тока сгладятся (сплошная линия). Сравните

Рис. 12.

 

постоянную времени цепочки R_нС_ф = 39 мсек с длительностью полупериода при частоте 50 Гц – 10 мсек.

Попробуйте продетектировать амплитудно-модулированные колебания. Нарисуйте результат детектирования и результат сглаживания.

 

Литература.

 

1.Харкевич А.А. Нелинейные и параметрические явления в радиотехнике. – М.: Гостехиздат, 1956.

2.Зиновьев А.Л., Филиппов Л.И. Введение в теорию сигналов и цепей. – М.: Высш. шк., 1975.

3.Андреев В.С. Теория нелинейных электрических цепей: – М.: Радио и связь, 1982.

4.Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. – М.: Высш. шк., 1983.

5.Сиберг У.М. Цепи, сигналы, системы.– М.: Мир, 1988.

6.Гоноровский И.С., Демин М.П. Радиотехнические цепи и сигналы: Учеб. пособие для вузов. – М.: Радио и связь, 1994.