Разложение элементарных функций в ряд Тейлора

Степенные ряды

Функциональный ряд вида , где и − заданные комплексные числа, − комплексное переменное, называется степенным рядом, а − коэффициентами степенного ряда.

Будем рассматривать ряд , где , и R (1)

Сделав замену , получим ряд (2), исследование которого равносильно исследованию сходимости ряда (1).

Теорема 1 (Абеля). Если степенной ряд сходится при , то он сходится и притом абсолютно при , а если он расходится при , то он расходится при .

Доказательство. 1) Пусть − интервал , и пусть − произвольная точка этого интервала, т.е. , поэтому .

Так как ряд (2) по условию сходится в точке , то , откуда следует, что последовательность − ограничена, т.е.

: .

Тогда , где . Так как ряд − сходится, то по признаку сравнения ряд − сходится, т.е. ряд (2) сходится абсолютно в любой точке интервала .

2) Пусть ряд (2) расходится в точке . Тогда он расходится в любой точке , так как в противном случае, по доказанному в пункте 1), ряд сходился бы.

Следствие. Если ряд (2) сходится в точке , то на отрезке , где , этот ряд сходится абсолютно и равномерно.

Доказательство. Если , то ,

где , причем не зависит от . По признаку Вейерштрасса, ряд (2) сходится абсолютно и равномерно на отрезке .

Теорема 2. Для всякого степенного ряда (2) существует R ( − число или ), такое, что

а) если и , то ряд (2) абсолютно сходится на интервале и расходится вне этого интервала;

б) если , то ряд (2) сходится только в одной точке ;

в) если , то ряд (2) сходится на всей числовой прямой.

Доказательство. Пусть − множество всех точек прямой, в которых ряд (2) сходится. Это непустое множество, т.к. в точке ряд сходится. Если − неограниченное множество, то ряд (2) сходится в любой точке числовой прямой. Действительно, возьмем точку . По теореме Абеля, ряд (2) сходится в точке .

Пусть − ограниченное множество. Если содержит хотя бы одну точку, отличную от , то обозначим . По теореме Абеля, ряд (2) сходится на интервале . Если , тогда , и ряд (2) расходится вне этого интервала.

Замечание. На границе интервала сходимости ряд (2) может как сходиться, так и расходиться. На любом меньшем отрезке ряд (2) сходится абсолютно и равномерно.

Теорема 3. Если существует конечный или бесконечный , то радиус сходимости ряда (2) вычисляется по формуле: , а если

существует конечный или бесконечный , то радиус сходимости ряда (2) вычисляется по формуле: .

Доказательство. Докажем первую формулу. Обозначим .

Пусть и пусть − произвольная точка интервала , т.е. .

Рассмотрим . Значит, по признаку Коши, ряд абсолютно сходится.

Если лежит вне интервала , тогда и , и ряд расходится. Значит, число является радиусом сходимости.

Формула верна и при , и при .

Вторая формула доказывается аналогично с помощью признака Даламбера.

Замечание 1. Пределы в теореме 3 могут не существовать. Но имеется универсальная формула Коши-Адамара для вычисления радиуса сходимости степенного ряда: .

Замечание 2. Для степенного ряда интервал сходимости имеет вид: , а радиус сходимости совпадает с радиусом сходимости степенного ряда .

Свойства степенных рядов.

Теорема 1. Сумма степенного ряда в области сходимости есть функция непрерывная.

Теорема 2. Степенные ряды , и имеют один и тот же радиус сходимости.

Теорема 3. Если ряд имеет радиус сходимости , то

1) в интервале сходимости функция имеет производные любого порядка, получаемые почленным дифференцированием, т.е. функция − бесконечно-дифференцируема;

2) внутри интервала сходимости этот ряд можно почленно интегрировать, т.е. справедливо равенство:

Ряд Тейлора

Если функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в точке производные всех порядков, то степенной ряд

(1)

называется рядом Тейлора функции в точке .

Вообще говоря, если бесконечно дифференцируема в точке (и даже в некоторой окрестности этой точки), то нельзя утверждать, что составленный ряд Тейлора сходится при к функции .