1. Из n аккумуляторов за год хранения k выходят из строя. Наудачу выбирают m аккумуляторов. Определить вероятность того, что среди них l исправных. n=100, k=7, l=3.
2. На сборочное предприятие поступили однотипные комплектующие с трех заводов в количестве: 35 с первого завода, 25 со второго и 50 с третьего. Вероятность качественного изготовления изделий на первом заводе 0,8, на втором 0,7, на третьем 0,8. Какова вероятность того, что взятое случайным образом изделие окажется качественным?
3.Устройство, состоящее из пяти независимо работающих элементов, включается за время Т. Вероятность отказа каждого из них за это время равна 0,2. Найти вероятность того, что откажут:
а) три элемента;
б) не менее четырех элементов;
в) хотя бы один элемент.
4. Сколько следует сыграть партий в шахматы с вероятностью победы в одной партии, равной 1/3, чтобы наивероятнейшее число побед было равно 5?
5. С базы в магазин отправлено 4000 тщательно упакованных доброкачественных изделий. Вероятность того, что изделие повредится в пути, равна 0.0005. Найти вероятность того, что из 4000 изделий в магазин прибудут 3 испорченных изделия.
6. Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 6 телевизоров: а) не более одного потребует ремонта; б) хотя бы один не потребует
ремонта.
7.Что более вероятно выиграть у равносильного противника: не менее двух партий из трёх или не более одной из двух?
8. Из 1000 ламп 380 принадлежат к 1 партии, 270 – ко второй партии, остальные к третьей. В первой партии 4% брака, во второй - 3%, в третьей – 6%. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа – бракованная.
9. Из 30 стрелков 12 попадает в цель с вероятностью 0,6, 8 - с вероятностью 0,5 и 10 – с вероятностью 0,7. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, поразив цель. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?
10. Сотрудники отдела маркетинга полагают, что в ближайшее время ожидается рост спроса на продукцию фирмы. Вероятность этого они оценивают в 80%. Консультационная фирма, занимающаяся прогнозом рыночной ситуации, подтвердила предположение о росте спроса. Положительные прогнозы консультационной фирмы сбываются с вероятностью 95%, а отрицательные – с вероятностью 99%. Какова вероятность того, что рост спроса действительно произойдет?
11. В группе спортсменов лыжников в 2 раза больше, чем бегунов, а бегунов в 3 раза больше, чем велосипедистов. Вероятность выполнить норму для лыжника 0,9, для бегуна 0,75, для велосипедиста - 0,8. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наугад, выполнит норму.
12. В двух урнах находится соответственно 4 и 5 белых и 6 и 3 чёрных шаров. Из каждой урны наудачу извлекается один шар, а затем из этих двух наудачу берется один. Какова вероятность, что это будет белый шар?
13. В турслете участвуют 70% девятиклассников и 30% десятиклассников. Среди девятиклассников 60% мальчиков, а среди десятиклассников 40% мальчиков. Все мальчики по очереди дежурят у костра, сменяясь каждый день. Найти вероятность того, что в случайно выбранный день у костра дежурит девятиклассник.
14. Предприятие, производящее компьютеры, получает одинаковые комплектующие детали от трех поставщиков. Первый поставляет 50 % всех комплектующих деталей, второй — 20 %, третий — 30 % деталей.
Известно, что качество поставляемых деталей разное, и в продукции первого поставщика процент брака составляет 4 %, второго — 5 %, третьего — 2 %. Определить вероятность того, что деталь, выбранная наудачу из всех полученных, будет бракованной.
15. Имеются три одинаковые урны; в первой урне два белых и один черный шар; во второй — три белых и один черный; в третьей — два белых и два черных шара. Для опыта наугад выбрана одна урна и из нее вынут шар. Найдите вероятность того, что этот шар белый.
16. В пирамиде стоят 19 винтовок, из них 3 с оптическим прицелом. Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим прицелом, может поразить мишень с вероятностью 0,81, а стреляя из винтовки без оптического прицела, — с вероятностью 0,46. Найдите вероятность того, что стрелок поразит мишень, стреляя из случайно взятой винтовки.
17. Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, наудачу извлекаются два шара и добавляется в урну 1 белый шар. Найдите вероятность того, что наудачу взятый шар окажется белым.
18. Производится два выстрела по цели. Вероятность попадания при первом выстреле 0,2, при втором — 0,6. Вероятность разрушения цели при одном попадании 0,3, при двух — 0,9. Найдите вероятность того, что цель будет разрушена.
19. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что в серии из 4 выстрелов будет: а) хотя бы одно попадание; б) не менее трех попаданий; в) не более одного попадания.
20. В поступивших на склад 3 партиях деталей годные составляют 89 %, 92 % и 97 % соответственно. Количество деталей в партиях относится как 1:2:3.
Чему равна вероятность того, что случайно выбранная со склада деталь окажется бракованной. Пусть известно, что случайно выбранная деталь оказалось бракованной. Найти вероятности того, что она принадлежит первой, второй и третьей партиям.
21. В первой урне 10 шаров: 4 белых и 6 чёрных. Во второй урне 20 шаров: 2 белых и 18 чёрных. Из каждой урны выбирают случайным образом по одному шару и кладут в третью урну. Затем из третьей урны случайным образом выбирают один шар. Найти вероятность того, что извлечённый из третьей урны шар будет белым.
22.В урну, содержащую 2 шара неизвестного цвета, опустили белый шар. После этого из этой урны извлекаем 1 шар. Найти вероятность того, что шар извлечённый из урны будет белым. Шар, извлечённый из выше описанной урны, оказался белым. Найти вероятности того, что в урне до перекладывания было 0 белых шаров, 1 белый шар и 2 белых шара.
23. При переливании крови надо учитывать группы крови донора и больного. Человеку, имеющему четвёртую группу крови можно перелить кровь любой группы, человеку со второй и третьей группой можно перелить либо кровь его группы, либо первой.Человеку с первой группой крови можно перелить кровь только первой группы. Известно, что среди населения 33,7 % имеют первую группу, 37,5 % имеют вторую группу, 20,9 %имеют третью группу и 7,9 % имеют 4 группу.Найти вероятность того, что случайно взятому больному можно перелить кровь случайно взятого донора.
24. Три экзаменатора принимают экзамен по некоторому предмету у группы в 30 человек, причем первый опрашивает 6 студентов, второй — 3 студентов, а третий — 21 студента (выбор студентов производится случайным образом из списка). Отношение трех экзаменаторов к слабо подготовившимся различное: шансы таких студентов сдать экзамен у первого преподавателя равны 40%, у второго — только 10%, у третьего — 70%. Найти вероятность того, что слабо подготовившийся студент сдаст экзамен.
25. Группа состоит из 1 отличника, 7 хорошо успевающих студентов и 20 студентов, успевающих посредственно. Отличник отвечает на 5 и 4 с равной вероятностью, хорошист отвечает на 5, 4 и 3 с равной вероятностью и посредственно успевающий студент отвечает на 4, 3 и 2 с равной вероятностью. Случайно выбранный студент ответил на 4. Какова вероятность того что был вызван посредственно успевающий студент?
26.Монета бросается 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не более, чем 2 раза.
27. Аудитор обнаруживает финансовые нарушения у проверяемой фирмы с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что среди 4 фирм-нарушителей будет выявлено больше половины.
28. Фирма имеет три источника поставки комплектующих – фирмы А, B, С. На долю фирмы А приходится 50% общего объема поставок, В – 30% и С – 20%. Из практики известно, что среди поставляемых фирмой А деталей 10% бракованных, фирмой В – 5% и фирмой С – 6%. Какова вероятность, что взятая наугад деталь окажется годной?
29. Статистика запросов кредитов в банке такова: 10% — государственные органы, 20% — другие банки, остальные— физические лица. Вероятности того, что взятый кредит не будет возвращён, составляют 0,01, 0,05 и 0,2 соответственно. Определить, какая доля кредитов в среднем не возвращается.
30. Известно, что из числа зрителей определённой телепрограммы70% смотрят и рекламные блоки. Группы, состоящие из трёх наугад выбранных телезрителей, опрашивают относительно содержания рекламного блока. Рассчитать вероятности числа лиц в группе, которые смотрят рекламные блоки.
31. Петя и Маша часто играют в бильярд друг с другом, причём Петя выигрывает в два раза чаще, чем Маша. Исходя из этого, они оценили свои вероятности победить как 2/3для Пети и 1/3 для Маши и начали турнир на следующих условиях: каждый выигрыш приносит одно очко, Петя для победы должен набрать двенадцать очков, а Маша— шесть. После того, как Петя набрал восемь очков, а Маша— четыре, игру пришлось прекратить, и победу решили присудить тому, у кого вероятность окончательного выигрыша больше. Определить, кому присудили победу в этом турнире.
32. Из 25 стрелков 10 попадают в цель с вероятностью 0,5; 8- с вероятностью 0,6 и 7- с вероятностью 0,8. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, поразив цель. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?
33. В спортивном лагере отдыхают 60% первокурсников и 40% второкурсников. Среди студентов 1 курса 40% юношей, а на 2 курсе 60%. Все юноши дежурят по очереди в спортзале каждый день. Найти вероятность того, что в случайно выбранный день дежурит первокурсник.
34. Имеются четыре одинаковые урны; в первой урне 2 красных и 2 черных кубика; во 2-1 красный и 5 черных; в третьей- 3 красных и 1 черный; в четвертой- 3 красных и 3 черных. Наугад выбирается одна урна и вынимается кубик. Найти вероятность, что он окажется красным.
35. Из 50 приборов при хранении за месяц 2 выходят из строя. Наудачу выбирают 6 приборов. Определить вероятность того, что среди них 5 исправных.
36. С базы в магазин отправлено 2500 доброкачественных изделий. Вероятность повреждения товара в пути, равна 0,0004. Найти вероятность. что в магазин прибудут 2 изделия с браком.
37. Из 600 изделий 200 принадлежат к 1 группе, 280- ко второй группе, остальные к третьей. В первой группе 3% брака, во второй-5%, в третьей- 6%. Наудачу выбирается одно изделие. Определить вероятность того, что оно бракованное.
38. В трех магазинах продают бытовую технику. В первом магазине 6 холодильников и 5 мор. камер; во 2- 4 холодильника и 4 мор. камеры; в третьем- 7 холодильников и 2 мор. камеры. Наугад выбирается магазин и техника. Найти вероятность, что это будет мор. камера.
39. Вероятность, что холодильник имеет дефекты, равна 0,1. В магазин поступило 10 холодильников. Что вероятнее: с дефектом окажется 1 холодильник или 2?
40. Из 35 стрелков 15 попадают в цель с вероятностью 0,6; 12- с вероятностью 0,5 и 8- с вероятностью 0,8. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, поразив цель. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?
41. Имеются три одинаковых ящика с одеждой; в первом ящике 5 рубашек и 2 брюк; во 2-3 рубашки и 4 брюк; в третьем- 8 рубашек и 5 брюк. Наугад выдвигается один ящик и вынимается одежда. Найти вероятность, что будут вынуты брюки.
42.Вероятность сдачи экзамена в группе на положительную оценку равна 0,8. Определить вероятность того, что в группе из 25 человек 20 сдадут экзамен.
43. Вероятность того, что родившийся ребенок- девочка, равна 0,48. Найти вероятность того, что в семье из 5 человек одна или две девочки.
44. Два равносильных шахматиста играют в шахматы.Что вероятнее: выиграть 2 партии из 5 или 3 партии из 7?
45. В трех салонах продают автомобили. В первом салоне 5 Киа и 4 Рено; во 2- 2 Киа и 5 Рено; в третьем- 8 Киа и 6 Рено. Наугад выбирается салон и машина. Найти вероятность, что это будет Киа.
46. В семье 8 детей. Вероятность рождения мальчика-0,5. Найти вероятность, что в данной семье не более двух девочек.
47. В трех вазах стоят цветы. В первой вазе 5 гвоздик и 6 роз; во 2- 4 гвоздики и 3 розы; в третьей- 6 гвоздик и 5 роз. Наугад выбирается ваза и цветок. Найти вероятность, что это окажется роза.
48. На двух заводах изготавливают пылесосы; на 1 заводе-30%, а на втором-70%. В продукции первого завода 3% брака, второго-4%. Найти вероятность того, что выбранный наугад пылесос окажется с браком.