Классификация групп симметрии

Мы начнем с рассмотрения групп вращения, а затем добавим к ним элементы симметрии второго рода.

A. ГРУППЫВРАЩЕНИЯ

1. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫС_n. Это простейший возможный вид симметрии, который содержит одну ось n -го порядка. Группа циклическая. Каждый из n элементов составляет класс, поскольку операции коммутативны.

2. ДИЭДРАЛЬНЫЕ ГРУППЫD_n={C_n,C₂}. Добавим к n -кратной оси перпендикулярную ось С₂. Это, естественно, вызывает (генерирует) появление еще n-1 осей С₂ в плоскости, перпендикулярной оси С_n, причем угол между осями равен p/n. Группа D_n содержит 2n элементов: n поворотов вокруг C_n и n поворотов вокруг n горизонтальных осей С₂. Ось С_n является двухсторонней.

Горизонтальные же оси все эквивалентны, если n -нечетно, и составляют 2 неэквивалентных набора, если n четно. Действительно, при последовательном применении операции ось C₂ переходит последовательно в оси

C₂ÞC₂ ⁽²⁾ ÞC₂ ⁽⁴⁾ Þ…ÞC₂ ^(2p) Þ-C₂ ^(-1) ГÞ…Þ-C₂ ^(2p-1) Þ-C_2,

т.е. все они эквивалентны и 2p+1 вращения вокруг них на p входит в один класс. Следовательно группа имеет p+2 классов: Е, 2p+1 поворотов вокруг C₂ и p классов по два поворота (C_2p+1^k, C_2p+1^-k) вокруг вертикальной оси С_n. Для группы с четными n т.е. для D_2p можно показать, что никакая ось с четным номером не перейдет в ось с номером нечетным.

C₂ÞC₂ ⁽²⁾ ÞC₂ ⁽⁴⁾ Þ…ÞC₂ ^(2p-2) ÞC₂ ^(2p) =-C₂Þ-C₂ ⁽²⁾ Þ…Þ-C₂

Имеется два типа неэквивалентных осей С₂. Число классов поэтому равно p+3: Е; 2 класса по p поворотов на p в каждом, которые соответствуют неэквивалентным осям С₂, p классов по 2 поворота (C_2p^k,C_2p^-k) вокруг оси С_n.

Частный случай D₂=V - три взаимно перпендикулярных оси С₂, идентичных с декартовой системой координат.

3. ТЕТРАЭДРИЧЕСКАЯ ГРУППА T={V,C₃}. Это группа симметрии осей правильного тетраэдра. Имеет оси 3 C₂ и 4C₃; классы: E; 3C₂; 4C₃¹; 4C₃².

4. ГРУППА ОСЕЙ ОКТАЭДРА (КУБА) O={Т,C₂}. Элементы симметрии 3 C₄, 4C₃, 6C₂. Все оси одинаковой кратности (т.е. одного порядка) - эквивалентные, т.е. операции С_n^k и C_n^-k сопряжены. Классы группы О: Е; 8C₃¹, 6C₄¹, 3C₄², 6C₂.

5. ГРУППА ИКОСАЭДРА Р (стандартного символа нет). Группа имеет следующие элементы симметрии: 6C₅, 10C₃, 15C₂ и включает в себя 60 преобразований (операций симметрии).

В. ГРУППЫВТОРОГО РОДА.

Если к вращательной группе G добавит подходящее отражение, получим новую группу {G,s}. Поскольку s²=E, эти группы второго рода имеют одинаковое число вращений простых и вращений с отражением. При добавлении последующих плоскостей в необходимо, чтобы пересечение двух плоскостей, которое является осью С_n, обязательно входило бы в группу G. Хотя инверсия не является самостоятельной основной операцией и входит в группы {G,s}, однако часто удобно указывать имеет группа центр инверсии или нет, ибо тогда очень просто получать классы. Таким образом можно получить все остальные группы. Будем считать, что главная n- кратная ось идет вертикально. Как всегда значок v - вертикальных плоскостей, h - горизонтальных.

6. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫС_nh={C_n,s_v}. Все операции в группе коммутируют. Группы имеют столько же классов, сколько и элементов. Если n -четно, то имеется центр инверсии, т.к C_2nⁿs_v=I. Элементы С_n^k и С_n^ks_v.

Частные случаи:

a) C_1h: s_v=C_s;

b) C_2h: E, C₂, s_v, C₂s_v =I;

c) C_3h: E, C₃¹, C₃², s_v, C₃¹s_v =S₃¹, C₃²s_v =S₃².

5. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫС_nv={C_n,s_v}. Если к оси С_n присоединить плоскость s_v, появляются еще (n-1) вертикальных плоскостей с углом между ними p/n. Группа содержит 2n элементов: n поворотов вокруг оси С_n и n отражений в n различных плоскостях s_v. Ось Сn двусторонняя, т.е. С_n^k сопряжено с C_n^-k. Если n - нечетно (n=2p+1) число классов равно p+2, поскольку плоскости эквивалентны. Классы этой группы: Е, p классов поворотов вокруг оси С_n по 2 элемента в каждом, и 1 класс отражений в эквивалентных плоскостях s_v. Если n - четно (n=2p), то имеются 2 типа неэквивалентных плоскостей s_v. Число классов p+3: Е, p классов поворотов вокруг оси С_n по два элемента в каждом, 2 класса отражений в плоскостях s_v.

6. ГРУППЫS_n={S_n}. Группы операции, единственным элементом симметрии которых является зеркально-поворотная ось n -го порядка S_n = C_ns_v. Поскольку зеркально-поворотная ось может быть только четного порядка, то легко видно, что группы S_n только четного порядка, ибо для нечетных n зеркально-поворотная ось эквивалентна более простым операциям.

S_2p+1={C_2p+1,s_v}=C_2p+1,h

S_4p+2={C_2p+1, I}=C_{2p+1, i}

В частности группа S₂ имеет 2 элемента Е и I.

7. ДИЭДРАЛЬНЫЕ ГРУППЫD_nh={D_nh,s_h} Если к диэдральной группе D_n добавить горизонтальную плоскость s_h, то ее присутствие требует n вертикальных плоскостей, проходящих через оси С₂ (ось второго порядка и две взаимно перпендикулярные плоскости всегда присутствуют вместе). Поскольку s коммутативно со всеми элементами D_nh можно записать как

D_nh={D_n,s_h}=D_n*C_s.

При четном n в числе элементов D_nh имеется инверсия, т.е.

D_2nh={D_2n,s_h}=D_nh*C_i.

Отсюда следует, что число классов в D_nh равно удвоенному числу классов в D_n. Половина из них совпадает с D_n, а другая половина получается из первых умножением на s_h. Отражения в s_v все относятся к одному классу (если n - нечетно) и к 2 классам (если n четно). Например, в группе D_3h элементы симметрии: C₃, s_h, 3s_v, 3C₂; Преобразования (элементы группы): E, C₃¹,C₃²; 3C₂; s_h; S₃¹,S₃²; 3s_v.

10. ДИЭДРАЛЬНЫЕ ГРУППЫD_nh ={ D_n, s_d }. Поскольку D_nh уже содержит вертикальные плоскости, проходящие через оси C₂, то единственно возможный другой путь добавления другой плоскости к D_n, при котором система преобразуется сама в себя, - это поместить эту плоскость по биссектрисе угла между двумя соседними осями. Эта плоскость диагональна - d. Эта плоскость требует присутствия еще n-1 таких же плоскостей. Такие диагональные плоскости отражают две соседних двукратных оси одну в другую, т.е. все двукратные оси становятся эквивалентными как для четного, так и для нечетного n. Подобным же образом и все плоскости оказываются эквивалентными. Поскольку угол между плоскостью и осью всегда является нечетным числом p/2n, в случае n нечетного одна из плоскостей перпендикулярна к одной из двукратны осей. Значит при n=2p+1 система имеет центр симметрии. Для D_nd с четным n имеем следующие классы:

1. Е;

2. Вращение на угол p вокруг 2p кратной оси;

3. p-1 классов сопряженных вращений вокруг С_2p;

4. один класс 2p вращений на угол p;

5. один класс 2p отражений в s_d;

6. p классов сопряженных вращательных отражений. Итого всего: 1+1+ [p-1] +1+1+p=2p+3.

Пример - молекула C₂H₆. Симметрия D_3d. Элементы симметрии: C₃, 3C₂, S₆, I, 3s_d. Операции: E; C₃¹, C₃²; 3C₂; I; S₆¹, S₆³; 3s_d.

Группа D_2p+1,d имеет центр инверсии, а потому имеет в классов в два раза больше, чем D_2p+1 т.е.2 p+4.

11. ГРУППА ТЕТРАЭДРА Т_d={V_d,C₃}. Группа содержит все преобразования симметрии тетраэдра. Шесть плоскостей, проходят через ребра и медианы противоположных граней и содержат ось C₃. Поэтому C₃¹ и C₃^-1ºC₃² сопряжены. Двукратные оси группы Т тоже становятся эквивалентными четырехкратным зеркально-поворотным осям, поскольку образующая группа V_d. Всего 24 элемента разбиты по следующим 5 классам: E; 8C₃, 6s, 6S₄, 3C₂.

12. ГРУППА ТЕТРАЭДРА Т_h={V_h,C₃}. Поскольку V_h имеет центр инверсии, T_h={T, I}. Классов в этой группе поэтому в два раза больше чем в группе T: E, 4C₃¹, 4C₃², 3C₂, I, 4S₆¹, 4S₆³, 3S₄. В результате инверсии появляются 3 взаимно-перпендикулярных плоскости симметрии, проходящие через каждые две оси второго порядка, а оси третьего порядка становятся зеркально-поворотными 6 -го порядка.

13. ГРУППА ОКТАЭДРА O_h={O, I}. Это есть группа всех преобразовании куба. Она получается из O добавлением центра инверсии. Поэтому ее можно представить как O_h=O*C_i. Оси третьего порядка превращаются в зеркально-поворотные оси 6-го порядка. Появляется еще 6 плоскостей, проходящих через пару противоположных ребер, и три, параллельные граням. Группа содержит 48 элементов, 10 классов, которые непосредственно могут быть получены из группы O.

14. ГРУППА ИКОСАЭДРА P={P, I}. P_h=PC_i. (правильный 20 -гранник c треугольными гранями)

C - НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫ

Помимо конечных точечных групп следует рассмотреть непрерывные точечные группы с бесконечным числом элементов. Это группы аксиальной или сферической симметрии. Простейшей группой является группа C, содержащая повороты C (j) на произвольный угол j. Это предельный случай С_n при n®¥ бесконечности. Аналогично, в качестве предельных групп C_nh, C_nv, D_n, D_nh получаются соответствующие непрерывные группы. Молекула, обладающая аксиальной симметрией, должна состоять из атомов, расположенных на линии. При этом, если она не симметрична относительно своей середины, ее точечная группа будет C_¥v, поскольку кроме поворотов существуют отражения в плоскостях s_v. Если же молекула симметрична относительно своего центра, то ее точечная группа D_¥h=C_¥v*C_i. Поэтому группы D_¥h, C_¥h, D_¥, не могут осуществляться в качестве групп симметрии молекул. Электрическое поле E (полярный вектор) имеет симметрию C_¥v. Магнитное поле H (аксиальный вектор) имеет симметрию C_¥h.