Векторные (линейные) пространства
Вектор. Основные понятия
Повторим некоторые понятия, известные из школьного курса геометрии.
Определение. Вектором с началом в точке А и концом в точке В называется направленный отрезок АВ.
Обозначение: 
, 
.
Определение. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым и обозначается 
или 
.
Определение. Длиной ненулевого вектора называется длина отрезка 
. Длина вектора обозначается 
. Длина нулевого вектора равна нулю.
Определение. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Обозначение: 
ǀǀ 
Определение. Два ненулевых вектора 
и 
называются сонаправленными, если сонаправлены лучи 
и 
. Обозначение: 
Два ненулевых вектора и называются противоположно направленными, если противоположно направлены лучи и . Обозначение: 
.
Нулевой вектор считается сонаправленым с любым вектором.
Определение. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. Обозначение: 
.
Определение. Два вектора называются противоположными, если они противоположно направлены и их длины равны. Вектор, противоположный вектору 
, обозначается 
.
Пример. Дан параллелограмм 
, точки 
и 
- середины сторон 
и 
соответственно. Векторы 
и 
- коллинеарны и, более того, противоположно направлены; векторы и 
- коллинеарны и сонаправлены; 
; 
.
Сложение и вычитание векторов
Определение. Пусть 
и 
- произвольные векторы. Возьмём любую точку 
и отложим от неё вектор 
, затем от точки 
отложим вектор 
. Вектор 
называется суммой векторов и и обозначается: 
(рис.2).
Замечания.
1. Можно показать, что вектор 
определяется с помощью векторов и однозначно, не зависимо от точки 
.
2. При нахождении суммы двух неколлинеарных векторов приходится строить треугольник 
, поэтому указанное здесь правило сложения векторов называется правилом треугольника.
Если слагаемые векторы и неколлинеарные. То для построения их суммы можно пользоваться другим способом – правилом параллелограмма.
В этом случае от одной точки
откладываем векторы
и
. Затем на этих векторах как на смежных сторонах строиться параллелограмм
. Тогда суммой векторов
и
называется вектор
(рис. 3).
Свойства сложения.
Для произвольных векторов , и 
справедливо следующие равенства.
1. 
- свойство коммутативности (переместительный закон).
2. 
- свойство ассоциативности (сочетательный закон).
3. 
4. 
Наиболее сложным из этих свойств является свойство ассоциативности. Проиллюстрируем его. Для этого от произвольной точки отложим последовательно векторы 
, 
и 
(рис. 4).
Дважды применяя правило треугольника получаем
.
Точно также находим, что 
.
Сумма трех векторов определяется с помощью сложения двух векторов, а именно: 
. Из свойств коммутативности и ассоциативности следует, что в сумме трех векторов скобки можно расставлять произвольным образом, а векторы можно складывать в произвольном порядке. Аналогичным образом определяется сумма числа векторов, большего трёх. Для построения суммы нескольких векторов используется правило многоугольника:
Первый вектор суммы откладывается от произвольной точки. Каждый следующий вектор откладывается от конца предыдущего. Суммой является вектор с началом в начале первого слагаемого и концом – в конце последнего слагаемого.
Пример. Пусть даны векторы
. Построим вектор
(рис. 5).
Определение. Три вектора называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.
Если три вектора 
и 
не компланарны, то для их сложения применяют также правило параллелепипеда. В этом случае векторы и откладывают от одной точки , затем на построенных векторах как на смежных ребрах строят параллелепипед. Суммой векторов является вектор, совпадающий с диагональю параллелепипеда, выходящей из точки .
Определение. Разностью векторов 
и 
называется такой вектор 
, что 
. Обозначается: 
.
Из определения следует, что 
.
Согласно правилу треугольника
(рис.6), поэтому
, откуда получаем правило нахождения разности векторов
и
.
От точки откладываем векторы 
и 
, тогда разность 
- это вектор с началом в конце вычитаемого и концом в конце уменьшаемого.
