Релятивистское соотношение между полной энергией

u₂ ' = –––––––––––––- = –––––- = 1;

1 + ∙ 0,75 c² /c² 1,75

Это означает, что, во-первых, ни в какой инерциальной системе отсчета скорость процесса не может превзойти скорость света, и, во-вторых, скорость распространения света в вакууме абсолютна.

Ответ: u₁ ' = 0,91c; u'₂ = с.

4. На двух шнурах одинаковой длины, равной 0,8 м, подвеше­ны два свинцовых шара массами 0,5 и 1 кг. Шары соприкасаются между собой. Шар меньшей массы отвели в сторону так, что шнур отклонился на угол а =60°, и отпустили. На какую высоту поднимутся оба шара после столкновения? Удар считать цент­ральным и неупругим. Определить энергию, израсходованную на деформацию шаров при ударе.

Дано: m ₁ = 0,5 кг, т₂ = 1 кг, а = 60°, l = 0,8 м. Найти: h,; Δ E _д .

Решение. Так как удар шаров неупругий, то после удара шары будут двигаться с общей скоростью v. Закон сохранения количе­ства движения при этом ударе имеет вид

m ₁v₁ + m ₂v₂ = (m ₁ + m ₂ ) v. (1)

Здесь v₁ и v₂— скорости шаров до удара. Скорость большого шара до удара равна нулю ( v₂ = 0 ). Скорость меньшего шара найдем, используя закон сохранения энергии. При отклонении меньшего шара на угол α (см. рис. 1) ему сообщается по­тенциальная энергия, которая затем переходит в кинетическую: m ₁v₁ ²

m ₁ g h ₁ = –––––––.

Таким образом, h ₁ = l (l - cosα) = 2 l sin²(α/2), по­этому

_____ ___

v₁ = √ 2 g h ₁ = 2 √ g l ∙sin (α/2). (2)

Из уравнений (1) и (2) находим скорость шаров после удара:

___

т ₁v₁ 2 т ₁ √ g l ∙sin (α/2)

v = -------------= ---------------------------. (3)

(т ₁ + т ₂) (т ₁ + т ₂)

Кинетическая энергия, которой обладают шары после удара, переходит в потенциальную:

(т ₁ + т ₂) v ²

--------------- = (т ₁ + т ₂) g h, (4)

где h — высота поднятия шаров после столкновения.

Из форму­лы (4) находим

v² 2 т ₁² l sin²(α/2)

h = —--, или с учетом (3), h = —–––––––––––––-;

2 g (т ₁ + т ₂) ²

2 (0,5 кг) ²∙ 0,8 м ∙ 0,25

h = ––––––––––––––––––––– = 0,044 м.

(0,5 кг + 1 кг)

При неупругом ударе шаров часть энергии расходуется на их деформацию. Энергия деформации определяется разностью ки­нетических энергий до и после удара:

т ₁v₁² (m₁+m₂) v ²

Δ E _д = –––––– - ––––––––––-.

2 2

Используя уравнения (2) и (3), получаем

т ₁

Δ E _д = 2 g l т ₁ (1 - –––––––) sin²(α/2);

m₁ + m₂

0,5 кг

Δ E _д =2 ∙9,81 м/с² ∙ 0,8 м ∙ 0,5 кг(1 - ––––––) ∙0,25 = 1,3 Дж.

1,5 кг

Ответ: h = 0,044 м, Δ E _д = l,3 Дж.

5. Молот массой 70 кг падает с высоты 5 м и ударяет по железному изделию, лежащему на наковальне. Масса наковальни вместе с изделием 1330 кг. Считая удар абсолютно неупругим, определить энергию, расходуемую на деформацию изделия. Си­стему молот — изделие — наковальня считать замкнутой.

Дано: m₁ = 70 кг, h =5 м, m₂ = 1330 кг.

Найти: E _д.

Решение. По условию задачи, система молот — изделие — наковальня считается замкнутой, а удар неупругий. На основа­нии закона сохранения энергии можно считать, что энергия, затраченная на деформацию изделия, равна разности значений механической энергии системы до и после удара.

Считаем, что во время удара изменяется только кинетическая энергия тел, т. е. незначительным перемещением тел по вер­тикали во время удара пренебрегаем. Тогда для энергии дефор­мации изделия имеем

: m ₁v ² (m₁ + m₂) v' ²

E _д = ––––– = –––––––––-,. (1)

2 2

где v— скорость молота в конце падения с высоты h; v ' — общая скорость всех тел системы после неупругого удара. Скорость молота в конце падения с высоты h определяется без учета сопротивления воздуха и трения по формуле

____

v = √ 2 gh.. (2)

Общую скорость всех тел системы после неупругого удара найдем, применив закон сохранения количества движения

_n

∑ m_i v _i = const. (3)

ⁱ⁼¹

Для рассматриваемой системы закон сохранения количества дви­жения имеет вид

m ₁v = (m ₁+m₂) v',

откуда

m ₁ v

v' = ––––––-, (4)

m ₁+ m ₂

Подставив в формулу (1) выражения (2) и (4), получим

m ₁

E _д = m ₁ gh –––––––;

m ₁+ m ₂

Вычислим на калькуляторе

Ответ: E _д = 3258 Дж.

б. Тело массой 1 кг под действием постоянной силы движется прямолинейно. Зависимость пути, пройденного телом, от време­ни задана уравнением s=2t²+4t+l. Определить работу силы за 10 с с начала ее действия и зависимость кинетической энергии от времени.

Дано: т = 1кг, s = 2t² + 4t + l. Найти: A, T = f(t).

Решение. Работа, совершаемая силой, выражается через криволи­нейный интеграл

A = ∫ Fds. (1)

Сила, действующая на тело, по второму закону Ньютона равна

d²s

F = т а или F = m -----. (2)

dt²

Мгновенное значение ускорения определяется первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени. В соответствии с этим находим

ds

v = ----- = 4t + 4, (3)

dt

d²s

a = ------ = 4 м/с². (4)

dt²

Тогда

d²s

F = m ----- = 4m. (5)

dt²

Из выражения (3) определим ds:

ds = (4t +4) dt. (6)

Подставив (5) и (6) в уравнение (1), получим

A = ∫ 4m(4t +4) dt.

По этой формуле определим работу, совершаемую силой за 10 с с начала ее действия:

₁₀ 16 t² _{10 10}

А = ∫ (16mt + 16m)dt = m [------- | + 16 t | ] = 1∙(8∙100 + 16∙10) Дж = 960 Дж.

о 2 ^{0 0}

Кинетическая энергия определяется по формуле

mv²

Т = –––---. (7)

Подставляя (3) в (7), имеем

m (4t +4) ² m (16t² + 32t +16)

T = —------------ = -------------------------

2 2

Ответ: А = 960 Дж, Т = m (8t² + 16t +8).

.

7. Протон движется со скоростью 0,7 с (с — скорость света). Найти количество движения и кинетическую энергию протона.

Дано: v =0,7с. Найти: р; Т.

Решение. Количество движения протона определяется по формуле

Р = т ∙ v. (1)

Так как скорость протона сравнима со скоростью света, то необходимо учесть зависимость массы от скорости, воспользова­вшись релятивистским выражением для массы:

m ₀

m = ––––----- = ––––––––-, (2)

√ l - v²/c² √ l - β²

где т — масса движущегося протона; m ₀ =1,67∙10^-27 кг — масса покоя протона; v— скорость движения протона; с= 3 ∙10⁸ м/с — скорость света в вакууме; v/с = β — скорость про­тона, выраженная в долях скорости света.

Подставляя уравнение (2) в (1) и учитывая, что β = v/ c, по­лучаем

_____

P = 1,67 ∙10^-27 кг∙ 3∙10⁸ м/с∙ 0,7/ √ 1-0,7 ² = 4,91 ∙ 10-¹⁹ кг∙ м/с.

В релятивистской механике кинетическая энергия частицы определяется как разность между полной энергией Е и энергией покоя Е₀ этой частицы:

Т = Е - Е₀ , (3)

где

Вычислим энергию покоя протона:

Е₀ = 1,6710 ^-27 кг(3∙ 10⁸ м/с)² = 1,5∙10^-10 Дж.

Тогда (см. формулу (3))

1

T = m₀c² (–––– - 1);

√ l - β²

1

T = 1,5∙^10-10 Дж(–––––- - 1) = 0,6 ∙ 10 ^-10 Дж

√ 1-0,7 ²

Ответ: р = 4,91∙10^-19 кг∙м/с, Т = 0,6 ∙10 ^-10 Дж.

8. Тонкий стержень массой 300 г и длиной 50 см вращается с угловой скоростью 10 с"¹ в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Найти угловую скорость, если в процессе вращения в той же плоскости стержень переместится так, что ось вращения пройдет через конец стержня.

Дано: m = 300 г = 0,3 кг, l = 50 см = 0,5м, ω₁ = 10 c^-1.

Найти: ω ₂

.

Решение. Используем закон сохранения момента количества движения

_n

∑ J_i ω_i = const, (1)

ⁱ⁼¹

где J_i, — момент инерции стержня относительно оси вращения.

Для изолированной системы тел векторная сумма моментов количества движения остается постоянной. В данной задаче вследствие того, что распределение массы стержня относительно оси вращения изменяется, момент инерции стержня так же изменяется. В соответствии с (1) запишем

J ₁ω₁ = J ₂ω_2. (2)

Известно, что момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной стержню, равен

J ₀ = m/²/12. (3)

По теореме Штейнера

J = J₀ + md²,

где J — момент инерции тела относительно производной оси вращения; J₀ — момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс; d — расстояние от центра масс до выбранной оси вращения.

Найдем момент инерции относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню:

J₂ = J₀ + md², J₂ = m l ²/12+m(l/2) ²= ml²/ 3. (4)

Подставляя, формулы (3) и (4) в (2), имеем:

m l ² ω₁ / 12 = ml² ω₂ / 3,

откуда

ω₂ = ω₁/ 4, ω₂ = 10 с ^-1/4 = 2,5 с^-1.

Ответ: ω₂ = 2,5 с ^-1.

9. Маховик массой 4 кг вращается с частотой 720 мин ^-1 вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр. Массу маховика можно считать равномерно распределенной по его ободу радиусом 40 см. Через 30 с под действием тормозящего момента маховик остановился. Найти тормозящий момент и чис­ло оборотов, которое сделает маховик до полной остановки.

Дано: ω = 0, m = 4 кг, п =720 мин^-1 = 12 с^-1 , Δ t = 30 с, R = 0,4м.

Найти: М; N.

Решение. Для определения тормозящего момента М сил, дей­ствующих на тело, нужно применить основное уравнение дина­мики вращательного движения:

J Δω = М Δ t, (1)

где J — момент инерции маховика относительно оси, проходя­щей через центр масс; Δω — изменение угловой скорости за промежуток времени Δ t.

По условию, Δω = - ω₀, где ω₀ — начальная угловая скорость, так как конечная угловая скорость ω = 0. Выразим начальную угловую скорость через частоту вращения маховика; тогда ω₀ = 2 πп и Δω = 2 πп. Момент инерции маховика J = mR², где т — масса маховика; R — его радиус. Формула (1) принимает вид

mR²2πп = M ∙ Δ t,

откуда

m = 2 πп mR²/ Δ t; М = 2∙ 3,14 ∙ 12 с ^-1 ∙ 4 кг ∙ 0,16 м²с ^-2/30 с = 1,61 Н ∙ м.

Угол поворота (т. е. угловой путь φ ) за время вращения маховика до остановки может быть определен по формуле для равнозамедленного вращения:

φ = ω₀ t - ε Δ t²/ 2, (2)

где ε — угловое ускорение. По условию ω = ω₀ - ε Δ t, ω = 0, ε ∙ Δ t = ω₀. Тогда выражение (2) можно записать так:

φ= ω₀Δ t - ω₀Δ t/ 2 = ω₀Δ t/ 2.

Так как φ =2πN, ω₀ = 2πn, то число полных оборотов

N = n∙ ₀Δ t/ 2; N= 12 с^-1 ∙ 0 с/2 = 180.

Ответ: М = 1,61 Н ∙ м, N= 180.

10. В сосуде объемом 2 м³ находится смесь 4 кг гелия и 2 кг водорода при температуре 27 °С. Определить давление и моляр­ную массу смеси газов.

Дано: V=2 м³, m ₁ = 4 кг, М ₁ = 4∙ 10^-3 кг/моль, т₂ = 2 кг, М ₂ =2∙ 10^-3 кг/моль, Т = 300 К.

Найти: р; М.

Решение. Воспользуемся уравнением Клапейрона — Менделе­ева, применив его к гелию и водороду:

p _l V = m_lRT/M _l;(1)

p ₂ V =m₂RT/M ₂, (2)

где p ₁— парциальное давление гелия; m ₁- масса гелия; m ₁— его молярная масса; V — объем сосуда; Т — температура газа; R = 8,31 Дж/(моль ∙ К) — молярная газовая постоянная; р₂ — парциальное давление водорода; т ₂— масса водорода; М ₂— его молярная масса.

Под парциальным давлением p _lи р ₂понимается то давление, которое производил бы газ, если бы он только один находился в сосуде. По закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входя­щих в состав смеси:

p = p _l +p ₂(3)

Из уравнения (1) и (2) выразим р ₁ и р ₂ иподставим в уравнение (3). Имеем

m ₁ RT m ₂ RT m ₁ m ₂ RT

p = ––––– + –––––– = (––– + ––-) –––. (4)

М ₁ V М ₂ V М ₁ М ₂ V

.

Молярную массу смеси газов найдем по формуле

m ₁+ m ₂

m = –––––––, (5)

ν₁+ ν₂

где ν₁и ν₂ — число молей гелия и водорода соответственно.

Число молей газов определим по формулам:

ν₁ = m ₁/ М ₁ ; (6)

ν₂ = m ₂/ М ₂ . (7)

Подставляя (6) и (7) в (5), найдем

m ₁+ m ₂

М = –––––––––––-–. (8)

m ₁/ М ₁ + m ₂/ М ₂

Подставляя числовые значения в формулы (4) и (8), получаем

4 кг 2 кг 8,31 Дж/(моль ∙ К) ∙ 300

p = (–––––––––– + ––––––––- ––-) –––––––––––––––––––--.

4 ∙ 10 ^-3кг/моль2 ∙ 10 ^-3 кг/моль 2 м³

4 2 8,31 ∙ 300

Вычислим выражение (––––––– + –––––––) –––––––––– по программе

4 ∙ 10 ^-32 ∙ 10 ^-3 2

Показание индикатора 2493000. Таким образом, /7=2493 кПа.

м=

4 D-+2 кг

4 кг/(4 • ∙ ID'³ кг ∙моль- ¹ )+2 кг/(2 • ∙ 10^-3 кг ∙ • моль^-1)

=3 ∙ • 10~³ кг/моль.

Ответ: р = 2493 кПа, М =3∙ 10^-3 кг/моль.

11. Чему равны средние кинетические энергии поступатель­ного и вращательного движения молекул, содержащихся в 2 кг водорода при температуре 400 К?

Дано: m = 2 кг, Т = 400 К, М = 2 ∙ 10^-3 кг/моль.

Найти: < ε _пост>; <ε _вр>.

Решение. Считаем водород идеальным газом. Молекула водо­рода — двухатомная, связь между атомами считаем жесткой. Тогда число степеней свободы молекулы водорода равно 5. В среднем на одну степень свободы приходится энергия < ε >= kT/2, где k — постоянная Больцмана; Т — термодинами­ческая температура. Поступательному движению приписывается три (i = 3), а вращательному две (i = 2) степени свободы. Энергия одной молекулы

3 2

< ε _пост> = ––– kT; < ε _вр> = ––– kT.

2 2

Число молекул, содержащихся в массе газа,

N = v N_A = (m/M) N_A,

где v — число молей; N_A — постоянная Авогадро. Тогда средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул во­дорода

< ε _пост> = (m/M)N_A ∙ ³/₂ ∙ kT = ³/₂ (m/M)RT, (1)

где R=k ∙N_A — молярная газовая постоянная.

Средняя кинетическая энергия вращательного движения моле­кул водорода

< ε _вр> = (m/M)RT. (2)

Подставляя числовые значения в формулы (1) и (2), имеем

3 ∙ 2 кг ∙ 8,31 Дж/(моль ∙ К) ∙ 400 К

< ε _пост > = –––––––––––––––––––––––––––––– = 49.86 ∙ 10⁵ Дж = 4985 кДж.

2 ∙ 2 ∙ 10^-3 кг/моль

2 кг ∙ 8,31 Дж/(моль ∙ К) ∙ 400 К

< ε _вр> = –––––––––––––––––––––––––– = 33,24 ∙ 10⁵ Дж = 3324 кДж.

2 ∙ 10^-3 кг/моль

Ответ: < ε _пост> = 4986 кДж, < ε _вр> = 2324 кДж.

12. Определять среднюю длину свободного пробега молекул и число соударений за 1 с, происходящих между всеми молекула­ми кислорода, находящегося в сосуде емкостью 2 л при тем­пературе 27 °С и давлении 100 кПа.

Дано: V =2 л = 2 ∙ 10^-3 м³, М = 32 ∙ 10^-3 кг/моль, Т =300 К, р =100 кПа = 10³ Па, d = 2,9∙ 10^-10 м.

Найти: <λ>; Z.

Решение. Средняя длина свободного пробега молекул кислорода вычисляется по формуле

__

< λ > = 1/(√2 π d ² п), (1)

где d — эффективный диаметр молекулы кислорода; п — число молекул в единице объема, которое можно определить из уравнения

n = p/(kT), (2)

где k — постоянная Больцмана. Подставляя (2) в (1), имеем

_

< λ > = kT /(√2 π d ² p). (3)

Число соударений Z, происходящих между всеми молекулами за I с, равно

Z = 1/2<Z> ∙N, (4)

где N — число молекул кислорода в сосуде объемом 2 ∙ 10^-3 м³; <Z> — среднее число соударений одной молекулы за 1 с. Число молекул в сосуде

N = n ∙V. (5)

Среднее число соударений молекулы за 1 с равно

<Z> = <v>/< λ >, (6)

где < v > — средняя арифметическая скорость молекулы

_________

<v> = √8RT/ (π M). (7)

Подставляя в (4) выражения (5), (6) и (7), находим

___________ __ _____

1 √8RT/ (π M) ∙ √2 π d ² p p 2 π d ² p ² V RT

Z = -- ∙ ––––––––––––-------------- ∙ ----- ∙V = –––––––––∙ √ –––––.

2 kT kT k ² T ² π M

Подставляя числовые значения, получим

______________________

2 ∙ 3,14 2,9² ∙ 10^-20 м² ∙ 10'° Па² ∙ 2 ∙ 10^-3 м³ 8.31 Дж/(моль ∙ К) ∙ 300 К

^{______________________________________________________________} ∙ √ ^{____________________________________} = 2 10 ²⁸ с^-1;

1,38 ∙ 10^-46 Дж² ∙ К^-2 ∙ 9 ∙ 10⁴ К² 3,14 ∙ 32 ∙ 10^-3кг/моль

1,38 ∙ 10^-23 Дж/ К ∙ 300 К

< λ > = –––––––––––––––––––––––––––– = 3,56 ∙ 10^-8 м.

√2 ∙ 3,14 ∙ 2,9² ∙ 10^-20 м² ∙ 10⁵ Па

Ответ: Z = 9∙10²⁸ с^-1, <λ > = 3,56 ∙ 10^-8 м.

13. Определить коэффициенты диффузии и внутреннего тре­ния азота, находящегося при температуре Т = 300 К и давлении 10⁵ Па.

Дано: ρ_о =1,25 кг/м³, М = 28 ∙ 10^-3кг, Т = 300 К, р = 10⁵Па, d = 3,l 10^-10м.

Найти: D; η.

Решение. Коэффициент диффузии определяется по формуле

D = 1/3<v> < λ >, (1)

где <v> — средняя арифметическая скорость молекул, равная

_________

<v> = √8RT/ (π M); (2)

<λ> — средняя длина свободного пробега молекул. Для нахожде­ния < λ> воспользуемся формулой из решения примера 12:

__

< λ > = kT /(√2 π d ² p). (3)

Подставляя (2) и (3) в выражение (1), имеем

_____ _____

1 8RT kT 2 kT RT

D = –– √–––––– ∙––––––– = –––––––- ∙ √––––-. (4)

3 π M √2 π d ² p 3 π d ² p π M

Коэффициент внутреннего трения

η = 1/3<v> < λ > ρ, (5)

где ρ — плотность газа при температуре 300 К и давлении 10⁵ Па. Для нахождения ρ воспользуемся уравнением состояния идеального газа. Запишем его для двух состояний азота — при нормальных условиях Т₀ = 273 К, p = 1,01 ∙ 10⁵ Па и в условиях задачи:

p₀V₀ = (m/M)RT₀; pV = (m/M)RT. (6)

Учитывая, что ρ₀=m/V₀, ρ = m/V, имеем

ρ = ρ_о рТ₀/(р₀Т). (7)

Коэффициент внутреннего трения газа может быть выражен через коэффициент диффузии (см. формулы (1) и (5)):

η =D∙ ρ = D ρ_о pT₀ (p_oT). (8)

Подставляя числовые значения в (4) и (8), получим

______________________

2 ∙ 1,38 ∙ 10^-23Дж/К ∙ • 300 К /8.31 Дж/(моль ∙ К) ∙ 300 К

D = –––––––––––––––––––––––––– ∙ √––––––––––––––––––––––– = 4,7 ∙ 10 ^-5 м²/с;

3 ∙ 3,134 ∙ 3,1² ∙ 10 ^-20 м² ∙ 10⁵ Па 3,134 ∙ 28 ∙ 10^-3кг/моль

10⁵ Па ∙ 273 К

η = 4,7 ∙ 10 ^-5 м²/с ∙ 1,25 кг/м³ ∙ ––––––––––––––– = 5,23 ∙ 10^-5 кг/(м ∙ с).

1,01 ∙ 10⁵ Па ∙ 300 К

Ответ: D = 4,l ∙ 10^-5 м²/с, η = 5,23 ∙ 10^-5 кг/(м ∙ с).

14. Кислород массой 160 г нагревают при постоянном давле­нии от 320 до 340 К. Определить количество теплоты, поглощен­ное газом, изменение внутренней энергии и работу расширения газа.

Дано: m = 160 г = 16 ∙ 10^-2 кг, T₁ = 320 К, T₂ = 340 К.

Найти: Q; Δ U; А.

Решение. Количество теплоты, необходимое для нагревания газа при постоянном давлении,

Q = mс _р(T₂ -T₁) = (m / М) С р(T ₂- T ₁). (1)

Здесь с_р и С р =М с _р— удельная и молярная теплоемкости газа при постоянном давлении; М =32 ∙ 10^-3 кг/моль — молярная масса кислорода. Для всех двухатомных газов

С р = 7/2 ∙ R; С = 3,5 ∙ 8,31 Дж/(моль ∙ К)= 29 Дж/(моль ∙ К).

Изменение внутренней энергии газа находим по формуле

Δ U =(m /М) ∙С v(T ₂- T ₁). (2)

где С v— молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Для всех двухатомных газов

С v = 5/2R; Сv = 2,5 ∙ 8,31 Дж/(моль К)=20,8 Дж/(моль ∙ К).

Работа расширения газа при изобарном процессе А = р∙ Δ V, где Δ V = V ₂ - V ₁— изменение объема газа, которое можно найти из уравнения Клапейрона — Менделеева. При изобарном про­цессе

рV ₁ = (m / М) R T _1; (3)

pV₂= (m/M)RT₂. (4)

Почленным вычитанием выражения (4) из (3) находим

р(V₂ - V ₁) = (m/M) R(T₂ - T ₁) (5)

следовательно,

A = (m/M)R(T₂-T ₁ ). (6)

Подставляя числовые значения в формулы (1), (2) и (6), получаем:

16 ∙ 10^-2кг Дж

Q = ––––––––––––-∙ 29 –––––- ∙ (340К - 320 К) = 2900Дж;

32 ∙ 10^-3кг/моль моль ∙ К

16 ∙ 10^-2кг Дж

Δ U = –––––––––––– ∙ 20,8 ––––– ∙ (340К - 320 К)=2080 Дж;

32 ∙ 10^-3кг/моль моль ∙ К

16 ∙ 10^-2кг Дж

A = ––––––––––––– ∙ 8,31 –––––-– ∙ (340К - 320 К) = 840 Дж.

32 ∙ 10^-3кг/моль моль ∙ К)

Ответ: Q = 2900 Дж; Δ U = 2080 Дж; A = 840 Дж.

15. Объем аргона, находящегося при давлении 80 кПа, увели­чился от 1 до 2 л. На сколько изменится внутренняя энергия газа, если расширение производилось: а) изобарно; б) адиабатно.

Дано: V ₁ = 10 м³, V₂ =2 ∙ 10 м³, р = 0,8 ∙ 10⁵ Па, М = 40 ∙ 10^-3 кг/моль, i = 3.

Найти: Δ U.

Решение. Применим первый закон термодинамики. Согласно этому закону, количество теплоты Q, переданное системе, рас­ходуется на увеличение внутренней энергии Δ U и на внешнюю механическую работу А:

Q = Δ U + A. (1)

Величину Δ U можно определить, зная массу газа т, удельную теплоемкость при постоянном объеме с_v изменение температу­ры ΔT:

Δ U = m∙с_v ∙ΔT. (2)

Однако удобнее изменение внутренней энергии Δ U определять через молярную теплоемкость С_v, которая может быть выражена через число степеней свободы:

С _v iR

с _v = —–– = –––––-. (3)

М 2М

Подставляя величину с_v из формулы (3) в (2), получаем

m iR

Δ U = —– ∙ ––– ∙ Δ T. (4)

М 2

Изменение внутренней энергии зависит от характера процесса, при котором идет расширение газа. При изобарном расширении газа, согласно первому закону термодинамики, часть количества теплоты идет на изменение внутренней энергии Δ U, которая выражается формулой (4) Найти Δ U для аргона по формуле (4) нельзя, так как масса газа и температура в условии задачи не даны. Поэтому необходимо провести преобразование форму­лы (4).

Запишем уравнение Клапейрона — Менделеева для началь­ного и конечного состояний газа:

рV ₁ = (m / М) R T ₁; pV₂ = (mjM)RT₂,

или

р(V₂ - V ₁) = (m/M) R(T₂ - T ₁). (5)

Подставив (5) в формулу (4), получим

i

Δ U = —– p∙(V₂ - V ₁). (6)

Это уравнение является расчетным для определения Δ U при изобарном расширении.

При адиабатном расширении газа теплообмена с внешней средой не происходит, поэтому Q = 0. Уравнение (1) запишется в виде

Δ U +А = 0. (7)

Это соотношение устанавливает, что работа расширения газа может быть произведена только за счет уменьшения внутренней энергии газа (знак минус перед Δ U):

А = -Δ U. (8)

Формула работы для адиабатного процесса имеет вид

m R T ₁ V ₁ ^{γ - 1}

А = ––– ∙ ––––– [1 - (–––) ], (9)

M γ - 1 V₂

где γ — показатель степени адиабаты, равный отношению теплоемкостей:

Ср i + 2

γ = —– = —–––.

С v i

Для аргона — одноатомного газа (i = 3) — имеем γ = 1,67

Находим изменение внутренней энергии при адиабатном про­цессе для аргона, учитывая формулы (8) и (9):

m R T ₁ V ₁ ^{γ - 1}

Δ U = ––– ∙ –––– [(–––––) -1]. (10)

M γ - 1 V₂

Для определения работы расширения аргона формулу (10) следует преобразовать, учитывая при этом параметры, данные в условии задачи. Применив уравнение Клапейрона — Менделе­ева для данного случая р ₁ V ₁ = (m / М) R T ₁ , получим выражение для подсчета изменения внутренней энергии:

р ₁ V ₁ V ₁ ^{γ - 1}

Δ U = –––- ∙ [(–––––) -1]. (П)

γ - 1 V₂

Подставляя числовые значения в (6) и (11), имеем:

а) при изобарном расширении

Δ U = –– ∙ 0,8 ∙ 10⁵ Па ∙ 10^-3 м³ = 121 Дж;

б) при адиабатном расширении

0,8 ∙ 10⁵ Па ∙ 10^-3 м³ 10^-3 м³

Δ U = ––––––––––––––– [(–––––––––)^{1,67 - 1} - 1] = - 44,6 Дж.

(1,67 - 1) 2∙10-³ м³

Ответ: a) Δ U = 121 Дж; б) Δ U = - 44,6 Дж.

16. Температура нагревателя тепловой машины 500 К. Тем­пература холодильника 400 К. Определить КПД. тепловой машины, работающей по циклу Карно, и полную мощность машины, если нагреватель ежесекундно передает ей 1675 Дж теплоты.

Дано: Т = 500 К, Т₀ = 400К, Q = 1675Дж.

Найти: η, N.

Решение. Коэффициент полезного действия машины определя­ется по формуле

η = (Т- Т₀)/ Т (1)

или

= А/ Q. (2)

Из выражений (2) и (1) находим

A = η ∙Q = (T-T₀)/T.

Произведем вычисления:

500 К- 400 К

η = –––––––––––– = 0,2;

500 К

А =0,2 ∙ 675Дж = 335Дж.