Для начала рассмотрим следующий любопытный факт. Для того, чтобы умножить двоичное число на 2 (десятичная двойка это 10 в двоичной системе) достаточно к умножаемому числу слева приписать один ноль.
Пример. 10101 * 10 = 101010
Проверка.
10101 = 1*24 + 0*23 + 1*22 + 0*21 +1*20 = 16 + 4 + 1 = 21
101010 =1*25 + 0*24 + 1*23 + 0*22 +1*21 +0*20 = 32 + 8 + 2 = 42
21 * 2 = 42
Если мы вспомним, что любое двоичное число разлагается по степеням двойки, то становится ясно, что умножение в двоичной системе счисления сводится к умножению на 10 (то есть на десятичную 2), а стало быть, умножение это ряд последовательных сдвигов. Общее правило таково: как и для десятичных чисел, умножение двоичных выполняется поразрядно. И для каждого разряда второго множителя к первому множителю добавляется один ноль справа. Пример (пока не столбиком):
1011 * 101 Это умножение можно свести к сумме трёх порязрядных умножений:
1011 * 1 + 1011 * 0 + 1011 * 100 = 1011 +101100 = 110111 В столбик это же самое можно записать так:
| * | |||||
Примечание: Кстати таблица умножения в двоичной системе состоит только из одного пункта 1 * 1 = 1
Проверка:
101 = 5 (десятичное) 1011 = 11 (десятичное)
110111 = 55 (десятичное) 5*11 = 55 верное равенство
Решите самостоятельно:
а) 1101 * 1110 = _________________ б) 1010 * 110 = __________________
в) 1011 * 11 = _______________ г) 101011 * 1101 = _______________
д) 10010 * 1001 = __________________
Деление в двоичной системе счисления
Мы уже рассмотрели три действия и думаю уже понятно, что в общем-то действия над двоичными числами мало отличаются от действий над десятичными числами. Разница появляется только в том, что цифр две а не десять, но это только упрощает арифметические операции. Так же обстоит дело и с делением, но для лучшего понимания алгоритм деления разберём более подробно. Пусть нам необходимо разделить два десятичных числа, например 234 разделить на 7. Как мы это делаем.
|
|
Мы выделяем справа (от старшего разряда) такое количество цифр, чтобы получившееся число было как можно меньше и в то же время больше делителя. 2 - меньше делителя, следовательно, необходимое нам число 23. Затем делим полученное число на делитель с остатком. Получаем следующий результат:
| - | |||||
Описанную операцию повторяем до тех пор, пока полученный остаток не окажется меньше делителя. Когда это случится, число полученное под чертой, это частное, а последний остаток - это остаток операции. Так вот операция деления двоичного числа выполняется точно также. Попробуем
Пример: 10010111 / 101
Ищем число, от старшего разряда которое первое было бы больше чем делитель. Это четырехразрядное число 1001. Оно выделено жирным шрифтом. Теперь необходимо подобрать делитель выделенному числу. И здесь мы опять выигрываем в сравнении в десятичной системой. Дело в том, что подбираемый делитель это обязательно цифра, а цифры у нас только две. Так как 1001 явно больше 101, то с делителем всё понятно это 1.
| - | |||||||||||
Итак, остаток от выполненной операции 100. Это меньше чем 101, поэтому чтобы выполнить второй шаг деления, необходимо добавить к 100 следующую цифру, это цифра 0. Теперь имеем следующее число:
|
|
| - | |||||||||||
| - | |||||||||||
| - | |||||||||||
1000 больше 101 поэтому на втором шаге мы опять допишем в частное цифру 1 и получим следующий результат (для экономии места сразу опустим следующую цифру).
Полученное число 110 больше 101, поэтому и на этом шаге мы запишем в частное 1. Получиться так:
| - | |||||||||||
| - | |||||||||||
| - | |||||||||||
Полученное число 11 меньше 101, поэтому записываем в частное цифру 0 и опускаем вниз следующую цифру. Получается так:
|
|
| - | ||||||||||||||
| - | ||||||||||||||
| - | ||||||||||||||
Полученное число больше 101, поэтому в частное записываем цифру 1 и опять выполняем действия. Получается такая картина:
| - | ||||||||||||||
| - | ||||||||||||||
| - | ||||||||||||||
| - | ||||||||||||||
Полученный остаток 10 меньше 101, но у нас закончились цифры в делимом, поэтому 10 это окончательный остаток, а 1110 это искомое частное.
Проверим в десятичных числах
10010011 = 147 101 = 5
10 = 2 11101 = 29
| - | |||||
| - | |||||
На этом мы заканчиваем описание простейших арифметических операций, которые необходимо знать, для того, чтобы пользоваться двоичной арифметикой, и теперь попробуем ответить на вопрос "Зачем нужна двоичная арифметика". Конечно, выше уже было показано, что запись числа в двоичной системе существенно упрощает арифметические операции, но в то же время сама запись становится значительно длиннее, что уменьшает ценность полученного упрощения, поэтому необходимо поискать такие задачи, решение которых существенно проще в двоичных числах.
Самостоятельная работа № 4
1. Выполните сложение, вычитание, умножение в двоичной системе счисления:
| 1.1111 и 1011; | ||||
| 2.1001 и 110; | ||||
| 3.11001 и 10111; | ||||
| 4.111 и 101; | ||||
| 5.10011 и 1101; | ||||
| 6.10011 и 1001; | ||||
| 7.110110 и 11111; | ||||
| 8.10011001 и 1101; | ||||
| 9.10101 и 1101; | ||||
| 10. 10111и 111; | ||||
| 11.11001и 111; | ||||
| 12.10111 и 111100; | ||||
| 13.11000 и 1101; | ||||
| 14.1011и 111. | ||||
| 15.1100100 и 100011; | ||||
| 16.101101 и 1101; | ||||
Ответ: __________________
2. Выполните деление в двоичной системе счисления:
- 10100101: 1011=
- 10100101:1111=
- 110110:110=
- 110110:1001=
- 1000111111:11001=
- 1000111111:10111=
- 11110111:10011=
- 11110111:1101=
- 10101011: 10011=
- 10101011: 1001=
- 10100001:111=
- 10100001:10111=
- 10101111:111=
- 10101111:11001=
- 1001101:1011=
- 1001101:111=
Ответ: __________________
Контрольная работа по теме «Системы счисления»
В-1.
№ 1.
Представьте в развернутой форме:
а) 4563 
; б) 100101 
;
№ 2.
Переведите число 75 из десятичной системы счисления в двоичную.
№ 3.
Выполните действия:
а) 11001101011 + 1110000101 ; б) 101011 – 10011 ; в) 1011 · 101 
.
В-2.
№ 1
Представьте в развернутой форме:
а) 1563 ; б) 100111 ;
№ 2.
Переведите число 67 из десятичной системы счисления в двоичную.
№ 3.
Выполните действия:
а) 11001101111 + 1110000101 ; б) 10111 – 10011 ; в) 1111 · 101 .
В-3.
№ 1
Представьте в развернутой форме:
а) 2563 ; б) 110101 ;
№ 2.
Переведите число 59 из десятичной системы счисления в двоичную.
№ 3.
Выполните действия:
а) 11111101011 + 1110000111 ; б) 11111 – 10011 ; в) 10011 · 101 .
В-4.
№ 1
Представьте в развернутой форме:
а) 2573 
; б) 1010101 ;
№ 2.
Переведите число 95 из десятичной системы счисления в двоичную.
№ 3.
Выполните действия:
а) 11111101001 + 1110000111 ; б) 11101 – 10011 ; в) 10111 · 101 . Дополнительный раздел: «Занимательно и интересно!»
А) Рисуем по точкам.
В таблице 1 приведены номер точки и ее координаты, записанные в двоичной системе счисления.
Для каждой точки выполните перевод ее координат в десятичную систему счисления и отметьте точку на координатной плоскости. Правильно сделав перевод и соединив последовательно все точки, вы получите некоторый рисунок. Рисунок изобразите в рабочей тетради.
Таблица 1
| № точки | Координаты точки | (X;Y) | |
| X | Y | ||
| 1002 | 102 | ||
| 1012 | 1012 | ||
| 12 | 1012 | ||
| 112 | 10102 | ||
| 1002 | 10102 | ||
| 112 | 1102 | ||
| 1012 | 1102 | ||
| 1102 | 1012 + 1002 | ||
| 1112 | 10012 | ||
| 1102 | 1102 | ||
| 1002 * 102 | 1102 | ||
| 10002 | 1012 | ||
| 1102 | 1012 | ||
| 1012 | 102 |
Б) Рождение цветка.
Понаблюдаем за рождением цветка: сначала появился один листочек, затем второй … и вот распустился бутон. Постепенно подрастая, цветок показывает нам некоторое двоичное число. Если вы до конца проследите за ростом цветка, то узнаете, сколько дней ему понадобилось, чтобы вырасти.
Ответ: ______________
В) Русская поговорка.
Здесь зашифрована известная русская поговорка. Прочитайте ее, двигаясь с помощью двоичных цифр в определенной последовательности.
Ответ: ____________________________________________
Для любознательных
Ещё два способа преобразования чисел 10-й в 2-ую систему счисления:
I. Метод вычитания
С детства мы считать учились – раз, два, три, четыре, пять
Десятичной ту систему мы привыкли называть.
Были палочки и счеты, калькулятор, Пифагор,
А теперь перед глазами – серебристый монитор.
Эта умная машина сможет все нам сосчитать
Ну, а как она считает – предстоит нам разобрать.
Мы считаем в десятичной – два, двенадцать, сто один,
А компьютер лишь в двоичной – либо ноль, либо один.
Разберемся на примере: число будет – сорок пять
Наибольшую здесь степень нам придется сосчитать
Раз считаем мы в двоичной основанье всегда два
Показатель мы находим от начального числа.
И поскольку изначально наша цифра сорок пять,
|
В показателе пятерка в основанье цифра два
|
Возведем мы двойку в степень и получим 32.
|
Возвращаемся мы снова к нашей цифре 45
|
Нам теперь от этой цифры 32 нужно отнять.
Разность сосчитать нам просто мы уже не первый класс
Видим: циферка 13 получается у нас.
Теперь циферку 13 также как и 45
Вместе с вами нам придется разложить и посчитать
Снова в основанье двойка показатель будет три
Двойка в третьей будет восемь ну, а дальше сам смотри.
У 45-ти два в пятой умножаем на один
У 13 два в третьей тоже множим на один
Два в четвертой не встречалась, тут и нечего гадать
Значит, будем два в четвертой мы на нолик умножать.
Запись: 4510 = 1*25+0*24+1*23+1*22+0*21+1*20 =1011012
Подводим итог: Необходимо разложить данное нам число по степеням «2». В том случае, если полная степень «2» присутствует при разложении, сомножителем будет единица, если степени «2» нет – сомножитель ноль. Важно! При записи числа в «2»-ой системе счисления нельзя пропускать ни одну степень.
II. Метод степеней
Разберем еще один пример: Перевести из «10»-ой системы счисления в «2»-ю число 23. Какие степени «2» представлены в этом числе?
1) Ищем максимальную степень «2» – это 24 =16. Итак: 23-16=7
2) Для числа 7 подбираем максимальную степень это 22 =4. Вычитаем 7-4=3.
3) Для числа 3 подбираем максимальную степень это 21 =2. Вычитаем 3-2=1.
4) Для числа 1 остался единственный вариант это степень 20 =1.
Теперь можем записать разложение числа 23 по степеням «2»:
Запись: 2310 =1*24 +0*23 +1*22 +1*21 +1*20