Производная частного функций

Группа – ЭТ-21-1 (ЗОТ) 15.12.2021

Дисциплина – Математика

Тема 1: Производная. Вычисление производных разных функций.

Записать конспект лекции с формулами и примерами решения в тетрадь. Решить задания для самостоятельного решения.

Не будем вдаваться в глубокие теоретические подробности. Вам надо просто научиться решать примеры на нахождение производной функции.

Определение: Производная – это скорость изменения функции.

 

Говоря совсем просто, для того чтобы найти производную функции, нужно по определенным правилам превратить её в другую функцию.

Посмотрите на Таблицу производных – там функции превращаются в другие функции. (Единственным исключением является экспоненциальная функция , которая превращается сама в себя.)

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Обозначения: Производную обозначают или .

Таблица производных Функция Производная С постоянное число   х   k x k ln x sin x cos x cos x -sin x tg x ctg x

Правила дифференцирования ,где k – число (коэффициент остается неизменным) (производная суммы) (производная произведения) (производная частного) (производная сложной функции)

Запишите в тетрадь таблицы с формулами.

ВАЖНО!!!! При нахождении производных сначала используются правила дифференцирования, а затем – таблица производных элементарных функций (в левой колонке таблицы ищем функцию, а в правой –берем вид ее производной).

Еще раз: значек ¢(штрих) означает – найти производную.Если вы уже использовали формулу, то штрих больше ставить не надо.

Разбирая примеры, сначала прочитайте каждый. Не надо сразу подряд все записывать. Примеры разобраны очень подробно. В итоге вы должны записать условие и конечный вид решения.

ИТАК, знакомимся с правилами дифференцирования:

Постоянное число можно (и нужно) вынести за знак производной

, где k – постоянное число (константа)

Пример 1. Найти производную функции

Решаем:

Производная суммы равна сумме производных

Пример 2 Найти производную функции

Решаем. Как Вы, наверное, уже заметили, первое действие, которое всегда выполняется при нахождении производной, состоит в том, что мы заключаем в скобки всё выражение и ставим штрих справа вверху:

Применяем второе правило:

Все функции, находящиеся под штрихами, являются элементарными табличными функциями, с помощью таблицы осуществляем превращение.

Итоговая запись решения:

 

 

 

 

(Упрощаем полученные выражения)

 

Производная произведения функций

Пример 3

Найти производную функции

В данной функции содержится сумма и произведение двух функций – квадратного трехчлена и логарифма . Здесь всё так же. СНАЧАЛА мы используем правило дифференцирования произведения:

Теперь для скобки используем два первых правила:

В результате применения правил дифференцирования под штрихами у нас остались только элементарные функции, по таблице производных превращаем их в другие функции. Итоговая запись решения:

 

Производная частного функций

Пример 4 Найти производную функции

Решаем:

Теперь смотрим на выражение в скобках, как бы его упростить? В данном случае замечаем множитель, который согласно первому правилу целесообразно вынести за знак производной:

Смотрим на наше выражение в скобках. И здесь – сначала применяем правило дифференцирования частного:

Таким образом, наша страшная производная свелась к производным двух простых выражений. Применяем первое и второе правило, здесь это сделаем устно, надеюсь, Вы уже немного освоились в производных:

Штрихов больше нет, задание выполнено.

Вот какое решение получается:

Выполните Задания для самостоятельного решения:

ВАЖНО!!!! При нахождении производных сначала используются правила дифференцирования, а затем – таблица производных элементарных функций.

 

1. Найти производную функции:

1)

2) f(x) = 5e^x – 2x⁴ + 7^х;

3) у = х⁵× sinx;

4) у =

5) y = ;

6) у = .

Надеюсь, что все понятно.