Тема 2.5. Кручение.
Напряжения и деформации
При кручении
Иметь представление о напряжении и деформациях при кручении, о моменте сопротивления при кручении.
Знать формулы для расчета напряжений в точке поперечного сечения, закон Гука при кручении.
Напряжения при кручении
Проводим на поверхности бруса сетку из продольных и поперечных линий и рассмотрим рисунок, образовавшийся на поверхности после деформации (рис. 27.1а). Поперечные окружности, оставаясь плоскими, поворачиваются на угол φ, продольные линии искривляются, прямоугольники превращаются в параллелограммы. Рассмотрим элемент бруса 1234 после деформации.
При выводе формул используем закон Гука при сдвиге и гипотезу
224 Лекция 27
плоских сечений и неискривления радиусов поперечных сечений.
При кручении возникает напряженное состояние, называемое «чистый сдвиг» (рис. 27.16).
При сдвиге на боковой поверхности элемента 1234 возникают касательные напряжения, равные по величине (рис. 27.1в), элемент деформируется (рис. 27.1г).
Материал подчиняется закону Гука. Касательное напряжение пропорционально углу сдвига.
Закон Гука при сдвиге τ = Gγ,
G — модуль упругости при сдвиге, Н/мм2; γ -- угол сдвига, рад.
Напряжение в любой точке поперечного сечения
Рассмотрим поперечное сечение круглого бруса. Под действием внешнего момента в каждой точке поперечного сечения возникают силы упругости d Q (рис. 27.2).
где τ — касательное напряжение; dA — элементарная площадка.
В силу симметрии сечения силы dQ образуют пары (см. лекцию 26).
Элементарный момент силы dQ относительно центра круга
где р — расстояние от точки до центра круга.
Суммарный момент сил упругости получаем сложением (интегрированием) элементарных моментов:
После преобразования получим формулу для определения напряжений в точке поперечного сечения:
Тема 2.5. Кручение 225
При ρ = 0 τк = 0; касательное напряжение при кручении пропорционально расстоянию от точки до центра сечения. Полученный интеграл Jp (лекция 25) называется полярным моментом инерции сечения. Jp является геометрической характеристикой сечения при кручении. Она характеризует сопротивление сечения скручиванию.
Анализ полученной формулы для Jp показывает, что слои, расположенные дальше от центра, испытывают большие напряжения.
Эпюра распределения касательных напряжений при кручении (рис. 27.3)
Максимальные напряжения при кручении
Из формулы для определения напряжений и эпюры распределения касательных напряжений при кручении видно, что максимальные напряжения возникают на поверхности.
Определим максимальное напряжение, учитывая, что ртaх = d/2, где d — диаметр бруса круглого сечения.
Для круглого сечения полярный момент инерции рассчитывается по формуле (см. лекцию 25).
Максимальное напряжение возникает на поверхности, поэтому имеем
Обычно Jp/ ртaх обозначают Wp и называют моментом сопротивления при кручении, или полярным моментом сопротивления сечения
8 - 8060 Олофинская
226 Лекция 27
Таким образом, для расчета максимального напряжения на поверхности круглого бруса получаем формулу
Условие прочности при кручении
Разрушение бруса при кручении происходит с поверхности, при расчете на прочность используют условие прочности
где [τк] — допускаемое напряжение кручения.