ОГЛАВЛЕНИЕ
Типовой расчет №1……………………………………………………….…4
Типовой расчет №2……………………………………...………………..…8
Типовой расчет №3…………………………………………………..……...11
Приложения....................................................................................................15
Варианты для самостоятельной работы………….………………….……21
Список литературы……………………………...……………….…………37
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ №1.
Графическое представление выборки и числовые характеристики выборочного распределения
Задание:
Построить гистограмму, полигон относительных частот и эмпирическую функцию распределения группированной выборки. Вычислить выборочные средние и дисперсию группированной выборки.
Пример выполнения работы:
По результату исследования имеется протокол полученных значений:
7 21 17 6 23 21 29 1 14 10
18 26 33 30 15 11 36 0 19 8
15 29 18 16 13 6 6 13 21 17
21 17 31 18 15 24 18 15 27 27
30 27 27 23 14 17 21 20 31 13
23 21 14 13 19 25 11 10 17 27
Изучить представленные значения и занести их в таблицу №1
| Номер интервала | Границы интервала | Середина интервала 
| Частота 
| Накопленная частота | Относительная
Частота
| Накопленная относительная частота | |
| левая | правая | ||||||
| 0,03 | 0,03 | ||||||
| 0,15 | 0,18 | ||||||
| 0,25 | 0,43 | ||||||
| 0,30 | 0,73 | ||||||
| 0,17 | 0,90 | ||||||
| 0,10 | 1,00 |
Для составления таблицы №1 данные из протокола разбиваются на некоторое количество равных по значению интервалов [5]. В нашем примере на 6. Каждое число заносится в соответствующий ему интервал, если число попадает на границу двух интервалов, то его относят к более высокому интервалу. Далее подсчитываются частоты интервалов 
- число значений, попавших в заданный интервал. Накопленная частота - это суммарное число значений попавших в текущий и предыдущий интервалы, т.е 
. Относительная частота определяется по формуле:
Накопленная относительная частота интервала - это сумма относительной частоты текущего интервала и предыдущих, т.е 
[5].
Исходя из полученных данных таблицы №1 строим гистограмму и полигон относительных частот группированной выборки [5] (Рисунок №1)
а)
б)
Рисунок №1. Гистограмма (а) и полигон относительных частот (б).
График эмпирической функции распределения строится согласно полученным данным в последнем столбце таблицы №1. (Рисунок 2).
Рисунок №2.
Далее для расчета точечных оценок выборочного распределения заполняем таблицу №2.
| Номер интервала |
| Частота
| 
| 
| 
| 
|
| -3 | -6 | |||||
| -2 | -18 | |||||
| -1 | -15 | |||||
| ∑ | -17 |
Для упрощения расчетов, целесообразно перейти к условным вариантам 
[2]. Таким образом:
,
где h - ширина интервала, 
- значение среднего 
которое встречается с наибольшей частотой.
Для вычисления точечных оценок заполняем 5,6 и 7 столбцы таблицы №2 в соответствии с указанной в них формулой. Производим проверку вычислений в соответствии с зависимостью [3]:
.
.
Тождество верно, следовательно, вычисления произведены правильно.
Вычисляем несмещенную оценку выборочной средней 
и дисперсии 
группированной выборки для условных вариант по следующим формулам [2]:
,
.
Находим оценки исходных данных:
– оценка математического ожидания;
– оценка дисперсии (параметра 
;
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ №2
Гипотеза о нормальном распределении выборки, применяя критерий 
. Доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии.
Задание:
Проверить гипотезу о нормальном распределении выборки по критерию 
. Найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, полученных в предыдущей работе. Уровень значимости принять 0,1. Доверительная вероятность равна 0,9.
Пример выполнения работы:
Используя данные и расчеты первой работы составим таблицу №3
|
| Частота
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 2,11 | 0,04 | 1.86 | |||||
| 1,33 | 0,16 | 7.45 | 9.31 | 1,69 | 0,31 | ||
| 0,56 | 0,34 | 15.83 | 15.83 | -0,83 | 0,04 | ||
| 0,22 | 0,39 | 18.16 | 18.16 | -0,16 | 0,01 | ||
| 0,99 | 0,24 | 11.17 | 14.90 | 1,10 | 0,08 | ||
| 1,77 | 0,08 | 3.73 |
Для проверки гипотезы о нормальном распределении при заданной значимости необходимо[5]:
1. Вычислить 
(3-й столбец таблицы №3)
2. Из приложения 1, выбрать плотность нормального распределения 
3. Вычислить теоретические частоты:
.
4. При заполнении 6-го столбца проверяем условие
. Если условие не выполняется, то значения объединяем с соседними. Так как первое и последнее значение меньше 5, то первое складываем со вторым, а шестое с пятым.
5. Вычисляем наблюдаемое значение критерия 
путем суммирования значений последнего столбика таблицы № 3.
.
6. Находим число степеней свободы критерия [6] k=s-r-1. В нашем случае s=6 (число интервалов), r=2 (оценивается 2 параметра). Получаем что k=3.
7. Используя приложение 2, находим критическую точку распределения , при условии, что уровень значимости равен 0,1.
.
8. По полученным результатам делаем вывод: 
, следовательно гипотеза о нормальном распределении не противоречит выборке наблюдений на данном уровне значимости.
Ищем доверительный интервал для математического ожидания и дисперсии по результатам наблюдений.
Для расчета интервальной оценки математического ожидания служит интервал [2]:
. (1)
где и 
– оценки математического ожидания и дисперсии соответственно, полученные в работе №1. Величину t выбираем, пользуясь распределением Стьюдента, из приложения 6 по данному уровню значимости 0,1 и числу степеней свободы k=3. Находим t=2,35.
Подставляя полученные значения в (1), получим:
.
Интервальная оценка дисперсии при известном математическом ожидании [4]:
(2)
где 
и 
- находят из приложения 2, при k=n и соответственно 
и 
. В нашем случае получается: 
, 
.
Подставляем полученные значение в неравенства (2), получаем:
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ №3
Выборочные характеристики двумерного случайного вектора и линейный регрессионный анализ.
Задание:
Вычислить оценки среднего, дисперсии и коэффициенты корреляции между составляющими двумерного случайного вектора, с доверительным интервалом 0,9. Найти уравнение прямой регрессии Y на X и X на Y, оценку регрессии ошибок наблюдений, коэффициент детерминации регрессии Y на X.
Пример выполнения работы:
Задан двумерный вектор случайных чисел:
| 0-5 | 5-10 | 10-15 | 15-20 | 20-25 | 25-30 | ∑ | |
| 40-50 | |||||||
| 50-60 | |||||||
| 60-70 | |||||||
| 70-80 | |||||||
| 80-90 | |||||||
| 90-100 | |||||||
| ∑ |
Для упрощения вычислений целесообразно перейти к условным вариантам [2]:
; 
где 
и 
- ширина интервала, и 
- значение среднего или 
соответственно, которое встречается с наибольшей частотой. Все результаты заносим в таблицу №4
| Интерв. по X | 0-5 | 5-10 | 10-15 | 15-20 | 20-25 | 25-30 | ||||
| Интервалы по Y | 
| 
| 
| 
| 
| |||||
| -3 | -2 | -1 | ||||||||
| 40-50 | -3 | -12 | ||||||||
| 50-60 | -2 | -16 | ||||||||
| 60-70 | -1 | -19 | ||||||||
| 70-80 | ||||||||||
| 80-90 | ||||||||||
| 90-100 | ||||||||||
|
| ∑=60 | ∑=-34 | ∑=108 | |||||||
| -9 | -14 | -18 | ∑=-29 | ||||||
| ∑=89 |
Находим следующие суммы: 
= 
, 
, 
, 
и 
и заносим их в таблицу. Далее вычислим сумму 
, для этого находим:
для первой строчки j=1,
т.е 
для второй строчки j=2,
т.е 
,
и т.д. для остальных строчек получаем:
, 
, 
, 
.
В результате полученные значения для всех 6-ти строк суммируем и получаем итоговую сумму:
Для проверки вычислений проводим аналогичный расчет, но с заменой местами строк и столбцов, а именно находим сумму 
. Если расчеты произведены верно, то результаты сумм будут совпадать:
Далее находим точечные оценки среднего значения, дисперсии и коэффициента корреляции соответственно [2]:
Используя преобразования Фишера, найдем нормализирующее преобразование случайной величины Z [1]:
. (3)
Из приложения 4 находим квантиль нормального распределения при условии, что задан доверительный интервал 0,9 
.
Вычисляем доверительный интервал для Z [1]:
С помощью функции (3) (Приложение 5) подбираем значения для доверительного интервала коэффициента корреляции:
Для 
, коэффициент корреляции 
0,8;
Для 
, коэффициент корреляции 0,9;
поэтому 
.
Далее необходимо составить уравнение прямой регрессии Y на X и X на Y:
где коэффициенты линейной регрессии находят как:
Выполняем контроль правильности вычислений:
; 
Записываем уравнения линейных регрессий:
Строим соответствующие графики:
Графики должны пересекаться в точке с координатами (
). При приближенном вычислении могут быть несовпадения.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
Таблица значений функции [5]
Приложение 2
Критические точки распределения [4]:
Приложение 3
Таблица значений функции 
[2]
| 
|
Приложение 4.
Квантиль нормального распределения Up [2]
Приложение 5
. Зависимость нормального числа Z от коэффициента корреляции.
Приложение 6
ВАРИАНТЫ
для самостоятельной работы
к типовым расчетам №1 и №2:
Вариант №1
10 19 25 14 15 11 2 17 20 16 23 25
20 1 24 18 27 0 12 18 16 31 6 20
17 28 21 20 15 23 14 12 25 7 16 15
26 24 9 22 15 17 20 11 18 17 24 24
23 30 8 16 21 18 21 24 21 16 17 29
Вариант №2
20 1 24 18 27 0 12 18 16 31 6 20
17 28 21 20 15 23 14 12 25 7 16 15
26 24 9 22 15 17 20 11 18 17 24 24
23 30 8 16 21 18 21 24 21 16 17 29
4 28 25 33 30 27 13 21 25 21 30 30
Вариант №3
10 19 25 14 15 11 2 17 20 16 23 25
20 1 24 18 27 0 12 18 16 31 6 20
17 28 21 20 15 23 14 12 25 7 16 15
7 21 10 20 19 30 32 7 12 19 19 25
3 22 14 1 1 21 16 13 21 23 10 5
Вариант №4
20 1 24 18 27 0 12 18 16 31 6 20
17 28 21 20 15 23 14 12 25 7 16 15
7 21 10 20 19 30 32 7 12 19 19 25
3 22 14 1 1 21 16 13 21 23 10 5
4 28 25 33 30 27 13 21 25 21 30 30
Вариант №5
17 28 21 20 15 23 14 12 25 7 16 15
7 21 10 20 19 30 32 7 12 19 19 25
3 22 14 1 1 21 16 13 21 23 10 5
4 28 25 33 30 27 13 21 25 21 30 30
22 26 15 32 1 22 17 24 28 17 29 4
Вариант №6
7 21 10 20 19 30 32 7 12 19 19 25
3 22 14 1 1 21 16 13 21 23 10 5
4 28 25 33 30 27 13 21 25 21 30 30
22 26 15 32 1 22 17 24 28 17 29 4
11 3 24 26 21 6 19 23 34 22 14 21
Вариант №7
3 22 14 1 1 21 16 13 21 23 10 5
4 28 25 33 30 27 13 21 25 21 30 30
22 26 15 32 1 22 17 24 28 17 29 4
11 3 24 26 21 6 19 23 34 22 14 21
16 24 19 26 19 17 12 26 33 22 2 19
Вариант №8
4 28 25 33 30 27 13 21 25 21 30 30
22 26 15 32 1 22 17 24 28 17 29 4
11 3 24 26 21 6 19 23 34 22 14 21
16 24 19 26 19 17 12 26 33 22 2 19
13 14 26 13 13 25 12 35 17 12 17 6
Вариант №9
22 26 15 32 1 22 17 24 28 17 29 4
11 3 24 26 21 6 19 23 34 22 14 21
16 24 19 26 19 17 12 26 33 22 2 19
13 14 26 13 13 25 12 35 17 12 17 6
11 8 28 28 17 17 11 18 18 21 31 18
Вариант №10
11 3 24 26 21 6 19 23 34 22 14 21
16 24 19 26 19 17 12 26 33 22 2 19
13 14 26 13 13 25 12 35 17 12 17 6
11 8 28 28 17 17 11 18 18 21 31 18
18 25 16 24 1 19 8 12 17 9 25 10
Вариант №11
16 24 19 26 19 17 12 26 33 22 2 19
13 14 26 13 13 25 12 35 17 12 17 6
11 8 28 28 17 17 11 18 18 21 31 18
18 25 16 24 1 19 8 12 17 9 25 10
10 19 25 14 15 11 2 17 20 16 23 25
Вариант №12
13 14 26 13 13 25 12 35 17 12 17 6
11 8 28 28 17 17 11 18 18 21 31 18
18 25 16 24 1 19 8 12 17 9 25 10
10 19 25 14 15 11 2 17 20 16 23 25
20 1 24 18 27 0 12 18 16 31 6 20
Вариант №13
11 8 28 28 17 17 11 18 18 21 31 18
18 25 16 24 1 19 8 12 17 9 25 10
10 19 25 14 15 11 2 17 20 16 23 25
20 1 24 18 27 0 12 18 16 31 6 20
17 28 21 20 15 23 14 12 25 7 16 15
Вариант №14
18 25 16 24 1 19 8 12 17 9 25 10
10 19 25 14 15 11 2 17 20 16 23 25
20 1 24 18 27 0 12 18 16 31 6 20
17 28 21 20 15 23 14 12 25 7 16 15
7 21 10 20 19 30 32 7 12 19 19 25
Вариант №15
22 1 9 15 25 12 13 34 15 19 25 7
31 13 20 31 18 18 8 33 17 16 12 19
16 17 9 34 11 5 23 13 18 25 25 36
21 29 19 21 18 30 15 30 22 25 14 27
8 8 19 13 6 26 21 7 24 14 26 14
Вариант №16
31 13 20 31 18 18 8 33 17 16 12 19
16 17 9 34 11 5 23 13 18 25 25 36
21 29 19 21 18 30 15 30 22 25 14 27
8 8 19 13 6 26 21 7 24 14 26 14
16 22 21 18 19 12 11 1 16 18 2 18
Вариант №17
16 17 9 34 11 5 23 13 18 25 25 36
21 29 19 21 18 30 15 30 22 25 14 27
8 8 19 13 6 26 21 7 24 14 26 14
16 22 21 18 19 12 11 1 16 18 2 18
16 21 34 19 24 18 13 7 27 23 9 16
Вариант №18
21 29 19 21 18 30 15 30 22 25 14 27
8 8 19 13 6 26 21 7 24 14 26 14
16 22 21 18 19 12 11 1 16 18 2 18
16 21 34 19 24 18 13 7 27 23 9 16
26 23 24 14 25 9 22 14 17 22 11 21
Вариант №19
8 8 19 13 6 26 21 7 24 14 26 14
16 22 21 18 19 12 11 1 16 18 2 18
16 21 34 19 24 18 13 7 27 23 9 16
26 23 24 14 25 9 22 14 17 22 11 21
23 13 25 31 21 18 11 14 27 20 10 7
Вариант №20
16 22 21 18 19 12 11 1 16 18 2 18
16 21 34 19 24 18 13 7 27 23 9 16
26 23 24 14 25 9 22 14 17 22 11 21
23 13 25 31 21 18 11 14 27 20 10 7
16 20 9 34 16 16 29 36 28 13 3 13
Вариант №21
16 21 34 19 24 18 13 7 27 23 9 16
26 23 24 14 25 9 22 14 17 22 11 21
23 13 25 31 21 18 11 14 27 20 10 7
16 20 9 34 16 16 29 36 28 13 3 13
11 25 18 7 25 34 15 20 20 23 26 29
Вариант №22
26 23 24 14 25 9 22 14 17 22 11 21
23 13 25 31 21 18 11 14 27 20 10 7
16 20 9 34 16 16 29 36 28 13 3 13
11 25 18 7 25 34 15 20 20 23 26 29
17 11 28 22 16 17 26 12 17 11 24 24
Вариант №23
23 13 25 31 21 18 11 14 27 20 10 7
16 20 9 34 16 16 29 36 28 13 3 13
11 25 18 7 25 34 15 20 20 23 26 29
17 11 28 22 16 17 26 12 17 11 24 24
22 1 9 15 25 12 13 34 15 19 25 7
Вариант №24
16 20 9 34 16 16 29 36 28 13 3 13
11 25 18 7 25 34 15 20 20 23 26 29
17 11 28 22 16 17 26 12 17 11 24 24
22 1 9 15 25 12 13 34 15 19 25 7
31 13 20 31 18 18 8 33 17 16 12 19
Вариант №25
11 25 18 7 25 34 15 20 20 23 26 29
17 11 28 22 16 17 26 12 17 11 24 24
22 1 9 15 25 12 13 34 15 19 25 7
31 13 20 31 18 18 8 33 17 16 12 19
16 17 9 34 11 5 23 13 18 25 25 36
Вариант №26
17 11 28 22 16 17 26 12 17 11 24 24
22 1 9 15 25 12 13 34 15 19 25 7
31 13 20 31 18 18 8 33 17 16 12 19
16 17 9 34 11 5 23 13 18 25 25 36
21 29 19 21 18 30 15 30 22 25 14 27
Вариант №27
22 1 9 15 25 12 13 34 15 19 25 7
31 13 20 31 18 18 8 33 17 16 12 19
21 29 19 21 18 30 15 30 22 25 14 27
8 8 19 13 6 26 21 7 24 14 26 14
16 21 34 19 24 18 13 7 27 23 9 16
Вариант №28
16 17 9 34 11 5 23 13 18 25 25 36
21 29 19 21 18 30 15 30 22 25 14 27
8 8 19 13 6 26 21 7 24 14 26 14
23 13 25 31 21 18 11 14 27 20 10 7
16 20 9 34 16 16 29 36 28 13 3 13
Вариант №29
8 8 19 13 6 26 21 7 24 14 26 14
16 22 21 18 19 12 11 1 16 18 2 18
16 21 34 19 24 18 13 7 27 23 9 16
11 25 18 7 25 34 15 20 20 23 26 29
17 11 28 22 16 17 26 12 17 11 24 24
Вариант №30
31 13 20 31 18 18 8 33 17 16 12 19
16 17 9 34 11 5 23 13 18 25 25 36
16 21 34 19 24 18 13 7 27 23 9 16
26 23 24 14 25 9 22 14 17 22 11 21
11 25 18 7 25 34 15 20 20 23 26 29
ВАРИАНТЫ
для самостоятельной работы
к типовому расчету №3
Вариант №1
| 20-30 | 30-40 | 40-50 | 50-60 | 60-70 | 70-80 | ||
| 5-10 | |||||||
| 10-15 | |||||||
| 15-20 | |||||||
| 20-25 | |||||||
| 25-30 | |||||||
| 30-35 | |||||||
Вариант №2
| 20-30 | 30-40 | 40-50 | 50-60 | 60-70 | 70-80 | ∑ | |
| 5-10 | |||||||
| 10-15 | |||||||
| 15-20 | |||||||
| 20-25 | |||||||
| 25-30 | |||||||
| 30-35 | |||||||
| ∑ |
Вариант №3
| 20-30 | 30-40 | 40-50 | 50-60 | 60-70 | 70-80 | ∑ | |
| 5-10 | |||||||
| 10-15 | |||||||
| 15-20 | |||||||
| 20-25 | |||||||
| 25-30 | |||||||
| 30-35 | |||||||
| ∑ |
Вариант №4
| 0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 | 50-60 | ∑ | |
| 15-20 | |||||||
| 20-25 | |||||||
| 25-30 | |||||||
| 30-35 | |||||||
| 35-40 | |||||||
| 40-45 | |||||||
| ∑ |
Вариант №5
| 0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 | 50-60 | ∑ | |
| 15-20 | |||||||
| 20-25 | |||||||
| 25-30 | |||||||
| 30-35 | |||||||
| 35-40 | |||||||
| 40-45 | |||||||
| ∑ |
Вариант №6
| 0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 | 50-60 | ∑ | |
| 15-20 | |||||||
| 20-25 | |||||||
| 25-30 | |||||||
| 30-35 | |||||||
| 35-40 | |||||||
| 40-45 | |||||||
| ∑ |
Вариант №7
| 40-50 | 50-60 | 60-70 | 70-80 | 80-90 | 90-100 | ∑ | |
| 10-15 | |||||||
| 15-20 | |||||||
| 20-25 | |||||||
| 25-30 | |||||||
| 30-35 | |||||||
| 35-40 | |||||||
| ∑ |
Вариант №8
| 40-50 | 50-60 | 60-70 | 70-80 | 80-90 | 90-100 | ∑ | |
| 10-15 | |||||||
| 15-20 | |||||||
| 20-25 | |||||||
| 25-30 | |||||||
| 30-35 | |||||||
| 35-40 | |||||||
| ∑ |
Вариант №9
| 40-50 | 50-60 | 60-70 | 70-80 | 80-90 | 90-100 | ∑ | |
| 10-15 | |||||||
| 15-20 | |||||||
| 20-25 | |||||||
| 25-30 | |||||||
| 30-35 | |||||||
| 35-40 | |||||||
| ∑ |
Вариант №10
| 15-20 | 20-25 | 25-30 | 30-35 | 35-40 | 40-45 | ∑ | |
| 30-40 | |||||||
| 40-50 | |||||||
| 50-60 | |||||||
| 60-70 | |||||||
| 70-80 | |||||||
| 80-90 | |||||||
| ∑ |
Вариант №11
| 15-20 | 20-25 | 25-30 | 30-35 | 35-40 | 40-45 | ∑ | |
| 30-40 | |||||||
| 40-50 | |||||||
| 50-60 | |||||||
| 60-70 | |||||||
| 70-80 | |||||||
| 80-90 | |||||||
| ∑ |
Вариант №12
| 15-20 | 20-25 | 25-30 | 30-35 | 35-40 | 40-45 | ∑ | |
| 30-40 | |||||||
| 40-50 | |||||||
| 50-60 | |||||||
| 60-70 | |||||||
| 70-80 | |||||||
| 80-90 | |||||||
| ∑ |
Вариант №13
| 25-30 | 30-35 | 35-40 | 40-45 | 45-50 | 50-55 | ∑ | |
| 10-20 | |||||||
| 20-30 | |||||||
| 30-40 | |||||||
| 40-50 | |||||||
| 50-60 | |||||||
| 60-70 | |||||||
| ∑ |
Вариант №14
| 25-30 | 30-35 | 35-40 | 40-45 | 45-50 | 50-55 | ∑ | |
| 10-20 | |||||||
| 20-30 | |||||||
| 30-40 | |||||||
| 40-50 | |||||||
| 50-60 | |||||||
| 60-70 | |||||||
| ∑ |
Вариант №15
| 25-30 | 30-35 | 35-40 | 40-45 | 45-50 | 50-55 | ∑ | |
| 10-20 | |||||||
| 20-30 | |||||||
| 30-40 | |||||||
| 40-50 | |||||||
| 50-60 | |||||||
| 60-70 | |||||||
| ∑ |
Вариант №16
| 10-15 | 15-20 | 20-25 | 25-30 | 30-35 | 35-40 | ∑ | |
| 20-30 |