При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси 
(рис. 2) под действием приложенных к нему внешних задаваемых сил 
, в соответствии с методом кинетостатики должны выполняться следующие уравнения равновесия:
(3)
где 
– масса тела,
и 
– координаты его центра масс,
– момент задаваемых сил относительно 
-ой координатной оси,
, 
и 
– соответствующие центробежные и осевой моменты инерции твердого тела.
Заметим, что последние два слагаемых в первом и втором уравнениях есть соответствующие проекции нормальной и тангенциальной составляющих главного вектора сил инерции, а последние два слагаемых в четвертом и пятом уравнениях - соответствующие проекции составляющих главного момента сил инерции.
Рис. 2
На рисунке наложенные связи (цилиндрический шарнир В и подпятник А) заменены на соответствующие реакции (точнее, их проекции на оси координатной системы).
Последнее уравнение не содержит реакций опор и представляет альтернативную запись дифференциального уравнения вращательного движения тела. Остальные пять уравнений позволяют найти проекции опорных реакций на выбранные координатные оси. Вследствие независимости действия сил, возникающие опорные реакции можно представить состоящими из трех составляющих: первая из них обусловлена активными силами статической природы (например, силы веса), вторая – активными силами динамической природы, третья – движением твердого тела. Очевидно, что каждая из указанных категорий реакций может быть рассчитана независимо от остальных. Реакции первой и второй категорий, обусловленные активными (задаваемыми) силами, не зависят от инерционных характеристик твердого тела и не могут быть минимизированы в процессе динамической балансировки. Опорные реакции третьей категории называются дополнительными динамическими реакциями.
Пример решения задания
Твердое тело (цилиндр радиуса R и высотой H с вырезанным цилиндром радиуса r и высотой h), изображенное на рис. 3, жестко прикреплено к вертикальной оси, как показано на рис. 4.
Рис. 3
Найти динамические составляющие опорных реакций в подпятнике А и подшипнике В при вращении тела вокруг вертикальной оси постоянным моментом 
(рис. 4) через t секунд после начала вращения. Плотность материала тела 
, необходимые линейные размеры и угол 
так же полагать заданными.
Рис. 4
РЕШЕНИЕ
Для однородного цилиндра радиуса 
и высоты 
известны все элементы тензора инерции в центральной системе координат (ось является продольной осью симметрии):
.
Тело, изображенное на рис. 3, получено удалением малого цилиндра радиуса 
и высоты 
из большого цилиндра радиуса и высоты .
1. Найдем положение центра тяжести тела в координатной системе 
.
Абсцисса и ордината центра тяжести тела равны нулю (в силу осевой симметрии тела).
Вычислим аппликату центра тяжести тела:
.
При вычислении учтено, что масса большого цилиндра 
, а малого 
.
Вычислим элементы тензора инерции тела в центральной координатной системе 
:
.
Заметим, что в связи с совпадением осей 
и соответствующий осевой момент вычислен как разность осевых моментов большого и малого цилиндров. При вычислении остальных осевых моментов инерции потребовался учет параллельного переноса соответствующих осей большого цилиндра на расстояние 
, а малого – на расстояние 
. Учет параллельного переноса осей выполнен по теореме Гюйгенса-Штейнера.
Учтем поворот координатной системы вокруг оси 
, совпадающей с осью 
на угол .
.
Замечание: напомним, что формулы поворота вокруг другой оси получаются из приведенных формул с помощью циклической перестановки индексов (
…).
Осуществим параллельный перенос координатных осей 
в точку 
(на рис. 4 координатная система 
), вычислив только осевой момент инерции относительно оси вращения и центробежные моменты, фигурирующие в формулах системы (3):
.
При вычислении учтено, что
,
,
.
Для вычисления кинематических характеристик вращательного движения тела через 
секунд после начала вращения, воспользуемся последним уравнением из (3). Для нашего случая получим
.
Используя формулы равноускоренного движения, вычислим значение угловой скорости как 
.
Для вычисления проекций динамических реакций воспользуемся первыми пятью уравнениями из (3), которые в нашем случае примут вид:
Результат решения:
;
Отметим, что в рассмотренном примере проекции опорных реакций включают составляющие, обусловленные силами статической природы (сила веса) и дополнительные динамические реакции, обусловленные вращением тела. Заметим, что проекции последних поворачиваются вокруг оси 
вместе с осями координатной системы 
.
С решением подобных примеров можно ознакомиться, например, в [2, 3, 4].
ЗАДАНИЕ 3. Расчет параметров движения (равновесия)
тел механической системы
при учете сухого трения и (или) трения качения