Производная y 
функции 
– это мгновенная скорость изменения этой функции. В частности, если зависимость между пройденным путём 
и временем 
при прямолинейном неравномерном движении выражается уравнением 
, то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени нужно найти производную 
и подставить в неё соответствующее значение , то есть 
П р и м е р 1. Точка движется прямолинейно по закону 
(s выражается в метрах, t – в секундах). Найти скорость движения через 3 секунды после начала движения.
Решение. Скорость прямолинейного движения равна производной пути по времени, то есть 
.
Подставив в уравнение скорости 
с, получим 
П р и м е р 2. Маховик, задерживаемый тормозом, поворачивается за t с на угол
(t) = 4t – 0,2t2 (рад). Найдите:
а) угловую скорость вращения маховика в момент t = 6 с;
б) в какой момент времени маховик остановится?
Решение. а) Угловая скорость вращения маховика определяется по формуле 
Тогда 
Подставляя t = 6 с, получим 
.
б) В тот момент, когда маховик остановится, его скорость будет равна нулю 
. Поэтому 
. Отсюда 
П р и м е р 3. Тело массой 6 кг движется прямолинейно по закону 
Найти кинетическую энергию тела 
через 3 с после начала движения.
Решение. Найдём скорость движения тела в любой момент времени t.
Вычислим скорость тела в момент времени 
.
Определим кинетическую энергию тела в момент времени 
Производная второго порядка. Производная n-го порядка.
Производная от данной функции называется первой производной или производной первого порядка. Но производная функции также является функцией, и если она дифференцируема, то от неё, в свою очередь, можно найти производную.
Производная от производной называется второй производной или производной второго порядка и обозначается 
.
Производная от второй производной называется производной третьего порядка и обозначается 
Производной n-го порядка называется производная от производной 
порядка и обозначают 
или 
Примеры.
1) 
2) 
.
Механический смысл второй производной.
Если первая производная функции – это мгновенная скорость изменения любого процесса, заданного функцией, то вторая производная – это скорость изменения скорости или ускорение, то есть 
Итак, первая производная – это скорость изменения процесса, вторая производная – ускорение. 
П р и м е р 4. Точка движется прямолинейно по закону 
. Найти скорость и ускорение точки в момент 
.
Решение. Найдём скорость точки в любой момент времени t.
Вычислим скорость в момент времени .
Найдём ускорение точки в любой момент времени t.
и 
, то есть ускорение в этом случае является величиной постоянной.
П р и м е р 5. Тело массой 3 кг движется прямолинейно по закону 
+5. Найти силу, действующую на тело в момент времени 
Решение. Сила, действующая на тело, находится по формуле 
Найдём скорость движения точки в любой момент времени t.
.
Тогда 
.
Найдём ускорение: 
= 
Тогда 
.
Вопросы для самопроверки
1. В чём заключается физический смысл первой производной?
2. Как найти мгновенную скорость прямолинейного неравномерного движения? Запишите формулу.
3. Что называется производной второго порядка, третьего порядка, n-го порядка?
4. В чём заключается механический смысл производной?
5. Как найти ускорение прямолинейного неравномерного движения в данный момент времени? Запишите формулу.