Теоретическая часть
Понятие импульса. Закон сохранения импульса.
Для вывода закона сохранения импульса рассмотрим некоторые понятия. Совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое, называются механической системой. Силы взаимодействия между материальными точками механической системы называются внутренними. Силы, с которыми на материальные точки системы действуют внешние силы, называются внешними. Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы или сумма всех внешних сил, действующих на тела системы, равна нулю, называется замкнутой (или изолированной). Если мы имеем механическую систему, состоящую из многих тел, то, согласно 3-му закону Ньютона, силы, действующие между этими телами, будут равны и противоположно направлены, т.е. геометрическая сумма внутренних сил равна нулю.
Рассмотрим механическую систему, состоящую из n тел, масса и скорость которых соответственно равны m1, m2,..., mn и v1, v2,...,vn. Пусть ` F1,` F2,...,` Fn –равнодействующие внутренних сил, действующих на каждое из этих тел, а ` F1, `F2,..., `Fn –равнодействующие внешних сил. Запишем второй закон Ньютона для каждого из n тел механической системы:
(1)
Складывая почленно эти уравнения, получаем
(2)
Но так как геометрическая сумма внутренних сил механической системы по третьему закону Ньютона равна нулю, то
(3)
или
(4)
где 
-импульс системы тел. Таким образом, производная по времени от импульса механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему.
В случае отсутствия внешних сил (рассматриваем замкнутую систему)
, т.е. 
(5)
Последнее выражение и является законом сохранения импульса замкнутой системы тел: импульс замкнутой системы тел является величиной постоянной, т.е. не изменяется с течением времени.
|
|
Закон сохранения импульса справедлив не только в классической физике, хотя он и получен как следствие з-нов Ньютона. Эксперименты доказывают, что он выполняется и для замкнутых систем микрочастиц (они подчиняются з-нам квантовой механики). Этот з-н носит универсальный характер, т.е. з-н сохранения импульса является фундаментальным з-ном природы.
З-н сохранения импульса является следствием определенного свойства симметрии пространства – его однородности. Однородность пространства заключается в том, что при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого его физические свойства и з-ны движения не изменяются, иными словами, не зависят от выбора положения начала координат инерциальной системы отсчета.
Работа и энергия
Энергия –универсальная количественная мера движения и взаимодействия всех видов материи. С различными формами движения материи связывают различные формы движения: механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и др. В одних явлениях форма движения материи не изменяется, в других – переходит в другую форму (например, в результате трения механическая форма превращается в тепловую). Однако существенно, что во всех случаях энергия, отданная, в той или иной форме, другому телу, равна энергии, полученной вторым телом. Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Чтобы количественно охарактеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике рассматривают работу силы, приложенной к данному телу.
|
|
`F
1 2
a
∆ ` r
 | |||
 |
Рис.1
Если тело движется прямолинейно (рис.1) и на него действует сила ` F, составляющая некоторый угол a с направлением перемещения ∆ ` r, то механическая работа этой силы
равна произведению величины этой силы F на величину перемещения ∆ ` r и на косинус угла a между этими векторами (скалярному произведению вектора силы F на вектор перемещения ∆ ` r):
A=F ∆rcos a =(` F∆ ` r) (6)
В общем случае вектор силы может изменяться как по модулю, так и по направлению, а траектория движущегося тела – криволинейной. Чтобы найти механическую работу силы, путь, пройденный телом, разбивают на большое число достаточно малых элементов, чтобы каждый элемент можно было считать прямолинейным, а действующую силу в любой точке элемента –постоянной. Тогда элементарная работа
dAi=(`Fid`ri)= Fidricos a i (7)
а работа силы на всем пути MN будет равна алгебраической сумме элементарных работ
A=ådAi= åFidricosa i=å(Fid`ri) (8а)
i i i
или
(8б)
Из формулы (7) следует, что при a< П/2, работа силы положительна. Если a> П/2 работа силы отрицательна, в этом случае работа совершается против данной силы. При a= П/2 (сила направлена перпендикулярно перемещению) работа силы равна нулю.
` Fi
a i `vi
Fri
d`ri
M Рис.2 N
Единица работы –джоуль (Дж): 1Дж –работа, совершаемая силой в 1 Н на пути в 1 м при
|
|
a=0 (1 Дж = 1 Н м).
Кинетическая и потенциальная энергии
Кинетическая энергия
Кинетическая энергия тела является мерой его механического движения и определяется работой, которую необходимо совершить, чтобы вызвать данное движение.
Если сила ` F действует на покоящееся тело и вызывает движение со скоростью ` v, то она совершает работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы. Таким образом, работа силы ` F на пути, который тело прошло за время возрастания скорости от 0 до v, идет на увеличение кинетической энергии тела, т.е.
dA=dT (9)
Используя скалярную запись второго закона Ньютона 
и, умножая обе части равенства на перемещение ds, получим
(10)
Так как 
, то
dA=mvdv=dT (11)
и
(12)
Таким образом, для тела массой m, движущегося со скоростью v, кинетическая энергия системы есть функция состояния движения.
Потенциальная энергия
Потенциальная энергия –часть общей механической энергии системы, определяемая взаимным расположением тел и характером сил взаимодействия между ними.
Пусть взаимодействие тел осуществляется посредством силовых полей (например, поле упругих сил, поле гравитационных сил), характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит то того, по какой траектории оно произошло, а зависит только от начального и конечного положений. Такие поля называются потенциальными, а силы, действующие на них – консервативными. Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такие силы называются диссипативными (например, сила трения).
Тело, находясь в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией П. Работа консервативных сил при бесконечно малом изменении конфигурации системы равна убыли потенциальной энергии, так как работа совершается за счет потенциальной энергии:
dA=-dП (13а)
или
(`Fd`r)=-dП (13б)
Следовательно, если известна функция П (r), то из формулы (8б) можно найти силу F.
Потенциальная энергия может быть определена из формулы (8б) как
(14)
где const –постоянная интегрирования, т.е. потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной величины. Это, однако, не отражается на физических законах, так как в них входит или разность потенциальных энергий в двух положениях тела, или производная П (`r) по координатам.
Для консервативных сил
(15а)
или в векторном виде
(15б)
где
(16)
(` i,`j`,k – единичные векторы координатных осей). Вектор, определяемый выражением (16), называется градиентом скаляра П.
Потенциальная энергия тела массой m, поднятого на высоту h над поверхностью Земли, равна
П=mgh (17)
где высота h отсчитывается от нулевого уровня, для которого П 0=0, g –ускорение свободного падения.