Условие, уравнения и элементы взаимного ориентирования снимков

На рис. 1 представлена стереопара снимков Р₁ и Р₂ в положении, которое они занимали в момент фотографирования.

Любая пара соответственных лучей в этом случае пересекается в точке М местности и лежит в плоскости, проходящей через базис фотографирования (базисной плоскости).

Очевидно, что в этом случае векторы , лежащие в базисной плоскости, компланарны.

Рис. 1

 

Как известно из аналитической геометрии, смешанное произведение компланарных векторов равно нулю.

 

. (.1)

 

Условие компланарности в координатной форме имеет вид:

 

. (2)

 

В уравнении (2) координаты векторов в системе координат фотограмметрической модели О_МХ_МY_MZ_M, в общем случае произвольно расположенной и ориентированной.

В дальнейшем эту систему координат будем называть просто системой координат модели.

Условие (2) связывает между собой только направления векторов и выполняется при любых значениях их модулей. Поэтому значение модуля вектора можно выбрать произвольно. Направление вектора определяется двумя независимыми величинами. В качестве этих величин можно выбрать координаты b_z и b_у вектора , коллинеарного вектору , задав величину координаты b_x произвольно.

В частном случае величину b_x можно выбрать равной 1.

При этом направление вектора будут определять величины:

 

и .

 

Выражение (2) в этом случае будет иметь вид:

 

(3)

 

В уравнении (3)

 

,

 

где i – номер снимка, а А’₁ – ортогональная матрица, элементы a_ij которой являются функциями угловых элементов ориентирования i-го снимка w_i’,a_i’,À_i’ относительно системы координат модели О_МХ_МY_MZ_M.

В выражении (3), которое является уравнением взаимного ориентирования в общем виде, куда кроме координат соответственных точек, измеренных на стереопаре снимков, и элементов внутреннего ориентирования входят 8 параметров b_y, b_z, w₁’, a₁’, À₁’, w₂’, a₂’, À₂’, которые определяют угловую ориентацию базиса фотографирования и стереопары снимков относительно системы координат модели О_МХ_МY_MZ_M.

Причем параметры w₁’ и w₂’ определяют поворот снимков стерепары вокруг оси Х_М, параметры b_z, a₁’, a₂‘ – поворот базиса фотографирования и стереопары снимков вокруг оси Y_M, а параметры b_y, À₁’, À₂ ‘ – поворот базиса фотографирования и стереопары снимков вокруг оси Z_M.

Однако, из этих 8 параметров только 5 определяют взаимную угловую ориентацию базиса фотографирования и стереопары снимков.

Условие (3) выполняется при любой ориентации системы координат модели О_МХ_МY_MZ_M. Следовательно, ее можно ориентировать таким образом, чтобы 3 из 8 параметров стали равны нулю.

Очевидно, что в общем случае можно сделать равным нулю только один из параметров, входящих в три группы параметров:

 

– w₁’, w₂’;

– b_z, a₁’, a₂‘;

– b_y, À₁’, À₂’.

–

Таким образом, в качестве элементов взаимного ориентирования можно выбрать любую комбинацию из восьми параметров b_y, b_z, w₁’, a₁’, À₁’, w₂’, a₂’, À₂’, кроме комбинаций, в которые одновременно входят две тройки параметров b_z, a₁’, a₂‘ и b_y, À₁’, À₂’, а также пара параметров w₁’ и w₂’.

Рассмотрим наиболее распространенные системы элементов взаимного ориентирования:

Система a₁’, À₁’, w₂’, a₂’, À₂’. Если принять при этом, что b_y=b_z= w₁’=0, то уравнение (3) имеет вид:

 

. (4)

Система b_y, b_z, w₂’, a₂’, À₂’. Если при этом принять, что w₁’= a₁’= À₁’ =0, то уравнение (3) будет иметь вид:

 

; (5)

 

так как .

 

Комментарий. 3 оставшихся из 8 параметров после выбора 5 элементов взаимного ориентирования задают ориентацию системы координат модели О_МХ_МY_MZ_M. Например, выбрав систему элементов взаимного ориентирования b_y, b_z, w₂’, a₂’, À₂’ и приняв, что w₁’= a₁’= À₁’ =0, мы таким образом задаем систему координат модели О_МХ_МY_MZ_M, которой параллельны осям x, y, z системы координат первого снимка стереопары S₁x₁y₁z₁. В общем случае значения трех параметров можно задавать произвольно.

 

5. Определение элементов взаимного ориентирования

Для определения элементов взаимного ориентирования в качестве исходного используют уравнения взаимного ориентирования (4.3)

 

.

 

Каждая точка, измеренная на стереопаре снимков, позволяет составить одно уравнение (4.3), в которое, помимо измеренных координат точек на стереопаре снимков, элементов внутреннего ориентирования и трех параметров, задающих ориентацию системы координат модели, входят 5 неизвестных элементов взаимного ориентирования.

Очевидно, что для определения элементов взаимного ориентирования необходимо измерить на стереопаре снимков не менее 5 точек.

В качестве примера рассмотрим определение элементов взаимного ориентирования b_y, b_z, w₂’, a₂’, À₂’.

В связи с тем, что уравнения (4.3) не линейны, их предварительно приводят к линейному виду и переходят к уравнению поправок:

 

. (1)

 

В уравнении поправок коэффициенты a_i частные производные от функции (4.3) по соответствующим аргументам, а ℓ– свободный член.

Значения коэффициентов а_i в уравнении (1) вычисляют по следующим известным значениям:

– измеренным координатам точек на стереопаре снимков – х_i, y_i;

– элементам внутреннего ориентирования снимков f_i, x_0i, y_0i;

– 3 параметрам, задающим ориентацию системы координат модели (в нашем случае w₁’, a₁’, À₁’) и приближенным значениям элементов взаимного ориентирования.

Свободный член ℓ вычисляется по формуле (4.3) таким же образом.

Полученную систему уравнений поправок решают методом приближений, а в случае, если измерено более 5 точек по методу наименьших квадратов (под условием V^TPV=min). В результате решения находят значения элементов взаимного ориентирования.

Критерием, по которому принимается решение о завершении итерраций, могут являться величины поправок к определяемым неизвестным или величины остаточных поперечных параллаксов, которые для каждой измеренной точки вычисляются по формулам:

; (2)

 

где .

Величина q_ост представляет собой разность ординат измеренных точек на стереопаре снимков, приведенных к идеальному случаю съемки, то есть q=y₁-y₂.

Необходимо отметить, что при отсутствии ошибок построения снимка и ошибок измерений величина q должна быть равна 0.

При определении элементов взаимного ориентирования оптимальным вариантом считается измерение 12-18 точек на стереопаре снимков, расположенных парами или тройками в 6 стандартных зонах (рис. 1).

 

Рис. 1

- главная точка снимка

 

- стандартно расположенная зона

 

В этом случае получается наиболее точное и надежное определение элементов взаимного ориентирования и появляется возможность локализации грубых измерений.