ЗАНЯТИЕ 20
ТЕМА. КОРЕНЬ N-СТЕПЕНИ И ЕГО ОСОБЕННОСТИ. ПРОСТЕЙШИЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ РАДИКАЛОВ. ДЕЙСТВИЯ НАД РАДИКАЛАМИ.
1. Понятие о корне. Арифметический квадратный корень (актуализация).
2. Корень n-й степени.
3. Арифметический корень n-ой степени.
4. Свойства корней (1-5).
5. Простейшие преобразования радикалов
а) вынесение множителя за знак радикала;
б) вынесение положительных множителей под знаки радикала;
в) приведение радикалов к нормальному.
6. Приведение подобных радикалов.
7. Действия над радикалами
а) сложение, вычитание;
б) умножение и деление;
в) возведение радикала в степень и извлечение корня из радикала.
8. Приведение к рациональному виду членов дробных иррациональных выражений.
Понятие о корне. Арифметический квадратный корень (актуализация).
А-8: Квадратным корнем из числа а называется число, квадрат которого равен а 
, 
, 
не существует.
Итак, квадратных корней из положительного числа два: положительный и отрицательный.; квадратных корней из отрицательного числа не существует.
- знак корня, 
, а –подкоренное выражение
О: Положительные числа и 0 – неотрицательные числа.
О: Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а: при а<0,
- не существует
, 
, 
,
Корень квадратный имеет вторую степень
,
, 
, 
, 
Извлечение корня – операция, обратная возведению в степень.
Корень n-й степени.
О: Корнем n-ой степени из числа а 
называется такое число,
n-я степень которого равна а (т.е. 
, 
), n-натуральное число.
1) если n- нечетное число, то корень нечетной степени
то корень положительный
то корень отрицательный.
|
, т.к 
; n –нечетное
т.к 25=32; 
т.к (-2)5=-32
2) если n – четное
при 
2 противоположных числа, два корня
, т.к 24=16, (-2)4=16
а=0 - ед.корень
- не сущ., 
- не имеет смысла
ВЫВОД:
1) при n –нечетное при 
имеет ед. значение; 
, n –нечетное.
2) при n – четное имеет смысл при 
при два корня; а=0 – один корень.
3) если 
, то выражение имеет смысл при любом n (четном или нечетном) и выполняет равенство
Арифметический корень n-й степени
О: Арифметическим корнем n-ой степени из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, n-я степень которого равна а
, , , , 
4. Свойства корней:
; 
1) 
- произведение корней n-ой степени из чисел а и b равно корню n-ой степени из их произведения.
2) 
- частное корней n-ой степени из чисел а и b равно корню n-ой степени из их частного.
Стр. 176 № 14.4 
3) 
, 
, , при
k=n, 
пр. 
№ 16.1 
4) 
, 
, 
№ 37.1 (стр. 178) 
№ 16.3 
№ 38.1 сравнить 
и 
5) 
(формула понижения степеней)
№ 17.2 
№ 17.4 
5. Простейшие преобразования радикалов:
а ) вынесение множителя за знак радикала: выносить можно множитель из-под знака корня только в том случае, когда показатель данного множителя под знаком корня больше показателя самого корня
пусть
2) 
3) 
б) внесение положительных множителей под знак корня: чтобы внести множитель под знак корня нужно возвести его в степень равную показателю корня и записать результат под знаком корня.
№ 33 1) 
3) 
6) 
№ 36. 1) 
2) 
в) приведение радикалов к нормальному виду:
1) в подкоренном выражении нет дробей;
2) рациональные множители вынесены за знак корня;
3) показатель радикала и подкоренного выражения сокращены на наибольший общий делитель
№ 30 
№ 44 3) 
№ 46. 1) 
6. Приведение подобных радикалов:
Радикалы называются подобными, если в нормальном виде они имеют равные подкоренные выражения и одинаковые показатели
и т.д.
№ 48. стр.179 - устно 1) 4) – да; 2) 3) – нет
4) 
№ 49.1 доказать подобие
№ 53.1 подобны ли корни 
и 
?
Ответ: да
7. Действия над радикалами:
а) сложение и вычитание аналогично рациональным выражениям
№ 55,а
б) умножение и деление радикалов
1) чтобы перемножить несколько радикалов одинаковой степени, перемножим подкоренные выражения и запишем произведение под радикалом той же степени.
2) чтобы разделить радикалы с одинаковым показателем, разделим подкоренное выражение и запишем частные под радикалом той же степени. Если перед радикалами есть коэффициент, то их делим.
3) при умножении или делении радикала на рациональные выражения, достаточно на него умножить или разделить коэффициент радикала.
№ 54 1) 
2) 
в) возведение радикала в степень:
при возведении радикала в степень, возводим в эту степень подкоренные выражения (свойство 3)
№ 54.3 
г) извлечение корня из радикала:
при извлечении корня из корня, извлекаем корень из подкоренного произведения с показателем, равным произведению показателей данных корней
№ 34 4) 
2) 
8. Приведение к рациональному виду членов дробных иррациональных выражений.
На основании основного свойства дроби освобождаемся от радикалов в числителе или знаменателе.
№ 57. 1) 
3) 
6) 