Состав задания и исходные данные к курсовой работе «Изгиб пластинки в конечных разностях» (Численные методы расчета пространственных конструкций, ч.2)
Для упругой пластинки, характеристики которой выбираются согласно шифру (три последние цифры номера зачетной книжки) из табл. 1,2,3, требуется:
1. Пронумеровать внутренние, контурные и законтурные узлы квадратной конечно-разностной сетки (∆х=∆у=∆), учитывая симметрию условий опирания и внешней нагрузки.
2. Составить конечно-разностные аналоги разрешающего бигармонического уравнения изгиба пластинки для внутренних узлов сетки с учетом условий на контуре.
3. Решить систему алгебраических уравнений относительно прогибов wi в узлах сетки и построить эпюры w=w(x,y).
4. Вычислить изгибающие 
, 
и крутящие 
= 
моменты в узлах сетки и построить эпюры Мх, Му и Мху=Мух.
Исходные данные к курсовой работе
Таблица 1
| Цифра шифра | 1-я цифра шифра | 2-я цифра шифра | 3-я цифра шифра | |||||
Шаг сетки
| Толщина пластин-ки h | Модуль упругос- ти Е | Вид нагру-жения (табл.2) | Коэффиц. Пуассона
| Интенсив- ность нагрузки
| |||
| Схема опирания и сетки (табл. 3) | ||||||||
| (м) | (м) | (кН/м2) | (кН/м2) | |||||
| 1,0 | 0,14 | 3,2·107 | А | 0,16 | ||||
| 1,1 | 0,16 | 3,0·107 | Б | 0,18 | ||||
| 1,2 | 0,18 | 2,8·107 | В | 0,20 | ||||
| 1,3 | 0,20 | 2,6·107 | Г | 0,22 | ||||
| 1,4 | 0,22 | 2,4·107 | А | 0,17 | ||||
| 1,5 | 0,24 | 2,2·107 | Б | 0,22 | ||||
| 1,6 | 0,22 | 2,6·107 | В | 0,21 | ||||
| 0,7 | 0,20 | 2,8·107 | Г | 0,20 | ||||
| 0,8 | 0,18 | 3,0·107 | А | 0,19 | ||||
| 0,9 | 0,16 | 3,2·107 | Б | 0,18 |
Виды нагружения:
Таблица 2.
к схемам 1, 2, 3 (из табл. 3):
к схемам 4, 5 (из табл. 3):
Схемы опирания и конечно-разностной сетки
Таблица 3
Методические указания и пример расчета к курсовой работе «Изгиб пластинки в конечных разностях» ( Численные методы расчета пространственных конструкций, ч.2)
Бигармонические уравнения плоской задачи 
и теории изгиба пластинок 
w=q(x,y)/D отличаются только правой частью,а бигармонический оператор одинаков:
= 
+ 2 
+ 
.
. В левые части обоих уравнений входят суммы четных частных производных четвертого порядка от функции напряжений плоской задачи 
или функции прогибов пластинки w=w(x,y); конечно-разностный аналог неоднородного уравнения Софи Жермен-Лагранжа для изгибаемой пластинки содержит в правой части значения цилиндрической жесткости D = 
/12(1- 
) и интенсивности внешней нагрузки q(x,y)=qk в некоторой точке k. Так, для этой точки при квадратной ячейке разностной сетки ∆х=∆у=∆ (рис.1) получим 13-тичленное уравнение
20wk-8(wa+wb+wc+wd)+2(we+wf+wg+wh)+wi+wl+wm+wn=qk∆4/D. (1)
Вычисление изгибающих Мх, Му и крутящего Мху=Мух моментов через функцию прогибов w = w(x,y) производится по известным формулам теории изгиба пластинок:
Mx= - D 
, My= - D 
Mxy=Myx=-D(1- 
; (2)
или в конечных разностях для любого узла сетки k по формулам (рис.1):
.
=- 
,
=- 
, (2а)
= 
=- 
.
Поперечные силы на площадках с нормалью х или у:
= - D 
, 
= - D 
; (3)
В конечных разностях для узла сетки k (рис.1) поперечные силы равны:
= 
,
= 
. (3а)
Для свободного края пластинки и для скользящей заделки можно записать формально три граничных условия, а удовлетворить следует только двум. Во избежание этого противоречия вводят понятие приведенной поперечной силы 
и 
, объединяющей поперечную силу или и крутящий момент Мху=Мух:
, 
, (3б)
или в конечных разностях:
= 
,
= 
(3в)
Алгебраические уравнения (1), записанные для внутренних предконтурных узлов сетки содержат, как и при решении плоской задачи, значения прогибов в контурных и законтурных узлах. Найдем их из условий на контуре пластинки, т.е. из граничных условий для некоторых типов опирания (рис.2, ось х →, ось у ↑):
Рис. 2
Шарнирное опирание (рис. 2а). Граничные условия для стороны АС с нормалью х в точке b:
wb = 0, 
= 0.
Из первой формулы (2а) для Mx в точке b, т.е. при k=b (см. рис.1) получим
= - 
=0,
откуда при wb=wm=wt =0 для щарнирного опирания стороны АС (рис 2а) следует wl= - wn.
Таким образом, при шарнирном опирании прогибы в контурных узлах равны нулю, а в законтурных равны прогибу в предконтурном узле с обратным знаком. Окончательно граничные условия для шарнирно опертой стороны АС:
wb = 0, wl = - wn. (4)
Аналогично для шарнирного опирания стороны АВ с нормалью у (рис.2а) граничные условия в точке а (wa = 0, 
= 0) в конечных разностях должны быть записаны так:
wa = 0, wi = - wk. (4а)
Жесткое защемление (заделка) (рис 2б). Граничные условия для стороны АС с нормалью х (прогиб и угол поворота в направлении нормали равны нулю):
wb = 0, 
b = 0.
Записав второе условие в конечных разностях, получим
b = 
= 0, откуда wl = wn. (5)
Для стороны АВ с нормалью у граничные условия wa = 0 и 
a = 0 соответственно будут записаны
wa = 0, wi = wk, (5а)
т.е. при жесткой заделке края пластинки прогиб в контурном узле равен нулю, а в законтурном узле равен прогибу в предконтурном узле.
Свободный край (рис. 2в). В этом случае необходимо составлять уравнения (1) для точки а свободного края АВ с нормалью у и точки b края АС с нормалью х. В каждое уравнение войдет две неизвестные величины прогибов для законтурных точек, удаленных от контура на один и на два шага сетки. Для их определения используют условия равенства нулю изгибающего момента и приведенной поперечной силы в контурном узле (Мх = 0 и = 0 для стороны АС, Му = 0 и = 0 для стороны АВ) и включают их в общую систему уравнений, что повышает ее порядок.
Чтобы не увеличивать порядок системы уравнений, можно прогибы в законтурных узлах сетки выразить через значения основных неизвестных и внести их в конечно-разностные аналоги бигармонического уравнения.
Для скользящей заделки, допускающей вертикальные смещения и препятствующей углам поворота, граничные условия отрицают угол поворота опорного сечения в направлении нормали и приведенную поперечную силу (
= 0, = 0 или 
= 0, = 0), т.е. существует определенная аналогия со свободным краем.