Разложение элементарных функций в ряд Тейлора




Степенные ряды

Функциональный ряд вида , где и − заданные комплексные числа, − комплексное переменное, называется степенным рядом, а − коэффициентами степенного ряда.

Будем рассматривать ряд , где , и R (1)

Сделав замену , получим ряд (2), исследование которого равносильно исследованию сходимости ряда (1).

 

Теорема 1 (Абеля). Если степенной ряд сходится при , то он сходится и притом абсолютно при , а если он расходится при , то он расходится при .

 

Доказательство. 1) Пусть − интервал , и пусть − произвольная точка этого интервала, т.е. , поэтому .

Так как ряд (2) по условию сходится в точке , то , откуда следует, что последовательность − ограничена, т.е.

: .

Тогда , где . Так как ряд − сходится, то по признаку сравнения ряд − сходится, т.е. ряд (2) сходится абсолютно в любой точке интервала .

2) Пусть ряд (2) расходится в точке . Тогда он расходится в любой точке , так как в противном случае, по доказанному в пункте 1), ряд сходился бы.

 

Следствие. Если ряд (2) сходится в точке , то на отрезке , где , этот ряд сходится абсолютно и равномерно.

Доказательство. Если , то ,

где , причем не зависит от . По признаку Вейерштрасса, ряд (2) сходится абсолютно и равномерно на отрезке .

 

Теорема 2. Для всякого степенного ряда (2) существует R ( − число или ), такое, что

а) если и , то ряд (2) абсолютно сходится на интервале и расходится вне этого интервала;

б) если , то ряд (2) сходится только в одной точке ;

в) если , то ряд (2) сходится на всей числовой прямой.

 

Доказательство. Пусть − множество всех точек прямой, в которых ряд (2) сходится. Это непустое множество, т.к. в точке ряд сходится. Если − неограниченное множество, то ряд (2) сходится в любой точке числовой прямой. Действительно, возьмем точку . По теореме Абеля, ряд (2) сходится в точке .

Пусть − ограниченное множество. Если содержит хотя бы одну точку, отличную от , то обозначим . По теореме Абеля, ряд (2) сходится на интервале . Если , тогда , и ряд (2) расходится вне этого интервала.

 

Замечание. На границе интервала сходимости ряд (2) может как сходиться, так и расходиться. На любом меньшем отрезке ряд (2) сходится абсолютно и равномерно.

 

Теорема 3. Если существует конечный или бесконечный , то радиус сходимости ряда (2) вычисляется по формуле: , а если

существует конечный или бесконечный , то радиус сходимости ряда (2) вычисляется по формуле: .

Доказательство. Докажем первую формулу. Обозначим .

Пусть и пусть − произвольная точка интервала , т.е. .

Рассмотрим . Значит, по признаку Коши, ряд абсолютно сходится.

Если лежит вне интервала , тогда и , и ряд расходится. Значит, число является радиусом сходимости.

Формула верна и при , и при .

Вторая формула доказывается аналогично с помощью признака Даламбера.

 

Замечание 1. Пределы в теореме 3 могут не существовать. Но имеется универсальная формула Коши-Адамара для вычисления радиуса сходимости степенного ряда: .

Замечание 2. Для степенного ряда интервал сходимости имеет вид: , а радиус сходимости совпадает с радиусом сходимости степенного ряда .

 

Свойства степенных рядов.

Теорема 1. Сумма степенного ряда в области сходимости есть функция непрерывная.

Теорема 2. Степенные ряды , и имеют один и тот же радиус сходимости.

Теорема 3. Если ряд имеет радиус сходимости , то

1) в интервале сходимости функция имеет производные любого порядка, получаемые почленным дифференцированием, т.е. функция − бесконечно-дифференцируема;

2) внутри интервала сходимости этот ряд можно почленно интегрировать, т.е. справедливо равенство:

.

 

 

Ряд Тейлора

Если функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в точке производные всех порядков, то степенной ряд

(1)

называется рядом Тейлора функции в точке .

Вообще говоря, если бесконечно дифференцируема в точке (и даже в некоторой окрестности этой точки), то нельзя утверждать, что составленный ряд Тейлора сходится при к функции .

Пусть − бесконечно-дифференцируема в точке . Обозначим

, ,

и назовём остаточным членом формулы Тейлора для функции в точке . Если существует , то это означает, что ряд (1) сходится к функции в точке , т.е. .

 

Теорема 1. Если функции непрерывны на интервале , где , то для остаточный член формулы Тейлора для функции в точке можно представить:

а) в интегральной форме: ;

б) в форме Лагранжа: , где ;

в) в форме Пеано: при .

 

Теорема 2. Если функция и все её производные ограничены в совокупности на некотором интервале , т.е.

, , то

функция представима в виде сходящегося к ней в каждой точке интервала ряда Тейлора (1), т.е.

.

Доказательство. Пусть , тогда

.

Так как , , то получаем, что при . Значит, ряд Тейлора (1) сходится к функции .

 

Замечание. Теорема 2 остается верна, если условие её теоремы заменить на , .

 

 

Разложение элементарных функций в ряд Тейлора

Если , то ряд Тейлора принимает вид: . (2)

Этот ряд называется рядом Маклорена.

Найдём разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена.

1) . , выполняются неравенства:

, , N.

По теореме 2, ряд (2) для функции сходится к этой функции на интервале при , т.е. радиус сходимости этого ряда .

, , поэтому , .

Т.к. , , то

, .

2) . Тогда , , N.

Значит, ряд Маклорена для сходится к этой функции , т.е. радиус сходимости этого ряда .

, , , N. Поэтому

, .

Аналогично рассуждая, получим:

, , , ,

, где , , ,

, , , .



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-03-27 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: