Показательные неравенства решаются точно так же, как показательные уравнения.

Таблица степеней «хороших»чисел

Свойства степеней

1. При умножении показатели складываются: (основания одинаковые)
2. При делении показатели вычитаются: (основания одинаковые)
3. При возведении степени в степень показатели перемножаются:
4. Если показатели одинаковые, то основания можно перемножать или делить: и     Следствие: все можно вносить под один корень: ;
5. Любое число в нулевой стпени равно 1:
6. Если показатель отрицательный, то основание «переворачивается», а у показателя убирается «минус»:
7. При извлечении корня показатели делятся: (это свойство часто используется «справа налево») Следствие: любой корень можно представить как дробную степень:	или

Полезные советы:

1) Десятичные дроби лучше представлять в виде простых – и в основаниях, и в показателях:

Пример:

2) При преобразованиях корни удобнее представлять как дробные степени; а когда надо будет вычислить значение, надо опять дробные степени представить в виде корня:

Пример:

3) Если есть степени с разными основаниями, то можно одно из оснований представить как произведение других:

Пример:

Внимание!

Если в степень возводится скобка, то надо возводить в эту степень ВСЕ множители, которые стоят в скобке! (не забыть возвести в степень числа! и потом привести подобные!)

Пример:

(в знаменателе тройка возвелась в квадрат!)

2. Показательные уравнения – где х стоит в показателе степени, например

Как решать	Пример 1:	Пример 2:
1) Все степени приводим к одному основанию (в качестве основания берем «хорошее число»)	()
2) Пользуясь свойствами степеней, упрощаем	Здесь упрощать нечего
3) Убираем основания
4) Решаем получившиеся уравнения
5) Пишем ответ	Ответ: х=0	Ответ: х=1

Если к одному основанию не привести	Пример 1:	Пример 2:
1) Приводим все степени к одному показателю	Здесь и так показатели одинаковые
2) Если степени с разных сторон от знака равенства, делим на любую из них; если с одной стороны – перемножием
3) Дальше должно привестись к одному основанию, и основания можно убрать
4) Решаем получившееся уравнение
5) Пишем ответ	Ответ: х=-2	Ответ: х=1

Простейшие показательные неравенства

Показательные неравенства решаются точно так же, как показательные уравнения.

Но! Если основание меньше единицы, то, когда мы убираем основания, знак неравенства меняется.

Например:

Здесь мы убрали показатели, сохранив знак неравенства «<»

Здесь, убрав показатели, мы поменяли знак неравенства с «<» на «>»

Поэтому, чтобы не путаться, лучше всегда переходить к целому основанию

4. Логарифм числа а по основанию b - это показатель степени, в которую надо возвести b, чтобы получить a.

То есть если , то Значит, чтобы найти логарифм, надо решить показательное уравнение.

Пример: Найти : Пусть =х, решаем уравнение: . Значит, =2,5

Логарифмы можно брать только от положительных чисел!

Основание лоарифма должно быть положительным и не равно 1!

Логарифм единицы равен нулю!

Десятичный логарифм – логарифм по основанию 10. Записывается

Натуральный логирифм – логарифм по основанию e. Записывается (е – иррациональное число, ≈2,718)

5. Основное логарифмическое тождество: (Пример: )

Пример:

Любое число можно представить как логарифм, например,

Свойства логарифмов

1. Если числа перемножаются, то их логарифмы складываются:
2. Если числа делятся, то их логарифмы вычитаются:
Следствие:
3. Показатель степени выносится за логарифм   (часто это свойство применяется «справа налево»)

4. Формула перехода к новому основанию: (эта формула часто используется «справа налево»)
Следствие 1: (часто используется, когда логарифмы умножаются,   и если делятся логарифмы одного и того же числа, тогда по этому свойству:
Следствие 2: = (то есть все равно, какое брать основание)
Следствие 3: (степень основания выносится за логарифм в знаменатель)

5. (низ и верх можно менять местами)

Некоторые примеры задач

1) Если подряд записаны два логарифма (или несколько), то они вычисляются справа налево:
Такие примеры нельзя путать с теми, где логарифмы просто перемножаются:
2) Если логарифм возводится в квадрат (или другую степень), показатель степени пишется прямо над логарифмом:
3) В заданиях, где есть сумма или разность логарифмов: Если перед логарифмами стоят числа, то надо сначала эти числа «перетащить в показатели степени» Если слагаемых несколько, то слагаемые с «плюсом» пишем в числителе дроби, а с «минусом» - в знаменателе   Все десятичные дроби представляем в виде простых!   Внимательно следим, чтобы основания логарифмов были одинаковыми! Если основания разные, то переходим к одному основанию, при этом какой-то логарифм должен легко вычисляться.
4) Если логарифмы стоят в показателе степени, то применяем свойства степеней и основное логарифмическое тождество:

5) При умножении и делении неберущихся логарифмов надо переходить к новому основанию:
Иногда: сразу по формуле перехода (справа налево)   Если логарифмы перемножаются, то один из них можно перевернуть и получить нужную дробь:   Если берутся логарифмы от одного числа, но по разным основаниям, удобно перевернуть оба логарифма:   Отдельно стоящие числа (слагаемые) представляются в виде логарифмов:

7. Простейшие логарифмические уравнения
1) Отдельностоящие числа представляем как логарифмы
2) Переносим слагаемые из одной части в другую, чтобы не было знаков «минус»
3) Используем свойство
4) Используем свойство
5) Убираем логарифмы
6) Решаем получившееся уравнение
7) ОБЯЗАТЕЛЬНО подставляем получившиеся корни в ИСХОДНОЕ уравнение и убеждаемся, что под логарифмами получаются положительные числа	- верно!	верно! -нет!
8) Пишем ответ:	Ответ: х=6	Ответ: х=10

Логарифмические уравнения, где х стоит в основании логарифма, решаются как обычные. Но корни проверяются на выполнение следующих условий: основание логарифма должно быть больше 0 и не равно 1.

Пример: Решение: ;

Проверяем корни: И ответ в этом уравнении x=12

Логарифмические уравнения, где логарифм стоит в показателе степени, решаются по основному логарифмическому тождеству. Для этого, возможно, придется перейти к новому основанию. Пример:

Решение:

Проверяем корень:

8. Простейшие логарифмические неравенства
1) Выполняем преобразования так же, как при решении логарифмических уравнений, до того момента, когда надо будет убрать логарифмы (или один из них)
2) Убираем логарифмы, и заменяем одно неравенство системой. Первое неравенство системы – то, которое получится, если из исходного неравенства убрать логарифмы Второе (и остальные) неравенства системы получаются из ОДЗ: То, то чего берется логарифм, должно быть больше 0 Внимание! Если основание логарифма меньше 1, то, когда убираем логарифмы, знак неравенства меняем!	Внимание! Поменяли знак неравенства, потому что основание логарифма было меньше 1!
3) Решаем получившуюся систему
4) Пишем ответ:	Ответ:

Тест 1 степени и логарифмы		Тест 2 степени и логарифмы
	Вычислить при х=3			Вычислить при х=5
	Вычислить при а=4			Вычислить при а=64
	Вычислить +			Вычислить
	Вычислить			Вычислить
	Вычислить			Вычислить
	Решить уравнение			Решить уравнение
	Рещить уравнение			Рещить уравнение
	Решить уравнение			Решить уравнение
	Решить неравенство			Решить неравенство
	Решить неравенство			Решить неравенство
	Вычислить			Вычислить
	Вычислить			Вычислить
	Вычислить			Вычислить
	Вычислить			Вычислить
	Вычислить			Вычислить
	Вычислить			Вычислить
	Решить уравнение			Решить уравнение
	Решить уравнение (меньший)			Решить уравнение
	Решить неравенство			Решить неравенство
	Решить неравенство			Решить неравенство