Степенные ряды
Функциональный ряд вида , где и − заданные комплексные числа, − комплексное переменное, называется степенным рядом, а − коэффициентами степенного ряда.
Будем рассматривать ряд , где , и R (1)
Сделав замену , получим ряд (2), исследование которого равносильно исследованию сходимости ряда (1).
Теорема 1 (Абеля). Если степенной ряд сходится при , то он сходится и притом абсолютно при , а если он расходится при , то он расходится при .
Доказательство. 1) Пусть − интервал , и пусть − произвольная точка этого интервала, т.е. , поэтому .
Так как ряд (2) по условию сходится в точке , то , откуда следует, что последовательность − ограничена, т.е.
: .
Тогда , где . Так как ряд − сходится, то по признаку сравнения ряд − сходится, т.е. ряд (2) сходится абсолютно в любой точке интервала .
2) Пусть ряд (2) расходится в точке . Тогда он расходится в любой точке , так как в противном случае, по доказанному в пункте 1), ряд сходился бы.
Следствие. Если ряд (2) сходится в точке , то на отрезке , где , этот ряд сходится абсолютно и равномерно.
Доказательство. Если , то ,
где , причем не зависит от . По признаку Вейерштрасса, ряд (2) сходится абсолютно и равномерно на отрезке .
Теорема 2. Для всякого степенного ряда (2) существует R ( − число или ), такое, что
а) если и , то ряд (2) абсолютно сходится на интервале и расходится вне этого интервала;
б) если , то ряд (2) сходится только в одной точке ;
в) если , то ряд (2) сходится на всей числовой прямой.
Доказательство. Пусть − множество всех точек прямой, в которых ряд (2) сходится. Это непустое множество, т.к. в точке ряд сходится. Если − неограниченное множество, то ряд (2) сходится в любой точке числовой прямой. Действительно, возьмем точку . По теореме Абеля, ряд (2) сходится в точке .
Пусть − ограниченное множество. Если содержит хотя бы одну точку, отличную от , то обозначим . По теореме Абеля, ряд (2) сходится на интервале . Если , тогда , и ряд (2) расходится вне этого интервала.
Замечание. На границе интервала сходимости ряд (2) может как сходиться, так и расходиться. На любом меньшем отрезке ряд (2) сходится абсолютно и равномерно.
Теорема 3. Если существует конечный или бесконечный , то радиус сходимости ряда (2) вычисляется по формуле: , а если
существует конечный или бесконечный , то радиус сходимости ряда (2) вычисляется по формуле: .
Доказательство. Докажем первую формулу. Обозначим .
Пусть и пусть − произвольная точка интервала , т.е. .
Рассмотрим . Значит, по признаку Коши, ряд абсолютно сходится.
Если лежит вне интервала , тогда и , и ряд расходится. Значит, число является радиусом сходимости.
Формула верна и при , и при .
Вторая формула доказывается аналогично с помощью признака Даламбера.
Замечание 1. Пределы в теореме 3 могут не существовать. Но имеется универсальная формула Коши-Адамара для вычисления радиуса сходимости степенного ряда: .
Замечание 2. Для степенного ряда интервал сходимости имеет вид: , а радиус сходимости совпадает с радиусом сходимости степенного ряда .
Свойства степенных рядов.
Теорема 1. Сумма степенного ряда в области сходимости есть функция непрерывная.
Теорема 2. Степенные ряды , и имеют один и тот же радиус сходимости.
Теорема 3. Если ряд имеет радиус сходимости , то
1) в интервале сходимости функция имеет производные любого порядка, получаемые почленным дифференцированием, т.е. функция − бесконечно-дифференцируема;
2) внутри интервала сходимости этот ряд можно почленно интегрировать, т.е. справедливо равенство:
.
Ряд Тейлора
Если функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в точке производные всех порядков, то степенной ряд
(1)
называется рядом Тейлора функции в точке .
Вообще говоря, если бесконечно дифференцируема в точке (и даже в некоторой окрестности этой точки), то нельзя утверждать, что составленный ряд Тейлора сходится при к функции .
Пусть − бесконечно-дифференцируема в точке . Обозначим
, ,
и назовём остаточным членом формулы Тейлора для функции в точке . Если существует , то это означает, что ряд (1) сходится к функции в точке , т.е. .
Теорема 1. Если функции непрерывны на интервале , где , то для остаточный член формулы Тейлора для функции в точке можно представить:
а) в интегральной форме: ;
б) в форме Лагранжа: , где ;
в) в форме Пеано: при .
Теорема 2. Если функция и все её производные ограничены в совокупности на некотором интервале , т.е.
, , то
функция представима в виде сходящегося к ней в каждой точке интервала ряда Тейлора (1), т.е.
.
Доказательство. Пусть , тогда
.
Так как , , то получаем, что при . Значит, ряд Тейлора (1) сходится к функции .
Замечание. Теорема 2 остается верна, если условие её теоремы заменить на , .
Разложение элементарных функций в ряд Тейлора
Если , то ряд Тейлора принимает вид: . (2)
Этот ряд называется рядом Маклорена.
Найдём разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена.
1) . , выполняются неравенства:
, , N.
По теореме 2, ряд (2) для функции сходится к этой функции на интервале при , т.е. радиус сходимости этого ряда .
, , поэтому , .
Т.к. , , то
, .
2) . Тогда , , N.
Значит, ряд Маклорена для сходится к этой функции , т.е. радиус сходимости этого ряда .
, , , N. Поэтому
, .
Аналогично рассуждая, получим:
, , , ,
, где , , ,
, , , .