Арифметическая прогрессия

Задание 11 № 35

Дана ариф­ме­ти­че­ская прогрессия: Най­ди­те сумму пер­вых де­ся­ти её членов.

Решение.

Определим раз­ность ариф­ме­ти­че­ской прогрессии:

 

 

Сумма пер­вых k -ых чле­нов может быть най­де­на по формуле

 

 

Необходимо найти , имеем:

 

 

Ответ: 50.

Задание 11 № 113

Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия Най­ди­те .

Решение.

Определим раз­ность ариф­ме­ти­че­ской прогрессии:

 

 

Член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром может быть най­ден по формуле

 

 

Необходимо найти , имеем:

 

 

 

Ответ: 23.

Задание 11 № 165

Дана арифметическая прогрессия Найдите сумму первых десяти её членов.

Решение.

Определим разность арифметической прогрессии :

 

 

Сумма первых k -ых членов может быть найден по формуле

 

 

Нам необходимо найти , поэтому в формулу для нахождения ставим 10 вместо :

 

 

Ответ: 75.

Задание 11 № 137301

Выписаны пер­вые не­сколь­ко чле­нов ариф­ме­ти­че­ской прогрессии: 3; 6; 9; 12;… Какое из сле­ду­ю­щих чисел есть среди чле­нов этой прогрессии?

 

1) 83

2) 95

3) 100

4) 102

Решение.

Найдем раз­ность ариф­ме­ти­че­ской прогрессии: Зная раз­ность и член ариф­ме­ти­че­ской прогрессии, решим урав­не­ние от­но­си­тель­но n, под­ста­вив дан­ные в фор­му­лу для на­хож­де­ния n -го члена:

 

 

Членом про­грес­сии яв­ля­ет­ся число 102. Таким образом, пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

 

Ответ: 4.

 

Примечание.

Заданная ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия со­сто­ит из чисел, крат­ных трём. Числа 83, 95 и 100 не крат­ны 3, они не яв­ля­ют­ся чле­на­ми прогрессии; а число 102 крат­но 3, оно яв­ля­ет­ся её членом.

Задание 11 № 137302

Арифметические про­грес­сии , и за­да­ны фор­му­ла­ми n-го члена: , ,

Укажите те из них, у ко­то­рых раз­ность равна 4.

 

1) и

2) и

3) , и

4)

Решение.

Найдем

 

 

Для каж­дой из про­грес­сий , и най­дем разность:

 

 

Разность про­грес­сии равна 4 для про­грес­сии и . Таким образом, вер­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

 

Ответ: 2.

Задание 11 № 137303

В пер­вом ряду ки­но­за­ла 30 мест, а в каж­дом сле­ду­ю­щем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколь­ко мест в ряду с но­ме­ром n?

 

1)

2)

3)

4)

Решение.

Количество мест в рядах ки­но­за­ла об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую прогрессию. По фор­му­ле для на­хож­де­ния n -го члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии имеем:

 

 

Таким образом, пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

 

Ответ: 1.

Задание 11 № 137304

Дана ариф­ме­ти­че­ская прогрессия: 33; 25; 17; … Най­ди­те пер­вый от­ри­ца­тель­ный член этой прогрессии.

 

1)

2)

3)

4)

Решение.

Для члена имеем: По фор­му­ле на­хож­де­ния n -го члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии имеем:

 

 

Первое число, ко­то­рое удо­вле­тво­ря­ет этому усло­вию, число 6. Следовательно, пер­вым от­ри­ца­тель­ным чле­ном про­грес­сии яв­ля­ет­ся

Таким образом, пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

 

Ответ: 1.

Задание 11 № 137305

Арифметическая про­грес­сия за­да­на условиями: , . Какое из дан­ных чисел яв­ля­ет­ся чле­ном этой прогрессии?

 

1) 80

2) 56

3) 48

4) 32

Решение.

Найдем раз­ность ариф­ме­ти­че­ской прогрессии:

 

Зная раз­ность и пер­вый член ариф­ме­ти­че­ской прогрессии, решим урав­не­ние от­но­си­тель­но , под­ста­вив дан­ные в фор­му­лу для на­хож­де­ния n -го члена:

 

 

Таким образом, число 48 яв­ля­ет­ся чле­ном прогрессии. Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

 

Ответ: 3.

Задание 11 № 311254

Найдите сумму всех от­ри­ца­тель­ных чле­нов ариф­ме­ти­че­ской прогрессии: −8,6; −8,4;...

Решение.

1. Найдём раз­ность прогрессии: .

2. Найдём число от­ри­ца­тель­ных чле­нов прогрессии.

Составим фор­му­лу -го члена: .

Решим не­ра­вен­ство по­лу­чим < 44. Значит, = 43.

3.

Ответ: −189,2.

Задание 11 № 311330

Арифметическая про­грес­сия за­да­на фор­му­лой n-го члена и известно, что . Най­ди­те пятый член этой прогрессии.

Решение.

Найдём раз­ность прогрессии:

Тогда для пя­то­го члена про­грес­сии

 

Ответ: 11.

Задание 11 № 311363

В ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии известно, что . Най­ди­те четвёртый член этой прогрессии.

Решение.

Имеем:

 

Ответ: 7.

Задание 11 № 311909

Арифметическая про­грес­сия за­да­на условиями: . Най­ди­те сумму пер­вых 19 её членов.

Решение.

Сумма n пер­вых чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии да­ёт­ся формулой

 

 

По условию, от­ку­да получаем

 

 

 

Ответ: 95.

Задание 11 № 314399

Какое наи­боль­шее число по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел, на­чи­ная с 1, можно сло­жить, чтобы по­лу­чив­ша­я­ся сумма была мень­ше 528?

Решение.

Для от­ве­та на во­прос за­да­чи тре­бу­ет­ся найти такое наи­боль­шее что Рас­смот­рим ариф­ме­ти­че­скую про­грес­си­ю с пер­вым чле­ном и раз­но­стью Cумма пер­вых чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии вы­чис­ля­ет­ся по формуле:

в нашем слу­чае

 

Найдем наи­боль­шее на­ту­раль­ное ре­ше­ние не­ра­вен­ства . Для этого найдём корни урав­не­ния

 

 

Вы­чис­лим дискриминант:

от­ку­да получаем:

 

Таким образом, при сумма 32 сла­га­е­мых равна 528. Следовательно, наи­боль­шее на­ту­раль­ное число, для ко­то­ро­го сумма будет мень­ше 528, равно 31.

 

Ответ: 31.

 

Примечание.

Можно заметить, что от­ку­да сразу же получаем: или

Задание 11 № 314408

Най­ди­те сумму всех по­ло­жи­тель­ных чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии 11,2; 10,8; …

Решение.

Определим раз­ность прогрессии:

 

 

Найдём вы­ра­же­ние для n -го члена прогрессии:

 

 

.

Найдем номер по­след­не­го по­ло­жи­тель­но­го члена прогрессии:

 

 

Следовательно, чтобы найти сумму всех по­ло­жи­тель­ных чле­нов дан­ной ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии не­об­хо­ди­мо сло­жить её пер­вые 28 членов.

Сумма n пер­вых чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии даётся формулой

 

 

откуда имеем:

 

 

Ответ: 162,4.

Задание 11 № 314423

Какое наи­мень­шее число по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел, на­чи­ная с 1, нужно сло­жить, чтобы по­лу­чив­ша­я­ся сумма была боль­ше 465?

Решение.

Для от­ве­та на во­прос за­да­чи тре­бу­ет­ся найти такое наи­мень­шее что Рас­смот­рим ариф­ме­ти­че­скую про­грес­си­ю с пер­вым чле­ном и раз­но­стью Cумма пер­вых чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии вы­чис­ля­ет­ся по формуле:

в нашем слу­чае

 

Найдем наи­мень­шее на­ту­раль­ное ре­ше­ние не­ра­вен­ства . Для этого найдём корни урав­не­ния

 

 

Вы­чис­лим дискриминант:

от­ку­да получаем:

 

Таким образом, при сумма 30 сла­га­е­мых равна 465. Следовательно, наи­меньшее на­ту­раль­ное число, для ко­то­ро­го сумма будет боль­ше 465, равно 31.

 

Ответ: 31.

 

Примечание.

Можно заметить, что от­ку­да сразу же получаем: или

Задание 11 № 314425

Най­ди­те сумму всех от­ри­ца­тель­ных чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии –7,2; –6,9; …

Решение.

Определим раз­ность прогрессии:

 

 

Найдём вы­ра­же­ние для n -го члена прогрессии:

 

 

.

Найдем номер по­след­не­го от­ри­ца­тель­но­го члена прогрессии:

 

 

Следовательно, чтобы найти сумму всех от­ри­ца­тель­ных чле­нов дан­ной ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии не­об­хо­ди­мо сло­жить её пер­вые 24 члена.

Сумма n пер­вых чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии даётся формулой

 

 

откуда имеем:

 

Ответ: −90.

Задание 11 № 314619

Ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия (a_n) за­да­на усло­ви­я­ми: a ₁ = 3, a_{n  + 1} = a_n + 4. Най­ди­те a ₁₀.

Решение.

Опре­де­лим раз­ность ариф­ме­ти­че­ской прогрессии:

 

 

Член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром может быть най­ден по формуле

 

 

Не­об­хо­ди­мо найти , имеем:

 

 

 

Ответ: 39.

Задание 11 № 314628

Записаны пер­вые три члена ариф­ме­ти­че­ской прогрессии: 20; 17; 14. Какое число стоит в этой ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии на 91-м месте?

Решение.

Опре­де­лим раз­ность ариф­ме­ти­че­ской прогрессии:

 

 

Член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром может быть най­ден по формуле

 

 

Не­об­хо­ди­мо найти , имеем:

 

 

 

Ответ: −250.

Задание 11 № 314653

Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия (а_n): −6; −2; 2; …. Най­ди­те a ₁₆.

Решение.

Опре­де­лим раз­ность ариф­ме­ти­че­ской прогрессии:

 

 

Член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром может быть най­ден по формуле

 

 

Не­об­хо­ди­мо найти , имеем:

 

 

 

Ответ: 54.

Задание 11 № 316343

Выписаны пер­вые не­сколь­ко чле­нов ариф­ме­ти­че­ской прогрессии: −87; −76; −65; … Най­ди­те пер­вый по­ло­жи­тель­ный член этой прогрессии.

Решение.

Определим раз­ность ариф­ме­ти­че­ской прогрессии:

 

 

Член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром может быть най­ден по формуле

 

 

Нам же нужно найти пер­вый по­ло­жи­тель­ный член этой прогрессии, т. е. нужно, чтобы вы­пол­ня­лось усло­вие Решим не­ра­вен­ство :

 

 

Значит — пер­вый по­ло­жи­тель­ный член этой прогрессии.

 

 

 

Ответ: 1.

Задание 11 № 321384

В пер­вом ряду ки­но­за­ла 24 места, а в каж­дом сле­ду­ю­щем на 2 боль­ше, чем в преды­ду­щем. Сколь­ко мест в вось­мом ряду?

Решение.

Число мест в ряду пред­став­ля­ет собой ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с пер­вым чле­ном и раз­но­стью Член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром может быть най­ден по формуле

 

 

Необходимо найти , имеем:

 

Ответ: 38.

Задание 11 № 321394

Фи­гу­ра со­став­ля­ет­ся из квад­ра­тов так, как по­ка­за­но на ри­сун­ке: в каж­дой сле­ду­ю­щей стро­ке на 8 квад­ра­тов боль­ше, чем в преды­ду­щей. Сколь­ко квад­ра­тов в 16-й стро­ке?

Решение.

Число квад­ра­тов в стро­ке пред­став­ля­ет собой ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с пер­вым чле­ном и раз­но­стью Член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром может быть най­ден по формуле

 

 

Необходимо найти , имеем:

 

Ответ: 122.

Задание 11 № 321663

Вы­пи­са­но не­сколь­ко по­сле­до­ва­тель­ных чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии: …; −9; x; −13; −15; … Най­ди­те член про­грес­сии, обо­зна­чен­ный бук­вой x.

Решение.

Найдем раз­ность ариф­ме­ти­че­ской прогрессии: По­это­му

 

Ответ: −11.

Задание 11 № 339063

Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия (a_n), раз­ность ко­то­рой равна 2,5, a ₁ = 8,7. Най­ди­те a ₉.

Решение.

Член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром можно найти по фор­му­ле Тре­бу­ет­ся найти

 

 

Ответ: 28,7.

Задание 11 № 340584

Даны пят­на­дцать чисел, пер­вое из ко­то­рых равно 6, а каж­дое сле­ду­ю­щее боль­ше преды­ду­ще­го на 4. Найти пят­на­дца­тое из дан­ных чисел.

Решение.

Последовательность, опи­сан­ная в условии, об­ра­зу­ет ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с пер­вым членом, рав­ным шести, и раз­но­стью 4. Пят­на­дца­тый член дан­ной про­грес­сии равен:

 

Ответ: 62.

Задание 11 № 341190

Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия (a_n), раз­ность ко­то­рой равна −8,5, a ₁ = −6,8. Най­ди­те a ₁₁.

Решение.

Член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром можно найти по фор­му­ле Тре­бу­ет­ся найти

 

 

Ответ: −91,8.

Задание 11 № 341201

Арифметическая про­грес­сия за­да­на условиями: Най­ди­те

Решение.

Воспользовавшись формулой, получаем:

 

 

Ответ: −30,4.

Задание 11 № 341202

Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия (a_n), для ко­то­рой a ₁₀ = 19, a ₁₅ = 44. Най­ди­те раз­ность прогрессии.

Решение.

Член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром n вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле Зная, что a ₁₀ = 19, b ₁₅ = 44, по­лу­ча­ем си­сте­му уравнений. Вы­чтем пер­вое урав­не­ние из вто­ро­го и решим систему:

 

 

Ответ: 5.

Задание 11 № 341214

Арифметическая про­грес­сия за­да­на усло­ви­ем a_n = −0,6 + 8,6 n. Най­ди­те сумму пер­вых 10 её членов.

Решение.

Сумма n пер­вых чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии да­ёт­ся формулой

 

 

Найдем раз­ность и пер­вый член про­грес­сии:

 

 

Подставим най­ден­ные зна­че­ния в формулу:

 

 

Ответ: 467.

Задание 11 № 341221

Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия (a_n), раз­ность ко­то­рой равна −2,5, a ₁ = −9,1. Най­ди­те сумму пер­вых 15 её членов.

Решение.

Сумма n пер­вых чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии да­ёт­ся формулой

 

 

По условию, от­ку­да получаем

 

 

Ответ: −399.

Задание 11 № 341492

Арифметическая про­грес­сия за­да­на усло­ви­ем a_n = −11,9 + 7,8 n. Най­ди­те a ₁₁.

Решение.

Подставим 11 вме­сто ин­дек­са n:

 

 

Ответ: 73,9.

Задание 11 № 341518

Первый член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии равен −11,9, а раз­ность про­грес­сии равна 7,8. Най­ди­те две­на­дца­тый член этой прогрессии.

Решение.

Член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром может быть най­ден по формуле

 

 

Необходимо найти , имеем:

 

 

 

Ответ: 73,9.

Задание 11 № 341703

Дан чис­ло­вой набор. Его пер­вое число равно 6,2, а каж­дое сле­ду­ю­щее число на 0,6 боль­ше предыдущего. Най­ди­те пятое число этого набора.

Решение.

Заметим, что дана арифметическая прогрессия, первый член которой равен 6,2, а разность равна 0,6. Таким образом, пятый элемент данной прогрессии вычисляется по формуле:

 

 

Ответ: 8,6.

Задание 11 № 353273

Выписаны пер­вые не­сколь­ко чле­нов ариф­ме­ти­че­ской прогрессии: −26; −20; −14; … Най­ди­те пер­вый по­ло­жи­тель­ный член этой прогрессии.

Решение.

Определим раз­ность ариф­ме­ти­че­ской прогрессии:

 

 

Член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром может быть най­ден по формуле

 

 

Нам же нужно найти пер­вый по­ло­жи­тель­ный член этой прогрессии, т. е. нужно, чтобы вы­пол­ня­лось усло­вие Решим не­ра­вен­ство :

 

 

Значит — пер­вый по­ло­жи­тель­ный член этой прогрессии.

 

 

 

Ответ: 4.

Задание 11 № 353405

Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия (a_n), раз­ность ко­то­рой равна 1,1, a ₁ = −7. Най­ди­те сумму пер­вых 8 её членов.

Решение.

Сумма n пер­вых чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии да­ёт­ся формулой

 

 

По условию, от­ку­да получаем

 

 

Ответ: −25,2.

Задание 11 № 353486

Арифметическая про­грес­сия за­да­на усло­ви­ем a_n = 1,9 - 0,3 n. Най­ди­те сумму пер­вых 15 её членов.

Решение.

Сумма n пер­вых чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии да­ёт­ся формулой

 

 

Найдем раз­ность и пер­вый член про­грес­сии:

 

 

Подставим най­ден­ные зна­че­ния в формулу:

 

 

Ответ: -7,5.