I. Использование метода Монте-Карло в экономике

Введение

Метод Монте-Карло можно определить как метод моделирования случайных величин с целью вычисления характеристик их распределений.

Возникновение идеи использования случайных явлений в области приближённых вычислений принято относить к 1878 году, когда появилась работа Холла об определении числа p с помощью случайных бросаний иглы на разграфлённую параллельными линиями бумагу. Существо дела заключается в том, чтобы экспериментально воспроизвести событие, вероятность которого выражается через число p, и приближённо оценить эту вероятность. Отечественные работы по методу Монте-Карло появились в 1955-1956 годах. С того времени накопилась обширная библиография по методу Монте-Карло. Даже беглый просмотр названий работ позволяет сделать вывод о применимости метода Монте-Карло для решения прикладных задач из большого числа областей науки и техники.

Первоначально метод Монте-Карло использовался главным образом для решения задач нейтронной физики, где традиционные численные методы оказались мало пригодными. Далее его влияние распространилось на широкий класс задач статистической физики, очень разных по своему содержанию.

Метод Монте-Карло оказал и продолжает оказывать существенное влияние на развитие методов вычислительной математики (например, развитие методов численного интегрирования) и при решении многих задач успешно сочетается с другими вычислительными методами и дополняет их. Его применение оправдано в первую очередь в тех задачах, которые допускают теоретико-вероятностное описание. Это объясняется как естественностью получения ответа с некоторой заданной вероятностью в задачах с вероятностным содержанием, так и существенным упрощением процедуры решения.

I. Использование метода Монте-Карло в экономике

Под методом Монте-Карло понимают определенный метод ре­шения некоторого класса экономических или математических за­дач, в которых те или иные параметры рассматриваются как слу­чайные величины. Этот метод основан на моделировании распреде­лений тех или иных случайных величин и формировании соответ­ствующих оценочных показателей на основе этих распределений. Он представляет собой имитационный метод анализа риска, кото­рый исторически получил свое название по названию города, в ко­тором располагаются известные игорные дома и казино. Теоретиче­ские основы метода Монте-Карло были сформулированы амери­канскими математиками С. Уламом и Дж. Фон Нейманом. Метод объединяет две стороны методов прямого и косвенного измерения риска. С одной стороны, этот метод представляет собой определен­ную модификацию рассмотренного выше дискретного подхода к анализу чувствительности, поскольку речь идет об оценке влияния изменения параметров денежного потока на чистую настоящую стоимость и другие критерии оценки инвестиционных проектов. С другой стороны, основное отличие от дискретного метода состоит в том, что в процессе применения метода Монте-Карло формируется некоторое распределение значений чистой настоящей стоимости проекта, ставки внутреннего процента, индекса доходности и дру­гих показателей, которое определяется в зависимости от имитируе­мых случайных распределений выбранных факторов риска. Это позволяет получать оценки риска проекта в форме дисперсии, стан­дартного отклонения или коэффициента вариации по чистой на­стоящей стоимости или иному результирующему показателю. Рас­сматриваемый метод анализа риска основан на имитационном мо­делировании случайных распределений выделенных параметров денежного потока на ЭВМ. Именно в этом состоит существенное отличие метода Монте-Карло от рассмотренных ниже методов де­рева решений и сценариев будущего развития.

При проведении расчетов по методу Монте-Карло предполага­ется, что известны значения всех параметров, определяющих вели­чину отдельных компонент денежного потока инвестиционного проекта, кроме тех, которые рассматриваются в качестве факторов риска, и случайное распределение которых моделируется на ЭВМ.

Организационно метод Монте-Карло, как метод имитационного компьютерного моделирования, можно описать следующей после­довательностью основных этапов.

1. Этап. Определение основных показателей оценки инвестици­онного проекта, по которым будет измеряться риск. К числу таких показателей относятся чистая настоящая стоимость проекта, ставка внутреннего процента, индекс доходности, период окупаемости или другие по желанию инвестора, предполагающего осуществить рас­сматриваемый проект.

2. Этап. Выделение параметров, которые будут рассматриваться как случайные величины, и для которых будет проведено компью­терное моделирование соответствующих распределений, а также выбор формы распределения. Можно выделить для анализа те ком­поненты денежного потока, которые по мнению инвестора, менед­жера или эксперта в соответствующей области, наиболее подвер­жены риску. В принципе можно рассмотреть как случайные все па­раметры всех компонент денежного потока, но это связано с двумя
проблемами. Во-первых, увеличение числа выделенных случайных параметров может привести к противоречивым результатам вслед­ствие коррелированное™ рассматриваемых параметров; во-вторых, это может потребовать больше времени для выполнения всего ком­плекса расчетов.

3. Этап. Формирование значений выбранных параметров или от­дельных компонент денежного потока на основе выбранного закона распределения. Как правило, в качестве такого распределения ис­пользуют нормальное распределение, но можно использовать и другие формы распределений. При этом для моделирования значе­ний соответствующей случайной переменной применяются специ­альные пакеты прикладных программ, либо можно воспользовать­ся встроенными возможностями пакета «Мюгозой Ехсе1». В по­следнем случае должно быть задано ожидаемое значение рассмат­риваемого параметра и стандартное отклонение.

Этап 4. Расчеты денежного потока на основе моделированных значений соответствующих параметров потока и определение зна­чения чистой настоящей стоимости проекта и других критериаль­ных показателей для каждого полученного в результаты имитации варианта полученного численного значения выделенного параметра.

Этап. 5. Последовательное многократное повторение действий, выполняемых по этапу 3 и 4. Речь идет о формировании распреде­ления значений чистой настоящей стоимости, предполагающего наличие нескольких сот или тысяч значений чистой настоящей стоимости.

Этап. 6. Определение ожидаемого значения чистой настоящей стоимости проекта, а также дисперсии и стандартного отклонения как мер риска и других показателей полученного распределения данного показателя. К их числу можно отнести наибольшее и наи­меньшее значение чистой настоящей стоимости, коэффициент ва­риации, как дополнительную меру риска, вероятность реализации отрицательного значения чистой настоящей стоимости, т.е. не вы­годного для инвестора проекта.

В последнем случае указанная вероятность определяется как отно­шение числа отрицательных значений чистой настоящей стоимости к общему количеству выполненных имитационных экспериментов:

Р(МРУ<0) = —, т (1.1)

где & - число отрицательных значений чистой настоящей стоимости в полученной в процессе имитации выборке; т - количество прове­денных имитационных экспериментов. Аналогичные расчеты могут быть выполнены и для ставки внутреннего процента, индекса до­ходности, периода окупаемости.

Этап 7. Анализ основных результатов. Результаты применения метода Монте-Карло для анализа и оценки рисковости проекта мо­гут быть представлены в двух формах.

Во-первых, речь может идти об указанных выше количествен­ных значениях показателей, характеризующих параметры получен­ного распределения чистой настоящей стоимости проекта или дру­гих показателей. Если в качестве критерия оценки инвестиции ис­пользуется чистая настоящая стоимость проекта, то к их числу можно отнести:

• ожидаемое значение чистой настоящей стоимости;

дисперсия, стандартное отклонение и коэффициент вариации как меры риска;

наибольшее и наименьшее значения чистой настоящей стои­мости по полученной выборке;

- вероятность получения отрицательного значения чистой на­стоящей стоимости проекта.

Аналогичные параметры могут быть определены и в том случае, если используются другие критерии оценки проекта. Второй формой результата компьютерной имитации могут быть различные графики. Речь идет о частотных гистограммах значений чистой настоящей стоимости, которые формируются в зависимости от частоты попадания имитируемых значений чистой настоящей стоимости в выделенные интервалы ее значений, а также о графи­ках плотности распределения вероятностей чистой настоящей стоимости или другого оценочного показателя.'

Общая последовательность расчетов по методу Монте-Карло представлена на рис. 6.5.

Соответствующие расчеты могут быть выполнены только на ЭВМ, при использовании встроенных возможностей пакета «Мюго-зоЛ. Ехсе!» или иных пакетов прикладных программ.