Задания для исследования двухкритериальной оптимизационной задачи

Лабораторная работа № 6

Решение задач многокритериальной оптимизации

 

Цель работы: Исследовать алгоритмы решения задач многокритериальной оптимизации, построив алгоритмы и отладив программы для математического пакета MatLab реализации их при различных параметрах заданной оптимизационной задачи.

 

Для выполнения работы необходимо решить следующие задачи:

1. Разработать алгоритм исследования методов свертки критериев оптимизации, который обеспечивает следующее:

a. Использование двух заданных сверток двух заданных критериев.

b. Использование программы-функции fminbnd из Optimization Toolbox MatLab.

c. Получение результатов двухкритериальной оптимизации.

1. Оформление результатов решения задачи.
1. Написать необходимые для исследовательского сценария программы-функции, а также программу-сценарий.
2. Выполнить исследование для двух описанных задач.
3. Оформить отчет в соответствии с ГОСТ 7.32-2001.

 

 

Методические указания

 

Рассматривается задача следующего вида:

 

В этой задаче требуется найти n -мерный вектор х^о, который обеспечивает минимум одновременно m заданным критериям. Такую задачу будем называть однородной. Возможен случай, когда ряд критериев максимизируется. Тогда задача будет неоднородной. Ее можно привести к однородной задаче, умножив соответствующие критерии на –1.

Для решения многокритериальной однородной оптимизационной задачи ее сводят к однокритериальной задаче. Это достигается сверткой многих критериев в один. Рассмотрим метод свертки критериев усреднением.

Среднеарифметическое (СА). Свертка критериев осуществляется по формуле:

 

.

 

Если все коэффициенты свертки одинаковы a_i =1/ m, то получим классическую формулу среднеарифметического.

Среднегеометрическое (СГм). Свертка критериев осуществляется по формуле:

 

.

 

В частном случае m =2, a ₁= a ₂=1/2 получим:

 

.

 

Вычисление такого критерия не составит труда.

Среднегармоническое (СГр). Свертка критериев осуществляется по формуле:

 

.

 

В частном случае при всех коэффициентах свертки a _i=1/ m получим:

 

.

 

Вычисление такого среднегармонического не на много сложнее среднегеометрического.

Среднеквадратическое (СК). Свертка критериев осуществляется по формуле:

 

.

 

В частном случае при всех коэффициентах свертки a _i=1/ m получим:

 

.

 

Следует отметить, что числитель полученной дроби представляет собой евклидову норму m-мерного вектора критериев.

Задача 1. Найти среднее число элементов в системе, обеспечив максимальную надежность и минимальную стоимость системы. При этом вероятность исправной работы обратно пропорциональна числу элементов, а стоимость прямо пропорциональна ему.

Задача 2. Найти среднее число блоков «холодного» резерва в системе, обеспечив минимальную вероятность отказа и минимальную стоимость системы. При этом вероятность отказа обратно пропорциональна числу блоков, а стоимость прямо пропорциональна ему.

 

Задания для исследования двухкритериальной оптимизационной задачи

 

1. Разработать алгоритм и написать программу-сценарий решения Задачи 1, используя две заданные свертки двух заданных критериев. Для минимизации использовать m -функцию fminbnd из Optimization Toolbox MatLab.

2. Разработать алгоритм и написать программу-сценарий решения Задачи 2, используя две заданные свертки двух заданных критериев. Для минимизации использовать m -функцию fminbnd из Optimization Toolbox MatLab.

3. Результаты исследований оформить в отчет.

 

Зачетные задания

 

Вариант	Свертки	Коэффициенты свертки
	СА, СК	a=[0.9 0.1 ]
	СА, Сгр	a=[0.1 0.9 ]
	СА, СГм	a=[ 0.8 0.2]
	СГм, СК	a=[0.2 0.8 ]
	СК, СГм	a=[0.7 0.3 ]
	СК, СГр	a=[0.3 0.7 ]
	СГм, СГр	a=[0.5 0.5 ]
	СА, Сгр	a=[0.6 0.4 ]
	СК, СГр	a=[0.4 0.6 ]
	СА, СК	a=[0.1 0.9 ]