Случайные величины, их виды; закон распределения. Числовые характеристики. Непрерывная случайная величина.
План:
1. Понятие случайных величин, их виды.
2. Закон распределения дискретной случайной величины.
3.Функция распределения вероятностей случайной величины.
4.Математическое ожидание.
5.Дисперсия и среднеквадратическое отклонение.
Понятие случайных величин, их виды.
Случайной величиной называется такая величина, которая случайно принимает какое-то значение из множества возможных значений.
Случайные величины обозначаются: X, Y, Z. Значения, которые они принимают: x,y,z.
По множеству возможных значений различают дискретные и непрерывные случайные величины.
Дискретными называются случайные величины, значениями которых являются только отдельные точки числовой оси. (Число их может быть как конечно, так и бесконечно).
Пример: Число родившихся девочек среди ста новорожденных за последний месяц- это дискретная случайная величина, которая может принимать значения 1,2,3,…
Непрерывными называются случайные величины, которые могут принимать все значения из некоторого числового промежутка.
Пример: Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле- это непрерывная случайная величина, значения которой принадлежат некоторому промежутку [а; в].
Закон распределения дискретной случайной величины.
Дискретную случайную величину Х можно характеризовать законом распределения.
Закон распределения дискретной случайной величины - это соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.
Закон распределения можно задать таблично, аналитически, графически.
При задании закона распределения таблично, в первую строку таблицы вносятся возможные значения случайно величины, а во вторую - их вероятности.
| Х | х1 | х2 | … | … | хп |
| Р | р1 | р2 | рп |
Пример: Монету подбросили 3 раза. Запишите закон распределения числа выпадения «герба».
Возможные значения данной случайной величины: 0, 1, 2, 3.
Тогда закон распределения данной дискретной случайной величины можно представить таблицей:
| х | ||||
| р | 0,125 | 0,375 | 0,375 | 0,125 |
Функция распределения вероятностей случайной величины.
Дадим новый способ задания любых типов случайных величин. С этой целью введем функцию распределения вероятностей случайной величины.
Функцией распределения случайной величины называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение меньшее х, т.е. F(x)<P(X<x).
Геометрически это равенство можно истолковать так: F(x) –есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.
Иногда вместо термина «функция распределения» используется термин «интегральная функция».
Свойства функции распределения:
Свойство 1: Значения функции распределения принадлежат интервалу [0; 1]:
Свойство 2: F(x)- неубывающая функция.
Следствие 1: Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (а; b), равна приращению функции распределения на этом интервале
Математическое ожидание.
Для того чтобы характеризовать случайную величину, используют числа, которые описывают случайную величину суммарно. Такие числа называются числовыми характеристиками случайной величины.
К числу важнейших числовых характеристик относятся математическое ожидание и дисперсия.
Происхождение термина «математическое ожидание » связано с начальным периодом возникновения теории вероятностей, когда область ее применения ограничивалась азартными играми. Игрока интересовало среднее значение ожидаемого выигрыша или математическое ожидание выигрыша.
Математическое ожидание приближенно равно среднему значению случайной величины. Например, если известно, что математическое ожидание числа выбиваемых очков у первого стрелка больше, чем у второго, то первый стрелок в среднем выбивает больше очков, чем второй, и следовательно стреляет лучше.
Математическое ожидание дискретной случайной величины Х- это величина М(х), где xi- значения случайной величины, pi- их вероятности, n- число возможных значений случайной величины.
М(х) = х1р1 + х2р2+ + хпрп
Свойства математического ожидания.
Свойство 1: Математическое ожидание постоянной величины равно этой величине.
М (с)=с.
Свойство 2: Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания. М(с Х)=с М(Х)
Свойство 3: Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий
М (Х*У) = М (Х)*М (У)
Свойство 4: Математическое ожидание алгебраической суммы двух случайных величин равно алгебраической сумме математических ожиданий слагаемых.
М (Х+У) = М (Х)+ М (У)
Пример: Найдите математическое ожидание случайной величины Z=3Х-2У, если Х и У заданы следующими законами распределения:
| х | ||
| р | 0,4 | 0,6 |
| у | |||
| р | 0,2 | 0,3 | 0,5 |
Решение: М(Х)=1*0,4+2*0,6=1,6. М(У)=0*0,2+1*0,3+3*0,5=1,8.
М(Z)=3M(X)-2M(Y)=3*1,6-2*1,8=1,2.