РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНЕ ЗАВДАННЯ
„ПРОГНОЗУВАННЯ ОБСЯГІВ ПРОДАЖІВ”
ЗАВДАННЯ
За последние 4 года объёмы продаж продукции фирмы составили величины 
. Сделано предположение, что объёмы продаж изменяются со временем по зависимости, близкой к линейной: 
, где 
- линейная функция, рассматриваемая как модель тренда, 
- номер года, 
, 
- параметры зависимости. Требуется найти значения 
неопределённых параметров , используя 2 метода: 1) непосредственного моделирования тренда (задача 1); 2) моделирования тренда со сглаживанием временного ряда с интервалом усреднения, равным 3 (задача 2). Необходимо также: 1) построить графики функций 
= 
(для задачи 1) и = 
(для задачи 2), 2)найти прогнозируемые на 5-й год объёмы продаж 
(для задачи 1) и 
(для задачи 2).
Исходные данные:
| № варианта | 
| 
| 
| 
|
Задача 1. Прогнозирование объёма продаж методом непосредственного моделирования тренда
При непосредственном моделировании тренда для отыскания значений неопределенных параметров функций 
используют метод наименьших квадратов:
) = 
.
Сущность метода наименьших квадратов состоит в минимизации суммы 
квадратичных отклонений между объёмами продаж, вычисленными по модели , и их фактическими значениями 
, которые реально наблюдались.
Чтобы при значениях 
неопределенных параметров достигался минимум функции , должны выполняться условия:
.
Эти условия определяют систему двух уравнений:
.
Поскольку
, 
,
то оптимальные значения параметров 
находятся из следующей системы двух уравнений:
Эти уравнения можно представить в следующем виде:
(1)
(2)
где 
.
Таким образом, задачу 1 следует решать в следующем порядке.
1. По исходным данным рассчитать величины .
2. Составить систему уравнений (1), (2) и найти её решения
3. Записать функцию 
и найти прогнозируемый на 5-й год объём продаж .
4. Построить графики функции и функции 
.
Задача 2. Прогнозирование объёма продаж методом моделирования тренда с предварительным сглаживанием временного ряда
С помощью сглаживания исходного временного ряда по методу скользящей средней можно частично устранить случайную составляющую ряда, провести анализ сглаженной кривой и выделить закономерную тенденцию — тренд в виде той или другой функции.
Для поиска скользящей средней выбирают интервал усреднения, то есть количество точек m, с помощью которых определяется усреднённая величина 
продаж для года . Обычно выбирают непарное их количество m = 2k + 1, где k — полуинтервал усреднения. Потом подытоживают значения за все периоды интервала усреднения, и сумму, которая получена, делят на количество периодов. Значение средней («сглаженной») величины продаж для года вычисляется по формуле:
.
Если интервал усреднения равен 3, то 
. Поскольку временной ряд объёмов продаж в задании содержит данные только за 4 года, то усреднённые объёмы продаж могут быть определены только для 2-го и 3-го года:
. (3)
Значения параметров функции 
находятся из условия, что прямая линия 
проходит через точки 
, 
:
, 
. (4)
Таким образом, задачу 2 следует решать в следующем порядке.
1. По формулам (3) рассчитать усреднённые объёмы продаж 
, 
.
2. Составить систему уравнений (4) и найти .
3. Записать функцию 
и найти прогнозируемый на 5-й год объём продаж .
После решения задач 1, 2 на одном рисунке изобразить графики функций = (для задачи 1) и = (для задачи 2). Сравнить графики функций и прогнозируемые на 5-й год объёмы продаж (для задачи 1) и (для задачи 2).