Введение
При изучении многих практических вопросов естествознания и техники применяется метод поэтапного исследования данного объекта. На первом этапе учитываются самые главные характеристики изучаемого процесса, явления. Потом переходят к следующему этапу, учитывая новые или более точно вычисленные старые характеристики предмета и т.д.
Одним из математических понятий, при помощи которых моделируются подобные ситуации, является «сумма» бесконечного числа слагаемых, за которой утвердилось название ряда.
Понятие бесконечной суммы было известно ученым Древней Греции (Евдокс, Евклид, Архимед). Нахождение бесконечных сумм являлось составной частью так называемого метода исчерпывания, широко используемого древнегреческими учеными для нахождения площадей фигур, объемов тел, длин кривых и т.д. Так, например, Архимед для вычисления площади параболического сегмента (т.е. фигуры, ограниченной прямой и параболой) нашел сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем ¼.
Ряд, как самостоятельное понятие, математики стали использовать в XVII в. И. Ньютон и Г. Лейбниц применяли ряды для решения алгебраических и дифференциальных уравнений. Теория рядов в XVIII – XIX вв. развивалась в работах Я. и И. Бернулли, Б. Тейлора, К. Маклорена, Л.Эйлера, Ж. Даламбера, Ж. Лагранжа и др. Строгая теория рядов была создана в XIX в. на основе понятия предела в трудах К. Гаусса, Б. Больцано, О. Коши, Н. Абеля, Б. Римана и др.
Теория рядов широко используется в теоретических исследованиях различных вопросов естествознания и в приближенных вычислениях.
В частности, программы приближенного вычисления значений элементарных функций и решения многих стандартных задач, заложенные в память ПК, основаны на применении теории рядов.
При изучении теории рядов следует уяснить понятие «ряд», запись ряда и ознакомиться с видами рядов: числовой, функциональный, степенной.
Практическое занятие № 1.
Тема: Числовые ряды.
Продолжительность занятия: - 2 часа;
Цель занятия. Дать понятия ряда, его члена и суммы.
Порядок проведения:
1. изучить теоретический материал;
2. разобрать предложенный пример;
3. выполнить самостоятельно задания; (5,6,7)
4. ответить на контрольные вопросы.
Студент должен:
знать: определение числового ряда; находить его n член и составлять общую формулу ряда
Основные сведения из теории числовых рядов.
Пусть задана бесконечная числовая последовательность
Определение. Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел, соединенных знаком плюс, т.е. выражение вида
числа называются членами ряда.
Индекс, стоящий у каждого члена ряда, указывает его порядковый номер в ряде.
Сокращенно числовой ряд обозначается так:
(1)
Член Un, номер которого не фиксирован, называется общим членом ряда.
Определение. Сумма первых n членов числового ряда (1)
называется n – ой частичной суммой.
Для каждого числового ряда 
можно построить последовательность его частичных сумм:
.........
Определение. Числовой ряд (1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится, т.е. существует конечный предел
Этот предел называют суммой ряда и записывают 
а разность 
- остатком ряда.
Замечание. Ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда 
Если последовательность частичных сумм расходится, т.е., при неограниченном возрастании числа слагаемых (
) в частичной сумме, она или не имеет предела или её предел равен бесконечности, то ряд называют расходящимся.
Расходящийся ряд суммы не имеет.
Числовой ряд
называется сходящимся, если существует конечный предел
(сумма ряда),
где 
. В противном случае ряд считается расходящимся.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия 
является частным случаем сходящегося числового ряда. Её сумма вычисляется по формуле
Вторым типом сходящегося числового ряда, у которого не трудно найти сумму является ряд
Геометрический ряд
сходится при условии q < 1 и его сумма 
если 
то геометрический ряд расходится.
Гармонический ряд
расходится.