| Исходная последовательность s1(t) | Произведение последовательности s1(t) на сдвинутую последовательность s2(t). | ||||||||||||||||||||||
| Значение АКФ | |||||||||||||||||||||||
| Позиции | -11 | -10 | -9 | -8 | -7 | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | +1 | +2 | +3 | +4 | +5 | +6 | +7 | +8 | +9 | +10 | +11 |
Проверяем правильность расчета ВКФ с помощью программы MatLab.Код будет иметь вид:
m=[-11:11];
s1=[0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0];
s2=[0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1];
[R,m]=xcorr(s1,s2);
plot(m,R), grid
Рис.6 Результат расчета ВКФ в программе MatLab.
Расчет спектра сигнала
Задание 2.1
Для своего варианта нарисовать в масштабе временную реализацию сигнала. Рассчитать и построить спектр сигнала, для этого определить коэффициенты an, bn, An, φn, Pn. Определить эффективную ширину спектра. Восстановить сигнал по сумме гармоник.
Решение задания 2.1
Студент – = Чернавин Денис Леонидович.
«Ч» - 0х 0427 – 0000 0100 0010 0111– NФ1=5.
«е» - 0х 0435 – 0000 0100 0011 0101 – NФ2=5.
NФ1+NФ2= 10 - выбираем четную последовательность прямоугольных импульсов.
«б» - 0х0431 –0000 0100 0011 0001– Nф3=4, U=4 B;
«С» - 0x041B – 0000 0100 0001 1011–No1=5, Q=5.
В фамилии 8 букв, следовательно, Т=8 мс. При Q=5, длительность импульса τи в три раза меньше периода Т.
Для рассматриваемого варианта временная реализация будет иметь вид:
Рис.7 Временная реализация в соответсвии с заданием.
Определим коэффициенты ряда Фурье.
Среднее значение или постоянная составляющая сигнала:
Рассчитываем коэффициенты an и bn:
Вычислим среднюю мощность за период последовательность прямоугольных импульсов по временной реализации:
Определим мощность постоянной составляющей:
Определим мощности n-ых гармоник:
Определим начальные фазы n-ых гармоник:
𝜑𝑛=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 
, рад
| n | |||||||||
| Частота n/T, Гц | |||||||||
| А0, В | 0.4 | ||||||||
| an, B | 0.6055 | 0.1871 | -0.1247 | -0.1514 | 0.1009 | 0.0535 | -0.0468 | -0.0673 | |
| bn, B | 0.4399 | 0.5758 | 0.3839 | 0.1100 | 0.0733 | 0.1645 | 0.1440 | 0.0489 | |
| An, B | 0.7484 | 0.6055 | 0.4036 | 0.1871 | 0.1247 | 0.1730 | 0.1514 | 0.0832 | |
| φn, рад | 0.6283 | 1.2566 | 1.8850 | 2.5133 | 3.1416 | 0.6283 | 1.2566 | 1.8850 | 2.5133 |
| P, B2 | 0.8 | ||||||||
| P0, B2 | 0.16 | ||||||||
| Pn, B2 | 0.2800 | 0.1833 | 0.0815 | 0.0175 | 0.0078 | 0.0150 | 0.0115 | 0.0035 |
Результаты расчетов сводим в таблицу:
Таблица 2.1
Теперь для проверки правильности найденных нами коэффицинтов и мощностей воспользуемся программой MatLab. Коды будут следующими:
% расчёт коэффициентов без нулевого индекса
U=2; % амплитуда
Q=5; % скважность
n1=[1 2 3 4 5 6 7 8]; % массив индексов от 1 до 8
an=((U/pi)./n1).*sin((2*pi/Q)*n1); % расчёт коэффициентов an
bn=((U/pi)./n1).*(1-cos((2*pi/Q)*n1)); % расчёт коэффициентов bn
An=sqrt(an.^2+bn.^2); % расчёт коэффициентов Аn
fin= atan2(bn, an); % расчёт начальных фаз φn
Pn=(An.^2)/2; % расчёт мощностей гармоник Рn
% добавляем коэффициенты с нулевым индексом
n=[0 n1]; % массив индексов с учётом нулевого (от 0 до 8)
A0= U/Q; % постоянная составляющая, гармоника с индексом 0
P0= A0^2; % мощность постоянной составляющей
an=[A0 an]; % массив коэффициентов an с учётом нулевого
An=[A0 An]; % массив коэффициентов Аn с учётом нулевого
bn=[0 bn]; % массив коэффициентов bn с учётом нулевого
fin=[0 fin]; % массив коэффициентов φn с учётом нулевого
Pn=[P0 Pn]; % массив коэффициентов Рn с учётом нулевого
stem(n, An)
Расчет коэффициентов an ряда Фурье:
% выводим графики (показан для коэффициентов an)
stem(n, an)
Рис.8 Коэффициенты an
Расчет коэффициентов bn ряда Фурье
% выводим графики (показан для коэффициентов bn)
stem(n, bn)
Рис.9 Коэффциенты bn
Расчет амплитуд гармоник:
% выводим графики (показан для коэффициентов An)
stem(n, An)
Рис.10 Коэффициенты An
Расчет начальных фаз гармоник:
% выводим графики (показан для коэффициентов φn)
stem(n, φn)
Рис.11 Начальные фазы гармоник φn
Далее рассчитываем мощности гармоник.
% выводим графики (показан для коэффициентов Pn)
stem(n, Pn)
Рис.12 Спектр мощности
Определим суммарную мощность N первых гармоник:
Для N=2: Ps=0.16+0.28+0.1833+0.0815+0.0175=0.7223, В2
Таким образом, если произвести расчет первых четырех гаромник, то получим,что в частотном интервале [0 до 4/Т] сосредоточено примерно 90% средней мощности сигнала. Поэтому можно принять эффективную ширину спектра последовательности прямоугольных импульсов 4/Т=500 Гц. В случае последовательности прямоугольных импульсов ширину спектра, считают с учетом первого нулевого коэффициента. В нашем случае он находится на частоте 675 Гц,таким образом ∆f=675 Гц.
Далее следует восстановить сигнал. Для этого подставим полученные коэффициенты ряда Фурье в сам ряд Фурье, при этом пример N примем равным 9. Воспользуемся программой Maple. Код будет иметь вид:
> 
> 
Рис.13 Восстановленный по сумме гармоник сигнала.
При N стремящемся к бесконечности сигнал будет соответствовать исходной послдовательности прямоугольных импульсов.