Построение доверительных интервалов и доверительных вероятностей.

Кафедра: Высшая и прикладная математика

 

 

Зачетная работа по метаматематике на тему:

Статистическая обработка результатов наблюдения

Вариант № 9

 

Выполнила студентка:

Цилинская Александра

Группа: 11-ИУК-40

Принял: доц. Галушкина Ю.И.

 

 

Москва, 2012

Обработка одномерной выборки признака Х:

x	x	x	x

Объем выборки: n=76

Xнм=25 x_нб=68

Размах варьирования: h=68-25=43

Построим вариационный ряд:

X	X	X	X

Число интервалов: l=1+3,322*ln76=7,27≈8

Δx=(43+5):8=6

Увеличим размах варьирования, отодвинув x_нб вправо до 70,а Xнм влево до 22

 

Построим статистический ряд:

№ п/п	Интервалы xi-xi+1	Середина xi	Частота mi	Относительная частота pi*	Кумулятивная эмпирическая функция распределения Fn*(x)
	22-28			0.013	0.013
	28-34			0.026	0.039
	34-40			0.145	0.184
	40-46			0.25	0.434
	46-52			0.211	0.645
	52-58			0.290	0.935
	58-64			0.039	0.974
	64-70			0.026
∑

 

Графическое изображение статистического ряда:

Оценка неизвестных числовых характеристик:

№	xi-xi+1	xi	pi*	Fn*(x)	xi*pi	xi-x	(xi-x)2*pi	(xi-x)3*pi	(xi-x)4*pi
	22-28		0.013	0.013	0.325	-22.656	6.672826368	-151.179554193408	3425.123979805851648
	28-34		0.026	0.039	0.806	-16.656	7.212980736	-120.139407138816	2001.041965304119296
	34-40		0.145	0.184	5.365	-10.656	16.46479872	-175.44889516032	1869.58342682836992
	40-46		0.25	0.434	10.75	-4.656	5.419584	-25.233583104	117.487562932224
	46-52		0.211	0.645	10.339	1.344	0.381136896	0.512247988224	0.688461296173056
	52-58		0.290	0.935	15.95	7.344	15.64095744	114.86719143936	843.58465393065984
	58-64		0.039	0.974	2.379	13.344	6.944431104	92.666488651776	1236.541624569298944
	64-70		0.026		1.742	19.344	9.728948736	188.196784349184	3640.478596450615296
∑					47.656		68.465664	-75.758727168	13134.530271117312

 

Выборочное среднее:

Выборочная медиана:

Выборочная мода:

Выборочная дисперсия:

Выборочное среднее квадратическое отклонение: S=8,27439

Выборочный коэффициент вариации:

Выборочный коэффициент асимметрии:

Выборочный коэффициент эксцесса:

 

 

Заполним таблицу:

x
47.656	47.18762	47.983	68.465664	8.27439	17.36%	-0.1337	-0.1979

Выборочные оценки с учетом поправок Шеппарда:

Выборочная дисперсия:

Выборочное среднее квадратическое отклонение: S=8,091

Выборочный коэффициент вариации:

Выборочный коэффициент асимметрии:

Выборочный коэффициент эксцесса:

 

 

Заполним таблицу с учетом поправок Шеппарда:

x
47.656	47.18762	47.983	65.465664	8.091	16.97%	-0.143	-0.214

 

Построение кривой нормального распределения:

№	xi-xi+1	xi	pi*	xi-x
	22-28		0.013	-22.656	-2.80	0.0079	0.006
	28-34		0.026	-16.656	-2.06	0,0478	0,035
	34-40		0.145	-10.656	-1.32	0,1669	0,124
	40-46		0.25	-4.656	-0,58	0,3372	0,250
	46-52		0.211	1.344	0,17	0,3932	0,292
	52-58		0.290	7.344	0,91	0,2637	0,196
	58-64		0.039	13.344	1.65	0,1023	0,076
	64-70		0.026	19.344	2.39	0,0229	0,017
∑							0,996

 

 

Сравнив гистограмму эмпирического распределения и кривую нормального распределения, приходим к выводу, что они отличаются друг от друга.

Выдвигаем гипотезу о том, что выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности, то есть изучаемая случайная величина Х распределена по нормальному закону, где за неизвестные параметры a и σ принимаем их числовые оценки: х=47.656 и S=8.091 – и проверим эту гипотезу с помощью двух критерий: критерий Колмогорова – Смирнова и критерия Пирсона, выбрав два уровня значимости: α =0,1 α =0,05

 

Критерий Колмогорова – Смирнова

Расчетная таблица для вычисления Д_кр:

 

№	α	К(α)	λ
	0,1	0,9	1,23	0,141
	0,05	0,95	1,36	0,155

 

Расчетная таблица для вычисления Д_эм:

 

№	Fn*(x)
	0.013	-2.80	0.0079	0.0051
	0.039	-2.06	0,0478	-0.0088
	0.184	-1.32	0,1669	0.0171
	0.434	-0,58	0,3372	0.0968
	0.645	0,17	0,3932	0.2518
	0.935	0,91	0,2637	0.6713
	0.974	1.65	0,1023	0.8717
		2.39	0,0229	0.9771

 

Д_эм=0,9771

0,9771>0,141

0,9771>0,155

Следовательно, выдвигаемая гипотеза отвергается с заданными уровнями значимости

α= 0.1;0.05

 

Критерий Пирсона

К=l-r-1=8-2-1=5

№	α
	0,1	9,24
	0,05	11,1

 

Расчетная таблица для вычисления :

№	xi-xi+1	mi	pi=P(xi<X<xi+1)	n*pi	(mi-n*pi)2/ n*pi
	22-28		0,00775	0.589	0.287
	28-34		0,0404	3.0704	0.373
	34-40		0,1267	9.6292	0.195
	40-46		0,2445	18.582	0.009
	46-52		0,2778	21.1128	1.238
	52-58		0,194	14.744	3.571
	58-64		0,0825	6.27	1.705
	64-70		0,0213	1.6188	0.090
∑			0,99495		7.468

 

=7.468

7.468<9,24

7.468<11,1

Следовательно, выдвигаемая гипотеза о нормальном распределении изучаемой случайной величины принимается с уровнем значимости α=0.1;0.05

 

 

Построение доверительных интервалов и доверительных вероятностей.

Считая, что изучаемая случайная величина распределена по нормальному закону, построим доверительные интервалы, покрывающие неизвестную дисперсию и параметры a и σ с доверительными вероятностями 0,9; 0,95 и 0,99.

1) Доверительный интервал, покрывающий параметр a:

K=n-1=75

№	β	α	t		Левая граница	Правая граница	Длина интервала
	0,9	0,1	1,67	1.55	46.11	49.21	3.1
	0,95	0,05	1,99	1.85	45.81	49.51	3.7
	0,99	0,01	3,43	3.19	44.47	50.85	6.38

 

Таким образом, с увеличением доверительной вероятности последовательно 0.9; 0.95; 0.99 ширина доверительного интервала увеличивается соответственно: 3.1; 3.7; 6.38

 

2) Доверительный интервал для неизвестной дисперсии:

№	β	α	α1	α2	Χ1	Χ2	Левая граница	Правая граница	Длина интервала
	0,9	0,1	0,95	0,05	96,2	56,1	51.03	87.51	36.48
	0,95	0,05	0,975	0,025	100,8	52,9	48.71	92.81	44.1
	0,99	0,01	0,995	0,005	110,3	47,2	44.51	104.01	59.5

Таким образом, с увеличением доверительной вероятности последовательно 0.9; 0.95; 0.99 длина интервала увеличивается соответственно 36.48; 44.1; 59.5

 

 

3)Доверительный интервал для параметра σ:

№	β	α	α1	α2	Χ1	Χ2	Левая граница	Правая граница	Длина интервала
	0,9	0,1	0,95	0,05	56,1	96,2	0.73	1.25	0.52
	0,95	0,05	0,975	0,025	52,9	100,8	0.70	1.33	0.63
	0,99	0,01	0,995	0,005	47,2	110,3	0.64	1.49	0.85

 

Таким образом, с увеличением доверительной вероятности последовательно 0.9; 0.95; 0.99 длина интервала увеличивается соответственно 0.52; 0.63; 0.85