КАФЕДРА ФИЗИКИ
ЭЛЕМЕНТЫКВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
И ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ
Расчетно-графическое задание №6
Иваново 2005
Составители:Т.А.НИКОЛАЕВА
Е.Я.ПОДТЯЖКИН
Редактор: В.Х.КОСТЮК
Расчетно-графическое задание №6 предназначено для обеспечения самостоятельной работы студентов по разделам: «Квантовая механика», «Атомная и ядерная физика».
Приведены варианты контрольных заданий для студентов заочной формы обучения.
Утверждены цикловой методической комиссией ИФФ.
Рецензент
кафедра физики Ивановского государственного энергетического университета
Программа по общему курсу физики.
Раздел «Элементы квантовой механики»
Элементы физики атомов.
Строение атомов. Опыты Резерфорда. Планетарная модель атома и ее недостатки. Волновые свойства частиц. Гипотеза де Бройля. Экспериментальное подтверждение волновых свойств частиц. Дифракция электронов. Корпускулярно- волновой дуализм материи. Соотношение неопределенностей Гейзенберга и невозможность классического описания
движения микрообъектов. Волновая функция и ее свойства. Физический смысл волновой функции. Уравнение Шредингера (нестационарное и стационарное). Свободная частица. Частица в потенциальной яме. Атом водорода. Сложные атомы. Квантовые числа. Принцип Паули. Переодичность химических свойств атомов и объяснение этой переодичности в рамках квантово-механического описания.
Элементы физики ядра.
Строение ядра. Нуклоны. Масса и размеры ядра. Плотность ядерного вещества. Ядерные силы и их свойства. Природа ядерных сил. П-мезоны. Дефект массы. Энергия связи ядра. Удельная энергия связи и ее зависимость от массового числа. Модели ядра. Ядерные реакции, деление тяжелых ядер и синтезы легких ядер. Проблемы источников энергии. Цепная реакция деления. Ядерный реактор. Термоядерный синтез. Явление радиоактивности. Альфа-, бета- и гамма-распад. Закон радиоактивного распада. Период полураспада и среднее время жизни. Туннельный эффект. Слабые взаимодействия. Энергия звезд.
ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА МИКРОЧАСТИЦ. ЧАСТИЦА В БЕСКОНЕЧНО ГЛУБОКОЙ “ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ”.
Согласно де Бройлю, с каждым микрообъектом связываются, с одной стороны, корпускулярные характеристики – энергия E и импульс 
, а с другой – волновые характеристики – частота n и длина волны l. Количественные соотношения, объединяющие корпускулярные и волновые свойства частиц, такие же, как для фотонов:
, 
(1),
где 
Дж·с – постоянная Планка.
Любой частице с импульсом сопоставляют волновой процесс с длиной волны, определяемой по формуле де Бройля:
(2).
В нерелятивистском приближении импульс частицы связан с ее кинетической энергией 
соотношением:
(3).
В релятивистском случае, указанное соотношение приобретает вид:
(4),
где 
- скорость света в вакууме, 
- энергия покоя частицы.
В механике микрочастиц их стационарные состояния описываются волновыми функциями 
, которые являются решениями уравнения Шредингера. В процессе решения этого уравнения находится также ряд допустимых значений энергии частицы.
Для частицы, находящейся в одномерной бесконечно глубокой “потенциальной яме”:
(5),
(6),
где 
- квантовое число ( = 1,2,3, …); 
- масса частицы; 
- ширина ямы и 
= 1,05·10-34 Дж·с – постоянная Планка.
Зная волновую функцию, можно найти плотность вероятности обнаружения частицы в точке с координатой 
:
(7),
где 
- вероятность обнаружить частицу на отрезке от до 
.
Вероятность обнаружить частицу на отрезке от 
до 
равна:
(8).
ПРИМЕРЫРЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. Параллельный пучок электронов падает по нормали на диафрагму с узкой щелью шириной a = 2 мкм. Ширина центрального дифракционного максимума на экране, расположенном на расстоянии l = 50 см от щели, равна b = 80 мкм. Определить скорость электронов (считая ее одинаковой для всех частиц).
Решение.
Дифракция электронов является следствием волновой природы частиц. Для определения скорости электронов применим формулу
де-Бройля (1):
.
Положение дифракционных минимумов можно определить по формуле:
.
Из рисунка 1.1 видно, что:
.
Т.к. угол 
мал, то:
.
Полагая 
, получим что:
Тогда:
Ответ: 
Задача 2. Во сколько раз увеличится длина волны де Бройля у частицы, если ее кинетическая энергия уменьшится от 
до 
?
Решение.
В данном случае, кинетическая энергия частицы сравнима с ее энергией покоя. Поэтому для расчета импульса частицы следует воспользоваться релятивистским выражением (4):
Согласно (2), длина волны де Бройля равна:
Аналогично, во втором случае:
Тогда, отношение длин волн де Бройля равно:
Ответ: 
Задача 3. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной “потенциальной яме” шириной в состоянии с n =2.
1). Вычислить вероятность того, что электрон будет обнаружен в интервале 
2). Найти точки 
и , в которых плотность вероятности обнаружения частицы максимальны.
Решение
1). Вероятность обнаружить частицу в интервале 
определяется равенством (8):
,
где 
- нормированная волновая функция частицы, в данном состоянии.
Согласно (7), возбужденному состоянию (n = 2) отвечает функция
.
С учетом этого:
.
Так как: 
, 
и 
то:
. 
2). Согласно (7), плотность вероятности обнаружения частицы в точке с координатой равна: 
. График этой функции для состояния с n = 2 приведен на рисунке 1.2.
 |
Функция имеет максимумы когда 
, т.е. при 
(
-целое число), 
.
Примем: = 0 
= 1 
Ответ: 1). 
; 2). , .