Задача 9. . Привести квадратичную форму к каноническому виду.

В) Электронные ресурсы.

1.Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. Том 2 [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Черненко В.Д.— Электрон. текстовые данные.— СПб.: Политехника, 2011.— 568 c.— Режим доступа: https://www.iprbookshop.ru/15891.— ЭБС «IPRbooks», по паролю

2.Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. Том 1 [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Черненко В.Д.— Электрон. текстовые данные.— СПб.: Политехника, 2011.— 709 c.— Режим доступа: https://www.iprbookshop.ru/15890.— ЭБС «IPRbooks», по паролю

Задачи для контрольной работы

Для задач №1 и №2 предварительно необходимо вычислить значения N и M для Вашего варианта. Если Ваш номер по списку равен 12, то . Если же полученные значения больше 10, то берется последняя цифра полученного значения. Например, для номера 29 имеем

Задача 1.

, , .

Вычислить: .

Задача 2

Вычислить:

Найти решение системы линейных уравнений различными способами: а) методом обратной матрицы; б) с помощью формул Крамера; в) методом Гаусса.

№ варианта		№ варианта
1.	– х₁ + 2х₂ + х₃ = 5 2х₁ – 3х₂ + 3х₃ = 1 х₂ – 5х₃ = – 9	2.	3х₁ − 9х₂ + 8х₃ = 5 2х₁ − 5х₂ + 5х₃ = 4 2х₁− х₂ + х₃ = −4
3.	– 2х₂ – 5х₃ = – 12 – 2х₁ – х₂ + 3х₃ = 7 – х₁ + х₂ + х₃ = 4	4.	х₁ + 3х₂ − 2х₃ = − 5 х₁ + 9х₂ − 4х₃ = −1 −2х₁+ 6х₂ − 3х₃ = 6
5.	– 3х₁ + х₂ + 3х₃ = 10 – 2х₂ – х₃ = – 4 2 х₁– х₂ + 3х₃ = 3	6.	2х₁ + 3х₂ + х₃ = 4 4х₁ − х₂ + 5х₃ = 6 х₁− 2х₂ + 4х₃ = 9
7.	– х₁ + 2х₃ = 5 2х₁ + 2х₂ + 5х₃ = 10 3х₁– 2х₂ + 2х₃ = – 1	8.	−2х₁ + х₂ − 3х₃ = −4 4х₁ + 7х₂ − 2х₃ = − 6 х₁− 8х₂ + 5х₃ = 1
9.	2х₁ – х₂ – 6х₃ = –15 3х₁ – х₂ + х₃ = – 2 – х₁ + 3х₃ = 7	10.	х₁ + 7х₂ − 2х₃ = 3 3х₁ + 5х₂ + х₃ = 5 −2х₁+ 5х₂ − 5х₃ = −4
11.	– х₁ + х₂ – х₃ = 0 3х₁ – 4х₂ + 3х₃ = –1 –2х₂ – 3х₃ = – 8	12.	3х₁ + 4х₂ + 2х₃ = 8 2х₁ − 4х₂ − 3х₃ = − 1 х₁+ 5х₂ + х₃ = 0
13.	2х₁ – х₂ + х₃ = –1 – х₁ + 3х₃ = 7 х₁ + х₂ + 3х₃ = 6	14.	5х₁ + 8х₂ − х₃ = 7 2х₁ − 3х₂ + 2₃ = 9 х₁+ 2х₂ + 3х₃ = 1
15.	3х₁ – 2х₂ = – 5 х₁ – 2х₂ + х₃ = – 1 х₁+ 3х₂ – х₃ = 0	16.	3х₁ + х₂ + х₃ = 21 х₁ − 4х₂ − 2х₃ = − 16 −3х₁+ 5х₂ + 6х₃ = 41
17.	х₁ – 3х₂ + х₃ = –2 х₁ – 2х₂ – 4х₃ = –11 –2х₁ – х₂ = 1	18.	2х₁ − х₂ + 5х₃ = 4 5х₁ + 2х₂ + 13х₃ = 2 3х₁− х₂ + 5х₃ = 0
19.	– х₁ + 3х₂ = 4 3х₁ − 2х₂ + х₃ = − 3 2х₁+ х₂ − х₃ = – 3	20.	х₁ + х₂ − х₃ = − 2 4х₁ − 3х₂ + х₃ = 1 2х₁+ х₂ − х₃ = 1
21.	4х₁ + 7х₂ − 3х₃ = − 10 2х₁ + 9х₂ − х₃ = 8 −х₁+ 6х₂ − 3х₃ = 3	22.	7х₁ − 5х₂ = 34 4х₁ + 11х₂ = − 36 2х₁+ 3х₂ + 4х₃ = − 20
23.	х₁ − 5х₂ + 3х₃ = − 1 2х₁ + 4х₂ + х₃ = 6 −3х₁+ 3х₂ − 7х₃ = − 13	24.	х₁ + 2х₂ + х₃ = 4 3х₁ − 5х₂ + 3х₃ = 1 2х₁+ 7х₂ − х₃ = 8

25.	2х₁ + 4х₂ − 3х₃ = − 10 −х₁ + 5х₂ − 2х₃ = 5 3х₁− 2х₂ + 4х₃ = 3	26.	х₁ + х₂ − х₃ = 1 8х₁ + 3х₂ − 6х₃ = 2 −4х₁− х₂ + 3х₃ = − 3
27.	− 2х₁ + 5х₂ − 6х₃ = − 8 х₁ + 7х₂ − 5х₃ = − 9 4х₁+ 2х₂ − х₃ = − 12	28.	х₁ − 2х₂ + 3х₃ = 6 2х₁ + 3х₂ − 4х₃ = 20 3х₁− 2х₂ − 5х₃ = 6
29.	− 3х₁ + 5х₂ − 6х₃ = − 5 2х₁ − 3х₂ + 5х₃ = 8 х₁+ 4х₂ − х₃ = 1	30.	4х₁ − 3х₂ + 2х₃ = 8 2х₁ + 5х₂ − 3х₃ = 11 5х₁+ 6х₂ − 2х₃ = 13

Найти общее решение однородной системы линейных уравнений.

№ варианта		№ варианта
1.	3х₁ – 5х₂ – х₃ – 2х₄ = 0 8х₁ – 6х₂ + 3х₃ – 7х₄ = 0 2х₁ + 4х₂ + 5х₃ – 3х₄ = 0	2.	3х₁ + 2х₂ – х₃ – 9х₄ = 0 5х₁ – 3х₂ + 4х₃ – 3х₄ = 0 х₁ + 7х₂ – 6х₃ – 15х₄ = 0
3.	3х₁ + х₂ – 3х₃ – 10х₄ = 0 4х₁ + 5х₂ – 7х₃ – 20х₄ = 0 2х₁ – 3х₂ + х₃ = 0	4.	х₁ + 3х₂ – х₃ – 6х₄ = 0 7х₁ + 3х₂ + 2х₃ – 15х₄ = 0 5х₁ – 3х₂ + 4х₃ – 3х₄ = 0
5.	х₁ + х₂ – 3х₃ – 6х₄ = 0 7х₁ – 3х₂ – 7х₃ – 18х₄ = 0 4х₁ – х₂ – 5х₃ – 12х₄ = 0	6.	х₁ + 3х₂ + 4х₃ – х₄ = 0 5х₁ – 7х₂ – 2х₃ – 5х₄ = 0 3х₁ – 2х₂ + х₃ – 3х₄ = 0
7.	х₁ + 4х₂ – 3х₃ – 9х₄ = 0 3х₂ – 7х₃ – 10х₄ = 0 2х₁ + 5х₂ + х₃ – 8х₄ = 0	8.	2х₁ – 2х₂ + 3х₃ + х₄ = 0 5х₁ – 2х₂ + 4х₃ – 4х₄ = 0 х₁ + 2х₂ – 2х₃ – 6х₄ = 0
9.	х₁ + 3х₃ + х₄ = 0 3х₁ – 2х₂ + 8х₃ + 4х₄ = 0 – х₁ + 2х₂ – 2х₃ – 2х₄ = 0	10.	2х₁ – 2х₂ + х₃ – х₄ = 0 2х₁ – 3х₂ + 5х₃ + 4х₄ = 0 – 2х₁ + х₂ + 3х₃ + 6х₄ = 0
11.	3х₁ – 8х₂ – 7х₃ – х₄ = 0 –х₁ + 7х₂ – 5х₃ – х₄ = 0 х₁ + 6х₂ – 3х₃ + 5х₄ = 0	12.	3х₁ – х₂ + 4х₃ + 2х₄ = 0 –х₁ – 2х₂ – 7х₃ – х₄ = 0 5х₁ – 4х₂ – х₃ + 3х₄ = 0
13.	х₁ + 8х₂ – 6х₃ – 2х₄ = 0 –2х₁ – 3х₂ + х₃ – х₄ = 0 –3х₁ – 2х₂ – 4х₃ – 4х₄ = 0	14.	3х₁ + х₂ + х₃ – 3х₄ = 0 х₁ + 3х₂ – 2х₃ + 2х₄ = 0 5х₁ + 7х₂ – 3х₃ + х₄ = 0
15.	–3х₁ – 9х₂ + 25х₃ + х₄ = 0 2х₁ + 4х₂ + 2х₃ – 3х₄ = 0 х₁ – х₂ + 9х₃ – 5х₄ = 0	16.	3х₁ – х₂ + 2х₃ + х₄ = 0 –4х₁ + 5х₂ – 3х₃ – х₄ = 0 2х₁ + 3х₂ + х₃ + 3х₄ = 0
17.	–х₁ – 3х₂ + х₃ – 8х₄ = 0 2х₁ – 4х₂ + 5х₃ – 12х₄ = 0 4х₁ + 2х₂ + 3х₃ + 2х₄ = 0	18.	2х₁ + х₂ – 4х₃ + 2х₄ = 0 4х₁ – 9х₂ + 2х₃ + 4х₄ = 0 –х₁ + 5х₂ – 3х₃ – х₄ = 0
19.	2х₁ – 4х₂ – х₃ + х₄ = 0 х₁ – 7х₂ – 6х₃ – 3х₄ = 0 –3х₁ + х₂ – 4х₃ – 5х₄ = 0	20.	х₁ + 4х₂ – 7х₃ – 3х₄ = 0 –х₁ – 2х₂ + 3х₃ – х₄ = 0 –х₁ – 3х₂ + 5х₃ + х₄ = 0
21.	2х₁ – х₂ – 3х₃ = 0 х₁ + 2х₂ – 5х₃ = 0 3х₁ + х₂ – 2х₃ = 0	22.	3х₁ + 2х₂ – х₃ = 0 2х₁ – х₂ + 3х₃ = 0 х₁ + 3х₂ – 4х₃ = 0
23.	5х₁ + х₂ – 7х₃ – 5х₄ + 2х₅ = 0 2х₁ – 2х₂ – 3х₃ – 7х₄ + 2х₅=0 3х₁ + 9х₂ –3х₃ +27х₄ –3х₅=0	24.	3х₁ +9х₂ – х₃ – 3х₄ = 0 х₁ + 10х₂ – 3х₃ – 2х₄ – х₅= 0 2х₁ + 19х₂ –4х₃ – 5х₄ – х₅= 0
25.	6х₁ + 5х₂ – 2х₃ –х₄ + 3х₅ = 0 х₁ – 3х₂ +х₃ – х₄ –х₅=0 2х₁ + 3х₂ +2х₃ +х₄ + х₅=0	26.	3х₁ +5х₂ – 2х₃ + х₄ – х₅= 0 х₁ + х₂ + 2х₃ – х₄ + х₅= 0 2х₁ + 3х₂ – х₃ = 0
27.	2х₁ – 4х₂ –22х₃ –5х₄ +5х₅ = 0 5х₁ – х₂ +8х₃ – 2х₄ +2х₅=0 3х₁ – 3х₂ –12х₃ – 4х₄ + 4х₅=0	28.	3х₁ + 9х₂ +2х₃ –2х₄ + х₅ = 0 х₁ + 6х₂ – х₃ + х₄ +2х₅=0 х₁ + 16х₂ –6х₃ + 6х₄ + 7х₅=0
29.	6х₁ –9х₂ +21х₃ –3х₄ –12х₅=0 8х₁–12х₂ +28х₃ –4х₄ –16х₅=0 2х₁ –3х₂ +7х₃ – х₄ – 4х₅=0	30.	3х₁ + 3х₂ + 4х₃ +5х₄ – 4х₅ = 0 2х₁ + х₂ +3х₃ + х₄ – 5х₅= 0 х₁ + 3х₂ – х₃ + 6х₄ – х₅=0

5 По координатам вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄ найти:

1) длины ребер А₁А₂ и А₁А₃;

2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₃;

3) площадь грани А₁А₂А₃;

4) объем пирамиды;

5) уравнение прямой А₁А₂;

6) уравнение плоскости, проходящей через точку А₄ и перпендикулярно вектору ;

7) уравнение плоскости А₁А₂А₄;

8) угол между прямой А₁А₂ и плоскостью А₁А₂А₄.

№ варианта	Координаты вершин пирамиды
1.	А₁(–1; 2; 1), А₂(–2; 2; 5), А₃(–3; 3; 1), А₄(–1; 4; 3)
2.	А₁(–2; 1; –1), А₂ (–3; 1; 3), А₃(–4; 2; –1), А₄(– 2; 3; 1)
3.	А₁(l; 1; 2), А₂ (0; 1; 6), А₃(–l; 2; 2), А₄(l; 3; 4)
4.	А₁(–1; –2; 1), А₂ (–2; –2; 5), А₃(–3; –1; 1), А₄(–1; 0; 3)
5.	А₁(2; –1; 1), А₂ (l; –1; 5), А₃(0; 0; 1), А₄(2; 1; 3)
6.	А₁(–l; 1; –2), А₂ (–2; 1; 2), А₃(–3; 2; –2), А₄(–1; 3; 0)
7.	А₁(l; 2; 1), А₂ (0; 2; 5), Аз(–1; 3; 1), А₄(l; 4; 3)
8.	А₁(–2; –1; 1), А₂ (–3; –1; 5), А₃(–4; 0; 1), А₄(–2; 1; 3)
9.	А₁(l; –1; 2), А₂ (0; –1; 6), А₃(–1; 0; 2), А₄(l; 1; 4)
10.	А₁(1; –2; 1), А₂(0; –2;5), А₃(–l; –l; 1), А₄(l; 0; 3)
11.	А₁(0; 3; 2), А₂(–1; 3; 6); А₃(–2; 4; 2), А₄(0; 5; 4)
12.	А₁(–l; 2; 0), А₂(–2; 2; 4), А₃(–3; 3; 0), А₄(–1;4;2)
	А₁(2; 2; 3), А₂(l; 2; 7), А₃(0; 3; 3), А₄(2; 4; 5)
	А₁(0; –1; 2), А₂(–1; –1; 6), А₃(–2; 0; 2), А₄(0; 1; 4)
15.	А₁(3; 0; 2), А₂(2; 0; 6), А₃(1; 1; 2), А₄(3; 2; 4)
16.	А₁(0; 2; –1), А₂(–1; 2; 3), А₃(–2; 3; 7), А₄(0; 4; 1)
17.	А₁(2; 3; 2), А₂(l; 3; 6), А₃(0; 4; 2), А₄(2; 5; 4)
18.	А₁(–1; 0; 2), А₂(–2; 0; 6), А₃(–3; 1; 2), А₄(–1; 2; 4)
19.	А₁(2; 0; 3), А₂(1; 0; 7), А₃(0; 1; 3), А₄(2; 2; 5)
20.	А₁(2; –1; 2), А₂(1; –1; 6), А₃(0; 0; 2), А₄(2; 1; 4)
21.	А₁(4; 2; 5), А₂ (0; 7; 2), А₃(0; 2; 7), А₄(1; 5; 0)
22.	А₁(4; 4; 1 0), А₂ (4; 10; 2), А₃(2; 8; 4), А₄(9; 6; 4)
23.	А₁(4; 6; 5), А₂(6; 9; 4), А₃(2; 10; 10), А₄(7; 5; 9)
24.	А₁(3; 5; 4), А₂(8; 7; 4), А₃(5; 10; 4), А₄(4; 7; 8)
25.	А₁(10; 6; 6), А₂(–2; 8; 2), А₃(6; 8; 9), А₄(7; 10; 3)
26.	А₁(1; 8; 2), А₂(5; 2; 6), А₃(5; 7; 4), А₄(4; 10; 9)
27.	А₁(6; 6; 5), А2(4; 9; 5), А₃(4; 6; 11), А₄(6; 9; 3)
28.	А₁(7; 2; 2), А₂(5; 7; 7), А₃(5; 3; 1), А₄(2; 3; 7)
29.	А₁(8; 6; 4), А₂(10; 5; 5), А₃(5; 6; 8), А₄(8; 10; 7)
30.	А₁(7; 7; 3), А₂(6; 5; 8), А₃(3; 5; 8), А₄(8; 4; 1)

6. Даны векторы в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

№ варианта	Векторы
1.	,
2.	,
3.	,
4.	,
5.	,
6.	,
7.	,
8.	,
9.	,
10.	,
11.	,
12.	,
	,
	,
15.	,
16.	,
17.	,
18.	,
19.	,
20.	,
21.	,
22.	,
23.	,
24.	,
25.	,
26.	,
27.	,
28.	,
29.	,
30.	,

Задача 7. По данным точкам найти: 1) уравнение прямых АВ и АС с угловым коэффициентом и общее уравнение каждой прямой; 2) угол между прямыми АВ и АС

№ варианта	Координаты точек
1.	А(–3; –2), В(0; 10), С(6; 2)
2.	А(1; 1), В(4; 13), С(10; 5)
3.	А(0; 3), В(3; 15), С(9; 7)
4.	А(–2; 0), В(1; 12), С(7; 4)
5.	А(2; –1), В(5; 11), С(11; 3)
6.	А(3; –3), В(6; 9), С(12; 1)
7.	А(–1; 2), В(2; 14), С(8; 6)
8.	А(5; –4), В(8; 8), С(14; 0)
9.	А(–4; 5), В(–1; 17), С(5; 9)
10.	А(4; 4), В(7; 16), С(13; 8)
11.	А(3; 2), В(0; –10), С(–1; 2)
12.	А(0; 2), В(–2; 1), С(4; –2)
	А(–4; 2), В(–1; 0), С(–5; 1)
	А(3; –1), В(0; 0), С(–7; 1)
15.	А(–6; –1), В(0; 4), С(–3; 6)
16.	А(0; 6), В(6; 0), С(1; 2)
17.	А(8; –1), В(–4; 1), С(6; –2)
18.	А(–3; –2), В(0; 10), С(6; 2)
19.	А(–1; 2), В(0; 5), С(5; 0)
20.	А(5; 2), В(–1; 4), С(0; 2)
21.	А(2; 3), В(1; 5), С(–3; 2)
22.	А(0; –2), В(–2; 0), С(5; 5)
23.	А(4; 4), В(0; 1), С(–2; 0)
24.	А(–3; –3), В(5; 1), С(0; 2)
25.	А(4; 5), В(5; 4), С(0; 1)
26.	А(0; –2), В(–2; 3), С(4; –6)
27.	А(–5; –1), В(3; 1), С(0; 4)
28.	А(3; 3), В(10; 0), С(5; –2)
29.	А(1; 2), В(7; 0), С(3; –1)
30.	А(5; –4), В(3; 0), С(–4; 1)