для частных случаев решения задач.

Тема№1. Кинематика.

Механическое движение – изменение положения тела в пространстве с течением времени относительно других тел.

Поступательное движение – движение, при котором все точки тела проходят одинаковые траектории.

Материальная точка – тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь, т.к. его размеры пренебрежимо малы по сравнению с рассматриваемыми расстояниями.

Траектория – линия движения тела. (Уравнение траектории – зависимость у(х))

Путь l (м) – длина траектории. Свойства: l ≥ 0, не убывает!

Перемещение s(м) – вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела.

s_х = х – х₀ - длина проекции вектора перемещения

Свойства: s≤ l, s = 0на замкнутой территории. l

Скорость u (м/с) – 1) средняя путевая u = ; средняя перемещения = ; ;

2) мгновенная - скорость в данной точке, может находиться только по уравнению скорости u_х = u_0х + a_хt или по графику u(t)

Ускорение а(м/с²) - изменение скорости за единицу времени.

; = если ↑↑ - движение ускоренноепрямолинейное

↑↑ ()если ↑↓ - движение замедленное прямолинейное

если ^ - движение по окружности

Относительность движения - зависимость от выбора системы отсчета: траектории, перемещения, скорости, ускорения механического движения.

Принцип относительности Галилея – все законы механики одинаково справедливы во всех инерциальных системах отсчета.

Переход от одной системы отсчета к другой осуществляется по правилу:

= + и = -

Где u₁ - скорость тела относительно неподвижной системы отсчета,

u₂ – скорость подвижной системы отсчета,

u_отн (υ₁₂) – скорость 1-го тела относительно 2-го.

 

Виды движения.

Прямолинейное движение.

Прямолинейное равномерное движение.	Прямолинейное равноускоренное движение.
xo =const x sx	xo x xo x sx sx ускоренное замедленное
x = x0 + uxt x по оси х ~ t x0 t против оси	x = x0 + u0xt + x x х ~ t2 xo xo t t ускоренное замедленное
sx = uxt	sx=u0xt + или sx = без t!
ux = const ux по оси Ох t   против оси Ох	ux= uox+ a xt ux по оси Ох ux uo uo замедленное по Ох υ = 0 t t ускоренное ускоренное против оси Ох
a = 0 ах   t	a x = const ах ах t t

Криволинейное движение.

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью	Движение по параболе с ускорением свободного падения.
=2πRn(м/с) - линейная скорость =2πn(рад/с) – угловая скорость т.е u = ω R (м/с2) - центростремительное ускорение T = – период (с), T = n= – частота (Гц=1/с), n =	x = xo + uoxt + ; y = yo + uoyt +   ux= uox+ gxt; uy= uoy+ gyt   uоx = u0 cosa uоy = u0 sina gx = 0 gy = - g   y   ux   uy s x

 

Частные случаи равноускоренного движения под действием силы тяжести.

Движение по вертикали.	Движение тела брошенного горизонтально.
1.Если u0 = 0 ; u = gt 2.Ecли u0↑, тело поднимается на h ; u= u 0 – g t (ось Оу вверх) 3.Ecли u0↑, тело падает c высоты h ; u= -u 0 + gt Ecли u0↓ ; u= u 0 + gt (ось Оу направлена вниз)	h ; s = uоt; uy= gt h - высота, s - дальность полета

Дополнительная информация

для частных случаев решения задач.

1. Разложение вектора на проекции. Модуль вектора может быть найден по теореме Пифагора: S =	2. Средняя скорость. 1) по определению 2) для 2х S; если   3) , если t1 = t2 = … = tn u1 u2
3. Метод площадей. На графике uх(t) площадь фигуры численно равна перемещению или пройденному пути. S =S1 - S2 ℓ = S1+ S2	4. Физический смысл производной. Для уравнений координаты х(t) и y(t) → ux = x΄, uy = y΄, и а х = u΄x = x΄΄, а y = u΄y = y΄΄,
5. Движение колеса без проскальзывания.   uпост = u вращ (если нет проскальзывания) Скорость точки на ободе колеса относительно земли.	6. Дальность полёта. Дальность полета максимальна при угле бросания 45˚ υ0 = const s45 = maxx s60=s30 60˚45˚30˚
7. Свойства перемещения для равноускоренного движения при u o=0. S1 за t =1с S1= = Отношение перемещений сделанных за одну секунду, при uo=0 равно: 1)     0 1s1 1c 3s1 2c 5s1 3c 7s1 4c S1: S2: S3: …: Sn = 1: 3: 5: 7: ….: (2n-1) Sn = S1(2n – 1) = (2n - 1)	2) Отношение перемещений сделанных за время от начала отсчета, при uo=0 равно:   S1: S2: S3: …: Sn = 12: 22: 32: 42: ….: n2 Sn = S1n2 = n2

 

Обучающие задания.

1(А) Решаются две задачи:

а) рассчитывается маневр стыковки двух космических кораблей;

б) рассчитывается период обращения космических кораблей вокруг Земли.

В каком случае космические корабли можно рассматривать как материальные точки?

1) Только в первом случае.

2) Только во втором случае.

3) В обоих случаях.

4) Ни в первом, ни во втором случае.

2(А) Колесоскатывается с ровной горки по прямой линии. Какую траекторию описывает точка на ободе колеса относительно поверхности дороги?

1) Окружность. 3) Спираль.

2) Циклоиду. 4) Прямую.

3(А) Чему равно перемещение точки движущейся по окружности радиусом R при его повороте на 60º?

1) R/2 2) R 3) 2R 4) R

Указание: постройте чертеж, отметьте два положения тела, перемещение будет хордой, проанализируйте каким получится треугольник (все углы по 60º).

4(A) Какой путь проделает катер, делая полный разворот радиусом 2м?

1) 2 м 3) 6,28 м

2) 4 м 4) 12,56 м

Указание: сделайте чертеж, путь здесь это длина полуокружности.

5(А) На рисунке представлен график движения автобуса из пункта А в пункт Б и обратно. Пункт А находится в точке х = 0, а пункт Б – в точке х = 30 км. Чему равна максимальная путевая скорость автобуса на всем пути следования туда и обратно?

1) 40 км/ч

2) 50 км/ч

3) 60 км/ ч

4) 75 км/ч

6(А) Тело начинает движение прямолинейно равноускоренно вдоль оси Ох. Укажите правильное расположение векторов скорости, и ускорения в момент времени t.

х

х

1) х 3) х

 

2) х 4) х

 

Указание: при прямолинейном движении векторы v и а направлены вдоль одной прямой, при увеличении скорости – сонаправлены.

7(А) Автомобиль половину пути проходит со скоростью u ₁, а вторую половину пути со скоростью u ₂, двигаясь в том же направлении. Чему равна средняя скорость автомобиля?

1) 3)

2) 4)

Указание: данная задача является частным случаем нахождения средней скорости. Вывод формулы исходит из определения

, где s₁=s₂, а t₁ = и t₂=

8(А) Уравнение зависимости проекции скорости движущегося тела от времени имеет вид: u_x= 3-2t(м/с).Каково уравнение проекции перемещения тела?

1) s_x=2t² (м) 3) s_x=2t-3t² (м)

2) s_x=3t-2t² (м) 4) s_x=3t-t² (м)

Указание: запишите уравнение скорости равноускоренного движения в общем виде и, сравнив его с данным в задаче, найдите чему равны u₀ и а, вставьте эти данные в уравнение перемещения, записанное в общем виде.

9(А) Какой путь пройдет свободно падающее из состояния покоя тело за пятую секунду? Ускорение свободного падения принять за 10м/с².

1) 45 м 2) 55 м 3) 125 м 4) 250 м

Указание: запишите выражение h для случая u_o =0, искомое h= h₅- h₄, где соответственно h за 5 с и 4 с.

10(А) Если тело, начавшее двигаться равноускоренно из состояния покоя, за первую секунду проходит путь S, то за первые три секунды оно пройдет путь

1) 3S 2) 4S 3) 8S 4) 9S

Указание: используйте свойства перемещения равноускоренного движения для u₀=0

11(А) Два автомобиля движутся на встречу друг другу со скоростями 20 м/с и 90 км/ч, соответственно. Какова по модулю скорость первого относительно второго?

1) 110 м/с 2) 60 м/с 3) 45 м/с 4) 5м/с

Указание: Относительная скорость - это разность векторов, т.к. векторы скоростей направлены противоположно, она равна сумме их модулей.

12(А) Наблюдатель с берега видит, что пловец пересекает реку шириной h=189 м перпендикулярно берегу. При этом скорость течения реки u=1,2 м/с, а скорость пловца относительно воды u=1,5м/с. Пловец пересечет реку за ….

1) 70 с 2) 98 с 3) 126 с 4) 210 с

Указание: постройте треугольник скоростей исходя из = + _, перейдите к теореме Пифагора, выразите из неё скорость пловца относительно берега, и с ней найдите время.

13(А) Прискорости 10 м/с время торможения грузового автомобиля равно 3с. Если при торможении ускорение автомобиля постоянно и не зависит от начальной скорости, то при торможении автомобиль снизит свою скорость от 16м/с до 9 м/с за …

1) 1,5 с 2) 2,1 с 3) 3,5 с 4) 4,5 с

Указание: из рассмотрения первой ситуации найдите ускорение и подставьте его в уравнение скорости для второй ситуации, из него и можно выразить искомое время.

14(А) От пристани отходит теплоход, движущийся с постоянной скоростью 18км/ч, через 40 с от той же пристани вдогонку отправляется катер с ускорением 0,5 м/с². Через какое время он догонит теплоход, двигаясь с постоянным ускорением?

1) 20 с 2) 30 с 3) 40 с 4) 50 с

Указание: примите время движения катера за t, тогда время движения теплохода t+40, запишите выражения перемещения теплохода (движение равномерное) и катера (движение равноускоренное) и приравняйте их. Решите квадратное получившееся квадратное уравнение относительно t. Не забудьте сделать перевод единиц 18 км/ч = 5 м/с.

15(А) Двое играют в мяч, бросая его под углом α=60º к горизонту. Мяч находится в полете t =2 с. При этом расстояние, на котором находятся играющие, равно

1) 9,5 м 2) 10 м 3) 10,5 м 4) 11,5 м

Указание: сделайте рисунок – в осях х,у – траектория парабола, точка пересечения параболы с осью х соответствует дальности полета, в этой точке уравнение x(t) имеет вид s=u_ocos60 º t. Для нахождения u₀ используйте уравнение y(t), которое в той же точке имеет вид 0=u_osin60 º t- . Из этого уравнения выразить u_o и подставить в первое уравнение. Расчетная формула имеет вид

16(А) Самолет летит с грузом к месту назначения на высоте 405м над песчаной местностью с горизонтальным профилем со скоростью 130 м/с. Чтобы груз попал в намеченное место на земле (силой сопротивления движения пренебречь), летчик должен освободить его от крепежа, не долетев до цели

1) 0,53 км 3) 0,95 км

2) 0,81 км 4) 1,17 км

Указание: рассмотрите в теории пример «Движение тела брошенного горизонтально». Из выражения высоты полета выразите время падения и подставьте его в формулу дальности полета.

17(В) Материальная точка движется с постоянной скоростью по окружности радиуса R, совершая один оборот за время Т. Как изменятся перечисленные в первом столбце физические величины, если радиус окружности увеличится, а период обращения останется прежним

Физические величины. Их изменение.

А) Скорость 1) увеличится

Б) Угловая скорость 2)уменьшится

В) Центростремительное 3)не изменится

ускорение

А	Б	В

Указание: запишите определяющие формулы предложенных величин через R и проанализируйте их математическую зависимость с учетом постоянства периода, Цифры правого столбца могут повторяться.

18(В) Чему равна линейная скорость точки поверхности земного шара, соответствующей 60º северной широты? Радиус Земли 6400 км. Ответ дать в м/с, округлить до целых.

Указание: сделайте чертеж и обратите внимание, что точка на указанной широте вращается относительно земной оси по окружности с радиусом r = R_земcos60º.

19(В) По графику зависимости скорости тела от времени определить путь, пройденный за 5 с. υ, м/с

 

 

T, с

Указание: наиболее простой способ нахождения пути через площадь фигуры под графиком. Сложную фигуру можно представить как сумму двух трапеций и одного прямоугольника.

20(С) Наклонная плоскость пересекается с горизонтальной плоскостью по прямой АВ. Угол между плоскостями α=30º. Маленькая шайба начинает движение вверх по наклонной плоскости из точки А с начальной скоростью u₀ = 2 м/спод углом β=60º к прямой АВ. В ходе движения шайба съезжает на прямую АВ в точке В. Пренебрегая трением между шайбой и наклонной плоскостью найдите расстояние АВ.

 

 

Указание: для решения задачи следует рассмотреть траекторию движения шайбы –параболу лежащую на наклонной плоскости и выбрать оси координат см. рис.

у

 

 

В т.В х=s и уравнение х(t) имеет вид s=u_ocos60 º t

Найти t можно из уравнения у(t), в этой точке оно будет иметь вид 0=u_osin60ºt – . Решая совместно эту систему уравнений найдите s.

Ответы к обучающим заданиям.

 

1А	2А	3А	4А	5А	6А	7А	8А	9А	10А
11А	12А	13А	14А	15А	16А	17В	18В	19В	20С
									69 см

Тренировочные задания.

1(А) В каком случае можно принять за материальную точку снаряд:

а) расчет дальности полета снаряда;

б) расчет формы снаряда, обеспечивающей уменьшение сопротивления воздуха.

1) Только в первом случае. 2) Только во втором случае.

3) В обоих случаях. 4) Ни в первом, ни во втором случае.

2(А) Колесоскатывается с ровной горки по прямой линии. Какую траекторию

описывает центр колеса относительно поверхности дороги?

1) Окружность. 3) Спираль.

2) Циклоиду. 4) Прямую.

3(А) Чему равно перемещение точки движущейся по окружности радиусом R при его повороте на 90º?

1) R/2 2) R 3) 2R 4) R

4(А) Какой из графиков может быть графиком пройденного телом пути?

 

1) 3)

 

2) 4)

5(А) На рисунке представлен график проекции скорости движения тела Чему равно по модулю минимальное ускорение тело на всем пути следования?

1) 2,4 м/c² u_х, м/с

2) 2 м/с²

3) 1,7 м/c²

4) 1 м/c²

t, с

6(А) Тело равномерно движется по окружности. Укажите правильное расположение векторов линейной скорости и ускорения в т.А.

А

1)

3)

 

2) 4)

 

 

7(А) Автомобиль половину времени проходит со скоростью u ₁, а вторую половину времени со скоростью u ₂, двигаясь в том же направлении. Чему равна средняя скорость автомобиля?

1) 3)

2) 4)

8(А) Уравнение зависимости координаты движущегося тела от времени имеет вид:

х = 4 - 5t + 3t²(м).Каково уравнение проекции скорости тела?

1) u _x = - 5 + 6t (м/с) 3) u _x = - 5t + 3t² (м/с)

2) u _x = 4 - 5t (м/с) 4) u_x = - 5t + 3t (м/с)

9(А) Парашютист опускается вертикально вниз с постоянной скоростью u =7 м/с. Когда он находится на высоте h= 160 м, у него из кармана выпадает зажигалка. Время падения зажигалки на землю равно

1) 4 с 2) 5 с 3) 8 с 4) 10 с

10(А) Если тело, начавшее двигаться равноускоренно из состояния покоя, за первую секунду проходит путь S, то за четвертую секунду оно пройдет путь

1) 3S 2) 5S 3) 7S 4) 9S

11(А) С какой скоростью удаляются друг от друга два автомобиля, разъезжаясь от перекрестка по взаимно перпендикулярным дорогам со скоростями 40км/ч и 30км/ч?

1) 50км/ч 2) 70км/ч 3) 10 км/ч 4) 15 км/ч

12(А) Два объекта двигаются соответственно уравнениям u _x1 = 5 - 6t (м/с) и х₂ = 1 - 2t + 3t² (м). Найдите модуль их скоростиотносительно друг друга через 3 с после начала движения.

1) 3 м/с 2) 29 м/с 3) 20 м/с 4) 6 м/с

13(А) При разгоне из состояния покоя автомобиль приобрёл скорость 12 м/с, проехав 36 м. Если ускорение автомобиля постоянно, то через 5 с после старта его скорость будет равна

1) 6 м/с 2) 8 м/с 3) 10 м/с 4) 15 м/с

14(А) Два лыжника стартуют с интервалом ∆t. Скорость первого лыжника 1,4 м/с, скорость второго лыжника 2,2 м/с. Если второй лыжник догонит первого через 1 мин, то интервал ∆t равен

1) 0,15 мин 3) 0,8 мин

2) 0,6 мин 4) 2,4 мин

15(А) Мяч брошен с начальной скорость 30 м/с. Время всего полета мяча при угле бросания α=45º равно

1) 1,2 с 2) 2,1 с 3) 3,0 с 4) 4,3 с

16(А) Камень брошен с башни с начальной скоростью 8 м/с в горизонтальном направлении. Его скорость станет по модулю равной 10 м/с спустя

1) 0,6 с 2) 0,7 с 3) 0,8 с 4) 0,9 с

17(В) Материальная точка движется с постоянной скоростью по окружности радиуса R. Как изменятся перечисленные в первом столбце физические величины, если частота вращения точки уменьшится?

Физические величины. Их изменение.

А) Угловая скорость 1) увеличится

Б) Центростремительное 2) уменьшится

ускорение 3) не изменится

В) Период обращения

по окружности

А	Б	В

18(В) Две материальные точки движутся по окружностям радиусами R₁ и R₂ причем R₂ = 4 R₁. При равенстве линейных скоростей точек отношение их центростремительных ускорений а₁/а₂ равно ……

19(В) По графику зависимости скорости тела от времени определить среднюю скорость за всё время движения. Точность результата указать до десятых.

υ, м/с

t, с

20(С) Наклонная плоскость пересекается с горизонтальной плоскостью по прямой АВ. Угол между плоскостями α=30º. Маленькая шайба начинает движение вверх по наклонной плоскости из точки А с начальной скоростью u₀ = 2 м/спод углом β=60º к прямой АВ. Найдите максимальное расстояние, на которое шайба удалится от прямой АВ в ходе подъема по наклонной плоскости. Трением между шайбой и наклонной плоскостью пренебречь.

 

 

 

Ответы к тренировочным заданиям.

 

1А	2А	3А	4А	5А	6А	7А	8А	9А	10А
11А	12А	13А	14А	15А	16А	17В	18В	19В	20С
								21,7 м/с	30 см

 

Контрольные задания.

1 (А) Материальная точка – это:

1) тело пренебрежимо малой массы;

2) тело очень малых размеров;

3) точка, показывающая положение тела в пространстве;

4) тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь.

2(А) Как называется изменение положение одного тела относительно другого:

1) траекторией;

2) перемещением;

3) путем;

4) механическим движением.

3(А) Чему равно перемещение точки движущейся по окружности радиусом R при его повороте на 180º?

1) R/2 2) R 3) 2R 4) R

4(А) Линию, которую описывает тело, при движении в пространстве называют:

1) траекторией;

2) перемещением;

3) путем;

4) механическим движением.

5(А) На рисунке представлен график движения тела из пункта А в пункт Б и обратно. Пункт А находится в точке х₀=30м, а пункт Б – в точке х = 5 м. Чему равна минимальная скорость автобуса на всем пути следования туда и обратно?

1) 5,2 м/с х, м

2) 5 м/с

3) 6 м/с

4) 4,2 м/с

t, с

6(А) Тело начинает торможение прямолинейно равноускоренно вдоль оси Ох. Укажите правильное расположение векторов скорости и ускорения в момент времени t.

1) 3)

х х

2) _х 4) _х

7(А) Находящемуся на горизонтальной поверхности стола бруску сообщили скорость 5 м/с. Под действием силы трения брусок движется с ускорением, равным по модулю 1 м/с². Чему равен путь, пройденный бруском за 6 с?

1) 5 м 2) 12 м 3) 12,5 м 4) 30 м

8(А) Уравнение зависимости проекции перемещения движущегося тела от времени имеет вид: s_x = 10t + 4t²(м).Каково уравнение координаты тела, начавшего движение из точки с координатой 5?

1) х = 5+10t+2t² (м) 3) х = 5+10t+4t² (м)

2) х = 5+5t+2t² (м) 4) х = 5+10t+2t² (м)

9(А) Подъемный кран поднимает груз вертикально вверх с некоторой скоростью u₀. Когда груз находится на высоте h =24м, трос крана обрывается и груз падает на землю за 3 с. С какой скоростью груз упадет на землю?

1) 32 м/с 2) 23 м/с 3) 20 м/с 4) 21,5 м/с

10(А) Тело, начавшее двигаться равноускоренно из состояния покоя с ускорением 2 м/с², то за третью секунду оно пройдет путь

1) 7 м 2) 5 м 3) 3 м 4) 2 м

11(А) Координаты движущихся вдоль одной прямой тел А и В изменяются со временем, как показано на графике. Какова скорость тела А относительно тела В?

1) 40 м/с х,м

2) 15 м/с А

3) 10 м/с

4) 5 м/с В

 

t, c

12(А) Лестница эскалатора поднимается вверх со скоростью u, с какой скоростью относительно стен, должен по ней спускаться человек, что бы покоиться относительно людей стоящих на лестнице идущей вниз?

1) u 2) 2u 3) 3u 4) 4u

13(А) При скорости 12 м/с время торможения грузового автомобиля равно 4с. Если при торможении ускорение автомобиля постоянно и не зависит от начальной скорости, то автомобиль при торможении снизит скорость от 18 м/с до 15 м/с, проехав

1) 12,3 м 3) 28,4 м

2) 16,5 м 4) 33,4 м

14(А) По кольцевой автомобильной дороге длиной 5 км в одном направлении едут грузовой автомобиль и мотоциклист со скоростями соответственно u₁ = 40 км/ч иu₂ = 100 км/ч. Если в начальный момент времени они находились в одном месте, то мотоциклист догонит автомобиль, проехав

1) 3,3 км 3) 8,3 км

2) 6,2 км 4) 12,5 км

15(А) Тело бросили с поверхности Земли под углом α к горизонту с начальной скоростью u₀ = 10м/с, если дальность полета тела составляет L = 10 м, то угол α равен

1) 15º 2) 22,5 º 3) 30º 4) 45º

16(А) Мальчик бросил мяч горизонтально из окна, находящегося на высоте 20 м.Мяч упал на расстоянии 8 м от стены дома. С какой с начальной скоростью был брошен мяч?

1) 0,4 м/с 2) 2,5 м/с 3) 3 м/с 4) 4 м/с

17(В) Материальная точка движется с постоянной скоростью по окружности радиуса R. Как изменятся перечисленные в первом столбце физические величины, если скорость точки увеличится?

Физические величины. Их изменение.

А) Угловая скорость 1) увеличится

Б) Центростремительное 2) уменьшится

ускорение 3) не изменится

В) Период обращения

по окружности

А	Б	В

18(В) По графику зависимости скорости тела от времени определить путь, пройденный за 5 с.

υ, м/с

T, с

19(В) Центростремительное ускорение материальной точки, движущейся по окружности, при увеличении линейной скорости в 2 раза и угловой скорости в 2 раза при неизменном радиусе возросло в …. раз.

20(С) Наклонная плоскость пересекается с горизонтальной плоскостью по прямой АВ.

 

 

 

Угол между плоскостями α=30º. Маленькая шайба скользит вверх по накло