Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Определение 9.13. Если правая часть может быть представлена в виде произведения двух сомножителей, один из которых зависит только от х, второй от у, т.е.

f (x, y)= f ₁(x)· f ₂(y),

то уравнение

dy=f ₁(x) ·f ₂(y) dx (9.5)

называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Оно преобразуется к уравнению вида

в котором переменные х и у "разделены". Вычислив первообразные функций

находим общий интеграл такого уравнения

F ₂(y)= F ₁(x)+ С,

где .

Пример 9.3. Найти зависимость цены на некоторый товар от времени, если известна скорость изменения этой цены .

Решение. Полагая , f ₂(p)= p –30, получаем

, т. е.

Поскольку интегралы правой и левой части табличные, то нет необходимости в сложных преобразованиях и можно сразу выписать результат

Разрешая относительно p, получим

Если в некоторый исходный момент времени t ₀=0 цена товара была известна и р ₀=40, можно найти соответствующее частное решение , отсюда С= 10. Тогда частное решение, удовлетворяющее начальным условиям , .

Пример 9.4. В настоящее время средний темп прироста населения Земли 5 человек на каждую тысячу за год. Определить каким будет население в 2100 году?

Решение. Обозначим x (t) население в момент времени t. Тогда в момент t +Δ t население составит х +Δ х,отношение — средняя скорость прироста населения.

Предел этого отношения при Δ t →0 будет .

По условию х'= 0,005 x и, следовательно, dx= 0,005 xdt, где f ₁(t)=0,005, f ₂(x)= x, отсюда

и — общее решение.

Подставив начальные условия t ₀=2000 и x ₀=6·10⁹, найдем С ₀:

6·10⁹= С·е ^0,005·2000, 6·10⁹= С·е ¹⁰ и, значит, С ₀=6·10⁹· е ^-10. Тогда частное решение имеет вид: x= 6·10⁹· e ^-10· e ^0,005 ^t.

При находим

Т.е. если тенденция прироста населения сохранится, то к 2100 оно будет около 10 миллиардов человек.

Замечание. Уравнение вида с решением часто встречаются в практических исследованиях, при описании так называемых процессов «рождения и гибели». В биологии так определяется количество особей в популяции, в медицине — количество заболевших инфекционными заболеваниями, в экономике — количество предметов, находящихся в использовании и т.д.

Например, если стоит задача определения загруженности дорог, необходимо учесть количество автомашин, использующих эти трассы. Коэффициент пропорциональности , где — количество автомашин, выпущенных автозаводами (или закупленных населением изучаемого района), — количество машин выбывших из употребления (аварии, естественный износ и т.п.).

Пример 9.5. При реализации товара число потенциальных покупателей N человек, в момент времени t товар приобретен x (t) клиентами. Определить тенденцию роста производства для удовлетворения спроса на данный товар.

Решение. Постановка этой задачи похожа на пример 9.4, но необходимо учесть насыщение рынка. Следовательно,

, ,

, .

Разрешив относительно х, получим,

, .

Это уравнение логистической кривой, часто используемой в экономике при описании тенденций роста производства предметов потребления, количества наличных денег в обороте, эффективности рекламы и т.д.

Однородные уравнения

Определение 9.14. Функция называется однородной функциейстепени n относительно переменных х и y, если при любом справедливо тождество .

Определение 9.15. Уравнение первого порядка называется однородным относительно x и y, если есть однородная функция нулевой степени относительно x и y.