Определение LL(k)-грамматик.
Для начала предположим, что G =(N, E, P, S) - однозначная грамматика и w=a1,a2...an - цепочка из L (G). Тогда существует единственная последовательность левовыводимых цепочек b0,b1..bm, для которой S =b0,bi,pi Þ bi+1 при 0<=i<m и am=w. Последовательность p0p1..pm-1 - левый разбор цепочки w.
Допустим, что мы хотим найти этот левый разбор, просматривая w один раз слева направо. Можно попытаться сделать это, строя последовательность левовыводимых цепочек b0,b1..bm. Если bi=a1,a2...ajAB, то к данному моменту анализа мы уже прочли первые j входных символов и сравнили их с первыми j символами цепочки bi. Было бы желательно определить bi+1, зная только a1,a2...aj (часть входной цепочки, считанную к данному моменту), несколько следующих входных символов (aj+1aj+2...aj+k для некоторого фиксированного k) и нетерминал A. Если эти три фактора однозначно определяют, какое правило надо применить для развертки нетерминала A, то ai+1 точно определяется по ai и k входным символам aj+1aj+2...aj+k.
Грамматика, в которой каждый левый вывод обладает этим свойством, называется LL (k)-грамматикой. Мы увидим, что для каждой LL (k)- грамматики можно построить детерминированный левый анализатор, работающий линейное время. Дадим несколько определений:
ОПР: Пусть a=xb такая левовыводимая цепочка в грамматике G =(N, E, P, S), что xÎE*, а b либо начинается нетерминалом, либо пустая цепочка. Будем называть x законченной частью цепочки a, а b - незаконченной частью частью. Границу между x и b будем называть рубежом.
ПРМ: Пусть x=abacAaB, тогда abac - законченная часть цепочки x, AaB - незаконченная часть цепочки. Если x=abc, то abc - законченная часть и е - незаконченная и рубежом служит конец цепочки.
Иными словами идею LL (k) - грамматики можно объяснить так: если имеется уже разобранная часть цепочки, то на основании этого и еще нескольких неразобранных символов мы можем сделать вывод о том, какое правило неоюходимо применить. Таким образом грамматика посуществу не зависит (не считая k последующих символов) от того, что выводится из незаконченной части цепочки. В терминах деревьев этот процесс выглядит следующим образом: дерево вывода цепочки строится начиная с корня и детерминировано сверху вниз.
Вводят функцию FIRST(x) - возвращающую первых k символов. Обычно приписывают в качестве индексов k и G - количество символов и грамматика соответственно, но их возможно опускать, если это не вызовет недоразумений.
ОПР: KC- грамматика G =(N, E, P, S) называется LL (k)-грамматикой для некоторого фиксированного k, если из существования двух левых выводов
(1) S Þw Aa` Þ wb`a` Þwx
(2) S Þw Aa` Þ wc`a` Þwy
для которых FIRST(x)=FIRST(y), вытекает что b` = c`.
Иначе это определение выражает то, что для имеющейся цепочки и зная следующие k символов можно применить не более одного правила вывода. Грамматика называется LL - грамматикой, если она LL (k)- грамматика для некоторого k.
ПРМ: Пусть G состоит из правил S ® aAS | b, A ® a | bSA. Интуитивно G является LL (1)- грамматикой, потому что, коль скоро дан самый левый нетерминал С в левовыводимой цепочке и следующий входной символ с, существует не более одного правила, применимого к С и приводящего к терминальной цепочке, начинающейся символом с. Переходя к определению LL (1)- грамматики, мы видим, что если S Þ wSa` Þ wb`a` Þ wx и S Þ wSa` Þ wc`a` Þ wy и цепочки x и y начинаются одним и тем же символом, то должно быть b` = c`. В данном случае если x и y начинаются символом a, то в выводе участвовало правило S ® aAS и b` = c` = aAS. Альтернатива S ® b здесь невозможна. С другой стороны, если x и y начинаются с b, то должно применяться правило S ® b и b` = c` = b. Заметим, что случай x = y = e здесь невозможен, так как из S в грамматике G не выводится e.
Когда рассматриваются два вывода S Þ wAa` Þ wc`a` Þ wy рассуждение аналогично. Грамматика G служит примером так называемой простой LL (1)- грамматики (или разделенной грамматики).
ОПР: КС-грамматика G =(N, E, P, S) без e -правил называется простой LL (k) - грамматикой (или разделенной грамматикой), если для каждого A Î N все его альтернативы начинаются различными терминальными символами.
Предсказывающие алгоритмы разбора.
Разбор для LL (k)-грамматики очень удобно осуществлять с помощью так называемого k- предсказывающего алгоритма разбора. k-предсказывающий алгоритм использует входную ленту, магазин и выходную ленту. Алгоритм пытается проследить вывод цепочки, записанной на его входной ленте. При чтении анализируемой цепочки входная головка может «заглядывать» вперед на очередные k символа. Эти символы называют аванцепочкой. Алгоритм имеет конфигурацию представляемую тройкой (x,X a, n), где
x - неиспользованная часть входной цепочки
X a - цепочка в магазине и Х - верхний символ
n - цепочка на выходной ленте
Работой k- предсказывающего алгоритма руководит управляющая таблица, которая задает соответствие между множеством
{(верхний символ магазина)Х(аванцепочка)}
и множеством
{(правая часть правила и его номер)|ошибка|выброс|допуск}.
Алгоритм является корректным для грамматики, если для любой цепочки из этой грамматики алгоритм позволяет получить упорядоченный список правил для ее разбора. Если работой некоего алгоритма руководит какая-то таблица и этот алгоритм оказывается корректным для рассматриваемой грамматики, то таблицу называют корректной.
ПРМ:
Пусть дана грамматика с правилами:
(1) S ® aAS
(2) S ® b
(3) A ® a
(4) A ® bSA
Для такой грамматики будет построена таблица:
аванцепочка
a b e
верхний S aAS,1 b,2 ошибка
символ A a,3 bSA,4 ошибка
магазина a выброс ошибка ошибка
b ошибка выброс ошибка
$ ошибка ошибка допуск
По такой таблице будет проведен анализ:
(abbab, S$, e) |-(abbab, aAS$,1)
|-(bbab, AS$,1)
|-(bbab, bSAS$,14)
|-(bab, SAS$,14)
|-(bab, bAS$,142)
|-(ab, AS$,142)
|-(ab, aS$,1423)
|-(b, S$,1423)
|-(b, b$,14232)
|-(e, $,14232)
k- предсказывающий алгоритм разбора КС-грамматики G можно моделировать на детерминированном МП- преобразователе с концевым маркером на входной ленте. Так как входная головка МП- преобразователя может обозреть только один входной символ, аванцепочка должна храниться в конечной памяти управляющего устройства. Остальные детали моделирования очевидны.
ТРМ: Пусть А - k- предсказывающий алгоритм разбора для КС-грамматики G. Тогда существует такой детерминированный МП- преобразователь, который позволяет разобрать любую цепочку из этой грамматики. Иначе говоря можно промоделировать любой алгоритм на указанном преобразователе.
СЛВ: Пусть А - k- предсказывающий алгоритм разбора для КС-грамматики G. Тогда для G существует детерминированный левый анализатор.