Различные способы вычисления определителей

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. Решение систем линейных уравнений.

Работа состоит из 3 заданий, включающих:

1. Матрицы и действия с ними.
2. Определители и их основные свойства.
3. Методы решения систем линейных уравнений.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: закрепить навыки

– выполнения сложения и вычитания матриц, умножения матриц на число, транспонирование матриц;

– выполнения умножения матриц, возведения матриц в степень;

– вычисления определителей второго и третьего порядка и применения свойств определителей;

– вычисления обратной матрицы;

– решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

Решение типового варианта практической работы «Решение систем линейных уравнений»

Задача 1. Вычислить определитель .

Решение. Для вычисления определителя третьего порядка будем использовать известную формулу Саррюса (правило треугольников), которое может быть записано следующей формулой:

Ответ: 0.

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

Решение:

Решим систему матричным способом, для этого вычислим обратную матрицу , где - алгебраические дополнения к элементам матрицы.

- матрица невырожденная.

 

 

Решим систему методом КрамераГлавный определитель системы:

. Разложим определитель по элементам первой строки, пользуясь формулой .

Запишем и вычислим вспомогательные определители

Тогда

Ответ:

Решим систему методом Гаусса, для этого составим расширенную матрицу системы и упростим ее приведением к треугольному виду.

~ ~ ~

Таким образом, система равносильна системе

Находим

Ответ: , ,

При решении всеми методами одной и той же системы, мы получим один ответ.

Задача 3. Выполнить действия:

Решение. Выполним решение по действиям.

=

.

.

Ответ: .

 

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Если , , то произведением матрицы называется матрица , такая, что , где .

Пример:

Произведение не определено, так как число столбцов матрицы А (3) не совпадает с числом строк матрицы В (2).

Произведение определено.

Основные сведения о матрицах

Определение. Прямоугольная таблица чисел вида

 

,

 

состоящая из строк и столбцов, называется матрицей размерности .

 

Числа , причем , составляющие матрицу, называются ее элементами. Первый индекс указывает номер строки данной матрицы, второй индекс указывает номер столбца данной матрицы. Количество элементов в матрице равно произведению .

Если , то матрица называется квадратной матрицей -го порядка.

Элементы матрицы , у которых номер столбца равен номеру строки , называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы .

или .

 

Действия над матрицами

Над матрицами, как и над числами, можно производить ряд операций, причем некоторые из них аналогичны операциям над числами.

 

1. Сложение матриц

Матрицы одного и того же размера можно складывать.

Определение. Суммой матриц и размерности называется матрица размерности , каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц и .

Обозначают: .

Например: .

В частном случае , т. е. нулевая матрица играет ту же роль, что и число 0 при сложении чисел.

 

2. Умножение матрицы на число

Определение. Произведением числа на матрицу называется матрица, элементы которой равны произведению числа на соответствующие элементы матрицы .

Например: .

 

3. Произведение матриц

Определение. Произведением матриц и , где матрица имеет размерность , а матрица имеет размерность , называется новая матрица размерности , элементы которой находятся по формуле

.

Сумма в данном выражении представляет собой скалярное произведение вектора-строки матрицы на вектор-столбец матрицы . Поэтому говорят, что умножение матриц производится по правилу «строка на столбец». Произведение матриц определено только тогда, когда число столбцов матрицы равно числу строк матрицы .

Запись равносильна записи .

 

Например:

а) ;

б)

;

 

в)

;

 

г) ;

 

д) .

 

 

4.Возведение в степень

Определение. Целой положительной степенью квадратной матрицы называется произведение матриц, равных , т. е.

.

По определению полагают .

Из определения имеем .

 

Например:

.

5. Транспонирование матриц

Определение. Если в матрице заменить её строки столбцами с теми же номерами, то получим матрицу

,

которая называется транспонированной матрицей по отношению к матрице . Можно сказать, что транспонирование есть симметрия матрицы относительно главной диагонали.

Например:

.

Определители 2-го и 3-го порядков, их основные свойства.
Определители п- го порядка.

Различные способы вычисления определителей

Дана матрица .

Определение. Число , равное разности произведения элементов главной диагонали и произведения элементов побочной диагонали данной матрицы, называют определителем или детерминантом (det) 2-го порядка, и обозначают:

.

Определитель также обозначают буквой d или символом Δ. Числа а ₁₁, а ₁₂ ,а ₂₁, а ₂₂ называют элементами определителя. В определителе 2-го порядка две строки и два столбца. Число а_ij — элемент определителя, стоящий на пересечении i -той строки и j -того столбца.

Числа составляют 1-ю строку, составляют 2-ю строку, составляют 1-й столбец, составляют 2-й столбец. Строки и столбцы определителя называют рядами определителя.

 

Например: Дана матрица

определитель .

Определение: Число , записываемое в виде:

где — произвольные числа, называется определителем 3-го порядка.

В определителе 3-го порядка три строки и три столбца. Число — элемент определителя, стоящий на пересечении i -той строки и j -того столбца. Элементы образуют главную диагональ, а элементы — побочную диагональ.

 

Например: Вычислить определители по правилу треугольников.

1.

.

2.

– 1 · 1 (–2)

 

3.

– 0 · (–2) 0 – 1· 2 · (–2)