Посмотрим, могут ли плоские изображения трехмерных объектов, построенные на основании выявленного закона, являться геометрическими моделями исходных объектов? Для этого нужно ответить на другой вопрос: сохраняют ли они всю геометрическую информацию исходных объектов? Если ответ окажется положительным, то замена возможна, при отрицательном – нет. Итак, основное требование, которое предъявляется к геометрическим моделям, – это сохранение всей геометрической информации исходного объекта. Иначе говоря, объект на своем изображении должен быть узнаваем.
Пусть в качестве исходного объекта будет точка А на рис. 47. Она не имеет никакой геометрической информации, кроме положения в пространстве. Можно ли определить это положение, имея проекцию точки А и проекционный аппарат? Ответ очевиден: этого сделать нельзя. Можно лишь указать проецирующую прямую l = A 
S.
Рис. 47. Определение положения точки в трехмерном пространстве по ее плоскому изображению
Аналогичный вывод можно сделать, если восстанавливать положение прямой l в исходном пространстве (рис. 48). Для общего случая можно лишь указать проецирующую плоскость, которая содержит эту прямую. Причина станет ясна, если сравнить размерности картинного и исходного пространств.
Рассмотрим еще один пример. На рис. 44 изображена окружность. Вопрос: какой трехмерный объект здесь изображен? Ответ дан на рис. 49. Это может быть сфера, конус или цилиндр или любой другой объект, которого проецирующие прямые будут касаться по окружности.
Рис. 48. Определение положения прямой в трехмерном пространстве по ее плоскому изображению
Рис. 49. Какой трехмерный объект здесь изображен?
|
|
Ряд таких примеров можно продолжать достаточно долго. И каждый раз мы будем отмечать невозможность узнавания исходного объекта по одному плоскому изображению. Можем указать только некую группу объектов. В первом примере (рис. 47) – множество точек проецирующей прямой, во втором примере (рис. 48) – множество прямых проецирующей плоскости, в третьем (рис. 50) – множество объектов, касающихся проецирующего конуса.
Причина здесь в разнице размерностей исходного (трехмерного) пространства и картинного (двухмерного). Для того чтобы выделить точку в исходном трехмерном пространстве, нужно затратить три параметра, в картинной плоскости – два параметра. На выделение прямой в трехмерном пространстве нужно затратить четыре параметра, в плоскости – два. В третьем примере эта разница увеличивается. В результате плоское изображение утрачивает часть своей размерности, а вместе с ней и часть геометрической информации. Вывод напрашивается сам собой: чтобы изображение сохранило всю геометрическую информацию исходного объекта (стало его моделью), необходимо равенство размерностей исходного и картинного пространств. В этом случае модель сохранит всю геометрическую информацию исходного объекта. Такая модель называется однозначной.
Рис. 50. Множество объектов, имеющих изображение в виде окружности
Если размерности картинного и исходного пространств одинаковы, то модель сохраняет всю геометрическую информацию об исходном объекте. Пусть исходным и картинным пространствами будут соответственно прямолинейные ряды точек l и k (рис. 51). Проецируя произвольную точку А, принадлежащую прямой l, на прямую k из центра S, получим проекцию точки А’ на прямой k. Очевидно, что в этом случае легко решается обратная задача.
|
|
Так же легко решается аналогичная задача при сопоставлении плоских полей α и β (рис. 52). Любая точка А и прямая а, которые принадлежат плоскости α,восстанавливаются в исходном пространстве по их проекциям, данным в картинном пространстве β.
Рис. 51. Построение геометрических моделей в случае, когда размерность исходного и картинного пространств равна единице
Рис. 52. Построение геометрических моделей в случае, когда размерность исходного и картинного пространств равна двум
Итак, чтобы геометрическая модель сохранила всю информацию исходного объекта, необходимо равенство размерностей исходного и картинного пространств. Если же размерность исходного пространства равна трем, картинного – двум, то решение проблемы заключается в удвоении проекционного аппарата. Такое решение было подсказано самой природой: все, что имеет глаза, имеет их в количестве, равном двум. Оно позволяет сохранить всю геометрическую информацию исходного трехмерного объекта на его плоской модели. Это утверждение будет доказано далее.