Если произведение 
и не зависит от частоты, то такие фильтры называются фильтрами типа “k”. При этом 
- номинальное характеристическое сопротивление. По пропускаемым частотам фильтры делятся на ФНЧ и ФВЧ; полосовые фильтры делятся на полосопропускающие (ППФ) и полосозадерживающие (ПЗФ) или режекторные. На рисунке 8.23 представлены полузвенья всех типов фильтров типа k, причем коэффициенты для L и С соответствуют коэффициентам при 
и 
для полузвена на рисунке 8.21.
 |
Выражения для и сведены в таблицу 8.3.
Таблица 8.3
| ФНЧ | ФВЧ | ППФ | ПЗФ | |
| 
| 
| 
| 
|
|
|
| 
| 
|
Полосовые фильтры соответствуют определению фильтра k, если резонансные частоты последовательного и параллельного контуров, используемых как двухполюсники и , совпадают, т.е. 
.
Ключевое соотношение для ФНЧ
(8.23)
а для ФВЧ
где 
(8.24)
в свою очередь, частота среза
(8.25)
причем, 
для ФНЧ и ФВЧ всегда совпадает с резонансной частотой полузвена (см.рисунок 8.23).
С учетом сказанного частотные характеристики в соответствии с “Основными соотношениями” на c.143
| для ФНЧ | для ФВЧ | |
| 
| (8.26) |
| 
| (8.27) |
| 
| (8.28) |
| 
| (8.29) |
Частотные характеристики полосовых фильтров легко получить формальным объединением ЧХ ФВЧ и ФНЧ, “состыковывая” их полосами прозрачности для ППФ и полосами задерживания для ПЗФ. Это следут из анализа схем полосовых фильтров на рисунке 8.23. Например, для ППФ:
 |  |
Фильтрам типа k присущи два недостатка:
1) медленное нарастание затухания 
в полосе задерживания (
только при w ® ¥ в ФНЧ и w = 0 в ФВЧ);
2) сильная частотная зависимость 
, а, следовательно, невозможность согласования с нагрузкой, что дополнительно ухудшает характеристики фильтра.
Указанные недостатки можно в значительной степени устранить при переходе к более сложным схемам фильтров типа m. При этом исходное полузвено фильтра типа k называется прототипом, а образованное из него полузвено фильтра m - производным полузвеном.
Параметры последнего рассчитываются из условия согласования с прототипом с одной из сторон. Если прототип и производное полузвено согласованы с Т-образных сторон, то образуется последовательно - производное полузвено, а если с П-образных сторон, то параллельно-производное полузвено (рисунок 8.24), где m-коэффициент перераспределения реактивностей (m < 1).
 |
а) последовательно-производное полузвено
б) параллельно-производное полузвено
В производных полузвеньях на частоте входного сигнала w = wр последовательного контура в схеме а) и параллельного контура в схеме б) рисунка 8.24 коэффициент передачи обращается в нуль, а затухание в бесконечность: 
, 
, поэтому частоту wр принято называть частотой бесконечно большого затухания и обозначать w¥; на этой частоте схемы рисунка 8.24 имеют вид, представленный на рисунке 8.25.
 |
Для фильтров типа m ключевое отношение 
имеет вид
. (8.30)
“Основные соотношения” на с. 143 и выражения для 
и 
(формулы (8.21) и (8.22)) справедливы и для звеньев фильтров m, если 
заменить на 
.
Анализ выражений (8.30), (8.21), (8.22) и “Основных соотношений” на с. 143 приводит к следующему заключению:
1) полоса прозрачности прототипа и производных полузвеньев одинакова;
2) w¥ = wр находится в полосе задерживания и, чем ближе w¥ к wср, тем круче нарастает затухание; при этом w¥ зависит от m:
, 
.
Однако, поскольку рост 
связан с резонансом в контурах, то 
так же быстро спадает при уходе от резонансной частоты, что является существенным недостатком фильтров m;
3) производные полузвенья согласованы с прототипом с одной из сторон, а с другой стороны их характеристическое сопротивление 
зависит от m 
, поэтому подбором параметра m можно добиться практически постоянного сопротивления 
в полосе прозрачности; хороший результат 
в большей части полосы прозрачности получается при m » 0,6.
Таким образом, и фильтры типа k, и фильтры типа m имеют свои недостатки, однако при каскадном согласованном включении обоих типов (рисунок 8.26) можно получить вполне удовлетворительные частотные характеристики затухания.
Частотные характеристики производных полузвеньев полосовых фильтров удобно получать путем соответствующей стыковки частотных характеристик полузвеньев ФНЧ и ФВЧ типа m, т.е. так же, как это было рекомендовано выше для прототипа.
Примеры решения задач
Задача 1.
На рисунке 8.27 изображена частотная зависимость характеристического сопротивления c одной из сторон Г-образного звена фильтра типа k.
Установить тип фильтра; определить какой из сторон Т- или П- соответствует заданная характеристика ; изобразить график 
c другой стороны полузвена; изобразить схему полузвена и указать его параметры.
Решение.
Как следует из “Основных соотношений” на с. 143, имеет активный характер в ПП и реактивный в полосе задерживания, а частоты w1 и w2 соответствуют частотам среза wср1 и wср2 ,, т.е. это ППФ.
Т.к. активное сопротивление изменяется в пределах от нуля до R 0 , то заданный график соответствует Т-образной стороне, т.е. это 
.
В фильтрах k сопротивления 
и 
жестко связаны и могут быть получены одно из другого с помощью формальных приемов. В ПП, где с обеих сторон активно, “0” для Т-стороны заменяется на “¥“ для П-стороны, R 0 сохраняется на прежних частотах; в ПЗ сопротивления с обеих сторон чисто реактивные и на одной и той же частоте носят противоположный характер, при этом с ростом частоты X(w) только растет, т. е. 
. Результат для 
представлен на рисунке 8.28.
В полосовых фильтрах в качестве сопротивлений плеч 
и 
используются идеальные контуры последовательный и параллельный (см.рисунок 8.23 и таблицу 8.3).
Примечание: зависимости 
на рисунках 8.27 и 8.28 для ППФ можно рассматривать как “состыкованные” зависимости ФВЧ в диапазоне, где 
, и ФНЧ в диапазоне, где 
, обращенные друг к другу полосами прозрачности; резонансная частота плеч фильтра 
номинальное характеристическое сопротивление 
Задача 2.
Задан Т-образный ФНЧ, состоящий из двух индуктивностей, каждая из которых равна 0,1 мГн, и емкости 2 мкФ. Вычислить частоту среза и изобразить график характеристического сопротивления.
Решение.
Схемы Т-образного звена и полузвена представлены на рисунке 8.29, откуда L = 0,2 мГн.
 |
По (8.25)
рад/с.
График 
для ФНЧ можно построить по (8.28), но качественный характер зависимости 
удобно рассматривать на основе схемы рисунка 8.29.б и известного выражения 
На рисунке 8.30.а изображены входные сопротивления с Т-образной стороны для схемы 8.29.б при к.з. и х.х. на выходе, т.е. с П-образной стороны. Для частот 
в выражении для 
под корнем произведение из 
, т.е. носит индуктивный характер; на частоте wр под корнем произведение, равное 0, а на частотах 
под корнем произведение 
- вещественное значение, что соответствует активному характеру , которое с Т-образной стороны может изменяться только в пределах 
. Результат подобного анализа представлен на рисунке 8.30.б.
Задача 3.
На рисунке 8.31 задана частотная зависимость 
звена фильтра. Изобразить примерный характер KC(w) звена, определить тип фильтра, изобразить один из возможных вариантов схемы полузвена фильтра, имеющего заданный характер .
 |
Решение.
Примерный характер KC(w) изображен на рисунке 8.32. Так как фильтр пропускает высокие частоты w > wср, то это ФВЧ. Так как в ПЗ 
= ¥ на частоте w ¹ 0, то это ФВЧ типа m.
Полузвено прототипа изображено на рисунке 8.23. В соответствии с рисунком 8.24 может быть образовано последовательно-производное или параллельно-производное полузвено. Пример последнего изображен на рисунке 8.33, коэффициенты при L и С соответствуют коэффициентам при 
и 
на рисунке 8.24.б. При этом численные значения звена и полузвена отличаются в два раза. 
в ПП только для звена, а для полузвена из выражения (8.6) 
.
 |