Получим явное выражение для 
. Поскольку
,
имеем:
Примечание.
Этот подход можно несколько усовершенствовать. Заметим, что график функции 
получен сдвигом графика функции 
на 10 единиц влево вдоль оси абсцисс. Поэтому искомая площадь фигуры равна площади фигуры, ограниченной графиком функции и отрезком 
оси абсцисс. Имеем:
Ответ: 6.
Задание 8 № 27124
Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?
Решение
Объемы данных конусов соотносятся как площади их оснований, и, следовательно, как квадраты их диаметров. Диаметр вписанного конуса равен стороне квадрата, диаметр описанного — диагонали квадрата, длина которой равна 
длины стороны. Поэтому объем описанного конуса в 2 раза больше объема вписанного.
Ответ: 2.
Задание 9 № 26807
Найдите 
, если 
Решение
Из условия 
находим, что 
, и подставляем в дробь:
Ответ: 2.
Задание 10 № 27975
В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет R 1 = 90 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление R 2 этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями R 1 Ом и R 2 Ом их общее сопротивление даётся формулой 
(Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 9 Ом. Ответ выразите в омах.
Решение
Задача сводится к решению неравенства 
Ом при известном значении сопротивления приборов R 1 = 90 Ом:
Ом
Ответ: 10.
Задание 11 № 99595
Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам?
Решение
Пусть v км/ч – скорость второго пешехода, тогда скорость первого – v + 1,5 км/ч. Пусть через t часов расстояние между пешеходами станет равным 0,3 километра. Таким образом,
, t = 0,2 часа или 12 минут.
Ответ: 12.
Задание 12 № 26710
Найдите точку минимума функции 
Решение
Найдем производную заданной функции:
.
Найдем нули производной:
.
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Искомая точка минимума
Ответ: –17.
Задание 13 (С1) № 501215
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 
.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | |
| Максимальный балл |
а) 
Из уравнения (1) находим:
Так как решение (а) не удовлетворяет условию (2), окончательно получаем 
б) Из решений, найденных в пункте а), промежутку принадлежит только одно число: 
.
Ответ: а) 
; б) .
Задание 14 (С2) № 513920
В треугольной пирамиде ABCD двугранные углы при ребрах AD и BC равны. AB = BD = DC = AC = 5.
а) Докажите, что AD = BC.
б) Найдите объем пирамиды, если двугранные углы при AD и BC равны 60°.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) | |
| Выполнен только один из пунктов а) или б) | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | |
| Максимальный балл |
*Критерии распространяются и на случай использования координатного метода.
а) Треугольник BAC – равнобедренный. Проведём AM ⊥ BC. M –середина BC, тогда DM ⊥ BC, так как треугольник BDC равнобедренный. ∠ AMD = φ – линейный угол двугранного угла при ребре BC. Аналогично ∠ BNC = φ – линейный угол двугранного угла при ребре AD. Δ ABC = Δ DBC по трём сторонам, тогда MA = MD и 
Аналогично Δ BAD = Δ CAD и NB = NC, а
.
Треугольники ANM и BMN равны по общему катету MN и острому углу α, тогда AN = BM. Но 
следовательно, AD = BC.
б) По условию φ = 60°, тогда треугольник AMD равносторонний. Пусть AD = AM = MD = BC = a, тогда 
. В треугольнике AMB имеем
откуда 
и AD = AM = MD = BC = 
.
.
.
.
Тогда
.
Ответ: 
.
Задание 15 (С3) № 514625
Решите неравенство 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Обоснованно получен верный ответ | |
| обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точки 0, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | |
| Максимальный балл |
Пусть 
, тогда неравенство примет вид:
При 
получим: 
, откуда 
При 
получим: 
, откуда 
.
При 
получим: 
, откуда 
Решение исходного неравенства: 
, ,
Ответ: 
; 
; 
.
Задание 16 (С4) № 519661
В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB = 3, BC = CD = 5, AD = 8, AC = 7.
а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите BD.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | |
| Максимальный балл |
Найдём косинусы углов ABC и ADC в треугольниках ABC и ADC соответственно:
,
поэтому 
ABC = 120°.
Далее,
, поэтому ADC = 60°.
Тем самым, сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, поэтому вокруг него можно описать окружность.
Для вписанного четырёхугольника справедлива теорема Птолемея: произведение диагоналей четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон. Тогда АС × BD = AB × DC + AD × BC, то есть 7 BD =
= 3 × 5 + 8 × 5, откуда 
.
Ответ: б) 
.
Приведем решение пункта б) без использования теоремы Птолемея.
Заметим, что 
, поскольку 
. Пусть 
.
В треугольнике BAD по теореме косинусов
.
В треугольнике BCD по теореме косинусов
Приравнивая выражения для BD2, получим
.
Тогда 
.
Ответ: б) .
Задание 17 (С5) № 514450
15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r – целое число;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
| Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 |
| Долг (в млн рублей) | 0,6 | 0,4 | 0,3 | 0,2 | 0,1 |
Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Обоснованно получен верный ответ | |
| Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели и получен результат: – неверный ответ из-за вычислительной ошибки; – верный ответ, но решение недостаточно обосновано | |
| Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл |
Пусть повышающий коэффициент 
.
В соответствии с этим обозначением и условием задачи заполним таблицу:
| Месяц | Долг на 1-е число, млн. руб | Выплата, млн. руб | Долг на 15-е число, млн. руб |
| Январь | |||
| Февраль | k | 
| 0,6 |
| Март | 0,6 k | 
| 0,4 |
| Апрель | 0,4 k | 
| 0,3 |
| Май | 0,3 k | 
| 0,2 |
| Июнь | 0,2 k | 
| 0,1 |
| Июль | 0,1 k | 0,1 k |
Найдём общую сумму выплат, сложив ежемесячные выплаты:
(k – 0,6) + (0,6 k – 0,4) + () + () + () + 0,1 k =
= k (1 + 0,6 + 0,4 + 0,3 + 0,2 + 0,1) – (0,6 + 0,4 + 0,3 + 0,2 + 0,1) = 2,6 k – 1,6
По условию:
Значит,
.
Откуда наибольшее целое значение
Тем самым, ежемесячно остаток долга возрастал на 7%.
Ответ: r = 7.
Задание 18 (С6) № 505453
Найдите все значения a, при которых уравнение
имеет ровно два решения.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Обоснованно получен правильный ответ. | |
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого только включением точек  и/или  .
| |
С помощью верного рассуждения получен один из промежутков множества значений а:  или  ; возможно, с включением граничных точек и/или исключением точки  .
| |
Верно найдена хотя бы одна из граничных точек множества а: или .
ИЛИ
Получено хотя бы одно из уравнений  или  .
| |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | |
| Максимальный балл |
Пусть 
, тогда, используя теорему, обратную теореме Виета, получим:
Значит, исходное уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда график функции 
имеет с горизонтальными прямыми 
и 
ровно две общие точки. Эти прямые совпадают, если 
При 
уравнение не имеет решений. Если а > 0, то при х > а, а если а < 0, то при х > – а, имеем:
.
При неограниченном увеличении х значения функции стремятся к нулю, причём, для а < 0 функция f является возрастающей, а при а > 0 – убывающей. Эскизы графиков изображены на рисунке.
Тем самым, при а > 0, должны быть выполнены неравенства 5 а – 3 > 0, 7 а + 3 > 0, откуда 
, при а < 0, должны быть выполнены неравенства 
, 
, откуда 
.
Ответ: 
.
Приведём авторское решение.
Пусть , тогда получим:
Значит, решение исходного уравнения – это решение уравнений 
или 
.
Исследуем сколько решений имеет уравнение 
в зависимости от а и b. При 
и 
, и 
, то есть при 
, левая часть определена и принимает вид 
.
При выражение 
принимает по одному все значенияиз промежутка 
для 
и принимает по одному разу все значения из промежутка (0; 1) для а < 0. Значит, при выражение 
принимает по одному разу все значения промежутка 
при и принимает по одному разу все значения из промежутка 
при а < 0. Таким образом, уравнение имеет одно решение при 
и не имеет решений при и 
. При и 
уравнение принимает вид 
и либо имеет бесконечно много решений, либо не имеет решений.
Уравнение
и могут иметь общие решения при 
, то есть при . При оба уравнения принимают вид 
и имеют одно решение.
При других значениях а исходное уравнение имеет два решения, если оба уравнения и 
=
имеют по одному решению. Получаем систему неравенств:
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения при а принадлежащем множеству .
Задание 19 (С7) № 501734
а) Чему равно число способов записать число 1292 в виде 
где числа 
– целые, 0 ≤ ≤ 99, i = = 0; 1; 2; 3?
б) Существуют ли 10 различных чисел N таких, что их можно представить в виде 
где числа – целые, 0 ≤ ≤ 99, i = = 0; 1; 2; 3равно 130 способами?
в) Сколько существует чисел N таких, что их можно представить в виде где числа – целые, 0 ≤ ≤ 99, i = = 0; 1; 2; 3равно 130 способами?
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | |
| Верно получен один из следующих результатов: – обоснованное решение п. а; – обоснованное решение п. б; – обоснованная оценка количества задуманных чисел в п. е; – оба набора задуманных чисел в п. в | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл |
Каждое число 0 ≤ ≤ 99 однозначно представляется в виде 
, где 0 ≤ 
≤ 9 и 0 ≤ 
≤ 9 (i = 0; 1; 2; 3). Значит, для каждого представления некоторого числа N в виде 
имеет место единственное представление N в виде 
, где 
и 
– произвольные целые числа от 0 до 9999. Число способов записать число N в виде равно числу способов записать число N в виде .
а) Для представления числа 1292 в виде 
в качестве п можно взять любое целое число от 0 до 129. При этом 
определено однозначно. Таким образом, искомое число способов равно 130.
б) Повторяя рассуждения предыдущего пункта, несложно показать, что каждое из чисел от 1290 до 1299 представимо в требуемом виде ровно 130 способами.
в) Рассмотрим представление некоторого числа N в виде , где п и т – некоторые целые числа от 0 до 9999. Представим т в виде 
, где l – цифра единиц числа т, а k – некоторое целое число от 0 до 999. Тогда выполнено:
.
Найдём все числа К, представимые ровно 130 способами в виде 
, где п –некоторое целое число от 0 до 9999, а k - некоторое целое число от 0 до 999.
Пусть для некоторого числа К представления 
и 
таковы, что п 1 – наименьшее возможное п, а п 2 – наибольшее возможное п. Тогда п 1 = 0 или 
, иначе бы было представление 
. Аналогично, п 2 = 9999 или 
.
Заметим, что для любого целого п 0 такого, что 
, имеется представление 
, поскольку 
, 
. Таким образом, количество представлений равно п 2 – – п 1 + 1. Если п 1 = 0; п 2 = 9999 или k 1 = 999, k 2 = 0, то представлений больше. Значит, или п 1 = 0; п 2 = 129; K = 129; 
, или п 2 = 9999; п 1 = 9870; k 1 = 999, К = 10869; 
, где l – произвольная цифра. Таким образом, искомое количество чисел равно 20.
Ответ: а) 130; б) да; в) 20.