Общие свойства групп симметрии

Из самого определения операции симметрии видно, что они удовлетворяют постулатам, сформулированным для группы. Следовательно, полный набор операций симметрии некоторой фигуры образует группу. Любая операция группы преобразует систему элементов симметрии в самое себя, т.к фигура, к которой принадлежит эта система элементов, согласно определению операции симметрии, приводится к совпадению с собой. Элементы симметрии, которые таким образом могут быть преобразованы один движения. Другими словами все оси и плоскости симметрии молекулы должны пересекаться в одной точке. Перед тем как перейти к построению возможных типов точечных групп, рассмотрим простой геометрический способ, позволяющий легко произвести разделение элементов групп по классам. Пусть Oa некоторая ось и элемент A есть поворот вокруг этой оси на некоторый угол. Пусть далее G элемент из той же группы (поворот или отражение) который будучи применен к той же оси Оa переводит ее в положение Оb. Можно показать, что тогда элемент W=GAG^-1 отвечает повороту вокруг оси Оb на такой же угол, на который элемент А поворачивает пространство вокруг Оa. Действительно, рассмотрим воздействие GAG^-1 на ось Оb. Преобразование G^-1 переводит Оa в Оb; преобразование A (поворот) оставляет ось на месте; последующая операция G переводит Oa в Ob. Поскольку результирующая операция GAG^-1 оставляет ось Оb на месте, то Оb есть ось вращения. Поскольку А и В сопряжены, они относятся к одному классу и имеют одинаковый порядок, т.е. производят поворот на один и тот же угол. Покажем математически, что Вⁿ=Е

В^p= (GA_nG^-1) ^p=GA_nG^-1GA_nG^-1... GA_nG^-1=GA_nA_nA_n. A_nG^-1=GA_n^pG^-1

Это выражение равно E при p=n и не является операцией идентичности при всех других значениях p. Таким образом, два поворота а одинаковый угол относятся к одному классу, если в числе элементов группы имеется преобразование, с помощью которого можно совместить одну ось поворота с другой. Точно также две операции в плоскости относятся к одному классу, если есть операция переводящая одну ось в другую. Если же оба поворота производятся вокруг одной и той же оси, то операции поворота будут относится к одному и тому же классу, если ось двусторонняя. Элемент, обратный С_n^k (k=1,2,. n-1) вокруг оси порядка n, будет С_n^-k = С_n^n-k, т.е. представляет собой поворот на угол (n-k) 2p/n в том же направлении или на угол k2p/n в обратном направлении. Если в числе преобразовании группы имеется поворот на угол p вокруг оси, перпендикулярной данной С_n (меняет направление оси), то согласно доказанному общему правилу С_n^k и С_n^-k относятся к одному классу. Отражение в плоскости s_h тоже меняет направление оси, но меняет также и направление вращения. Таким образом наличие s_h не делает С_n^k и С_n^-k сопряженными. Отражение в s_v не меняет направление оси, но меняет направление вращения и поэтому C_n^-k = s_vC_n^ks_v /

Итак, различные типы элементов симметрии могут входить в различные классы. Число элементов в каждом классе определяется путем рассмотрения числа сопряженных элементов симметрии, соответствующих каждой операции. С этой геометрической интерпретацией легко определить и классифицировать все возможные точечные группы. Мы рассмотрим сначала проблему нахождения групп более высокой симметрии путем добавления некоторых элементов к группам более низкой симметрии. По аналогии с {A}, что обозначает период А, мы обозначим через {А, В} все величины типа А_mВ_n, где порядок А и В не изменяется. Рассмотрим группу G с системой элементов G₁, G₂... G_n-1. Мы хотим добавить к ней систему элементов А¹, А²... A^m с операцией А, соответствующей одному из элементов. Каким условиям должны удовлетворять группа G и операция A, чтобы {G,A} тоже составляла группу? В любой группе система элементов симметрии преобразуется сама в себя при любой операции группы. Набор, состоящий из Е, G₁, G₂,... G_n-1 и A¹, А²,. A^m, очевидно в том случае будет удовлетворять этому требованию, если любая степень А преобразует операции из G в самое себя, и любая операция из G приведем к совпадению А с собой. Если G состоит из Е, G₁,... G_n-1, то это означает, что для любого G_k и любой степени А_m существует другая операция G_p, такая, что должны быть выполнены два условия:

1. A_mG_kА_-m=G_p или A_m G_k=G_pA_m

2. G_kA (G_k) - ¹=А_j

Можно проверить, что при этих условиях {G,A} - группа, т.е. все величины типа G_kA_m действительно представляют собой группу. Поскольку G - группа и A -операция симметрии, то мы должны показать только, что произведение двух операции например, G_pA_m и G_jА_r содержится в {G,A }. Действительно,

G_pA_m G_jA_r=A_mG_P G_jA_r=A_mG_sA_r=A_m G_sA_-m A_r+m= G_tA_r+m=G_tA_q

что по определению содержится в {G,A}. Операция А и ее степени могут преобразовывать такие элементы G один в другой, которые не эквивалентны по отношению к операциям из G. Поэтому не следует ожидать, что классы группы вращения будут идентичны с классами группы второго рода, полученными из нее. Это, однако будет иметь место, если A=I, т.к операция инверсии I может лишь преобразовывать каждый отдельный элемент группы G сам в себя. Поскольку инверсия коммутирует с любой другой операцией, класс группы {G, I} получается из класса группы G умножением каждого (сопряженного) элемента на I, т.к G_kG_j (G_k) - ¹=G_n предполагает G_kIG_j (Gk) - ¹=IG_n.

Поэтому группа {G, I} имеет вдвое больше классов, чем G. Может быть показано, что представленный метод построения действительно приводит по всем возможным группам симметрии. Далее можно доказать, что если группа имеет более, чем одну ось симметрии порядка выше второго, то ее система осей идентична с системой осей правильного многогранника. Единственные правильные многогранники суть тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Из них куб и октаэдр, а также додекаэдр и икосаэдр имеют по одинаковому набору осей симметрии.