ЗАКОНМЕРНОСТЬ ПОСТРОЕНИЯ ПЛОСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ ОБЪЕКТОВ
Возникновение плоского изображения трехмерного объекта подчиняется закономерности, которая определяется двумя составляющими:
структурой проекционного аппарата,
алгоритмом его работы.
Рассмотрим подробно эти составляющие.
Структура проекционного аппарата
Проекционным аппаратом принято считать устройство, с помощью которого возникают изображения. Посмотрим с точки зрения геометрии, как возникает изображение в реально существующих проекционных аппаратах, таких, как глаз человека, фотоаппарат, кинопроектор и т.п. Все они содержат некоторое устройство (хрусталик, объектив), которое собирает лучи в точку, и все они имеют некоторую плоскость (или поверхность), на которой возникает изображение (рис. 39).
Если отвлечься от конкретного устройства объектива, хрусталика и поверхности, получим структуру геометрического проекционного аппарата, которую составляют точка S и плоскость (или поверхность) p (рис. 40).
Рис. 39. Схема работы проекционных аппаратов
Рис. 40. Структура проекционных аппаратов
Точка S называется центром проецирования, плоскость (или поверхность) π – картиной. В дальнейшем чаще всего будет использоваться плоская картина.
В зависимости от взаимного расположения центра S по отношению к картине π выделяют два вида проецирования: центральное (рис. 40,а) и параллельное ( рис. 40,б, в). При параллельном проецировании центр S бесконечно удален. Направление, в котором он удален по отношению к картине, может быть различным. Если направление удаления центра S составляет с картиной угол, не равный девяноста градусам, то проецирование называется косоугольным (рис. 40,б). Если же центр S удален в бесконечность в направлении, перпендикулярном картине, проецирование называется ортогональным (рис. 40,в).
Традиционно процесс работы алгоритма называется проецированием, а плоское изображение проекцией.
Алгоритм работы проекционного аппарата
Для того чтобы построить плоское изображение, необходимо использовать следующий алгоритм (рис. 41):
1. Объединить исходный объект с центром проецирования. В результате получим проецирующий объект.
2. Пересечь проецирующий объект с картиной и получить плоское изображение исходного объекта.
В качестве проецирующих объектов в примерах на рис. 41 возникают пирамида и цилиндр.
Таким образом, чтобы построить плоское изображение трехмерного объекта, необходимо наличие проекционного аппарата, который, создавая плоские изображения, работает по рассмотренному выше алгоритму. Это происходит всегда. Поэтому можно считать закономерностью в возникновении плоских изображений трехмерных объектов.
2.3. Инварианты проецирования
Очевидно, что какие-то элементы исходных объектов видоизменяются в проекциях, другие – сохраняются, то есть остаются инвариантными.
Рис. 41. Примеры работы алгоритма при построении плоских изображений трехмерных объектов
Первый инвариант проецирования. Если проецировать точку исходного пространства, то проецирующим образом оказывается прямая, которая пересекается с картиной тоже в точке (рис. 42). Таким образом, проекцией точки является точка.
Рис. 42. Первый инвариант проецирования
Второй инвариант. Проекцией прямой в общем случае является пряма я, так как проецирующим образом здесь оказывается плоскость, которая пересекает картину по прямой (рис. 43). Исключение составляют только прямые, проходящие через центр проецирования. Они изображаются точкой (рис. 44).
Рис. 43. Второй инвариант проецирования
Третий инвариант. Проецирование сохраняет взаимную принадлежность элементов друг другу. Рассмотрим пример со взаимной принадлежностью точки и прямой (рис. 39). Знания школьного курса геометрии делает это очевидным.
Перечисленные три инварианта относятся как к центральному, так и к параллельному проецированию. При параллельном проецировании возникают еще два инварианта.
Рис. 44. Третий инвариант проецирования
Четвертый инвариант. Параллельное проецирование сохраняет параллельность элементов друг другу. Например, возьмем две параллельные прямые m и n. Вместе с центром проецирования они образуют две параллельные проецирующие плоскости 
= m 
S и 
= n 
S, которые пересекаются с картиной 
по двум параллельным прямым (рис. 45).
Рис. 45. Четвертый инвариант проецирования
Пятый инвариант. При параллельном проецировании сохраняется пропорциональность. Это легко доказать на примере проецирования прямой l, содержащей отрезок АВ. Продолжим эту прямую до пересечения с картиной p (рис. 46). Получаем две пересекающиеся прямые, одна из которых исходная, другая – ее проекция. Проецирующие лучи делят их в одном и том же отношении (теорема Фаллеса).
Рис. 46. Пятый инвариант проецирования