Лекция 7. Частные производные и полный дифференциал функций нескольких переменных




 

Содержание лекции: Частные производные функции нескольких переменных. Дифференцируемость и дифференциал функции.

Линеаризация функции. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Производные и дифференциалы высших порядков.

 

1. Частные производные ФНП *)

Рассмотрим функцию и = f(P), РÎDÌRn или, что то же самое,

и = f( х1, х2, ..., хп).

Зафиксируем значения переменных х2, ..., хп, а переменной х1 дадим приращение Dх1. Тогда функция и получит приращение , определяемое равенством

= f (х1+Dх1, х2, ..., хп) – f( х1, х2, ..., хп).

Это приращение называют частным приращением функции и по переменной х1.

 

Определение 7.1. Частной производной функции и = f( х1, х2, ..., хп) по переменной х1 называется предел отношения частного приращения функции к приращению аргумента Dх1 при Dх1® 0 (если этот предел существует).

Обозначается частная производная по х1 символами

, , , , .

Таким образом, по определению

Аналогично определяются частные производные по остальным переменным х2, ..., хп. Из определения видно, что частная производная функции по переменной хi – это обычная производная функции одной переменной хi, когда остальные переменные считаются константами. Поэтому все ранее изученные правила и формулы дифференцирования могут быть использованы для отыскания производной функции нескольких переменных.

Например, для функции u = x3 + 3xyz2 имеем

Таким образом, если функция нескольких переменных задана явно, то вопросы существования и отыскания ее частных производных сводятся к соответствующим вопросам относительно функции одной переменной – той, по которой необходимо определить производную.

Рассмотрим неявно заданную функцию. Пусть уравнение F(x, y) = 0 определяет неявную функцию одной переменной х. Справедлива

Теорема 7.1.

Пусть F(x0, y0) = 0 и функции F(x, y), F¢х(x, y), F¢у(x, y) непрерывны в некоторой окрестности точки (х0 , у0), причем F¢у(x0, y0) ¹ 0. Тогда функция у, заданная неявно уравнением F(x, y) = 0, имеет в точке (x0, y0) производную, которая равна

.

Если условия теоремы выполняются в любой точке области DÌ R2, то в каждой точке этой области .

Например, для функции х3 –2у4 + ух + 1 = 0 находим

.

Пусть теперь уравнение F(x, y, z) = 0 определяет неявную функцию двух переменных. Найдем и . Так как вычисление производной по х производится при фиксированном (постоянном) у, то в этих условиях равенство F(x, y=const, z) = 0 определяет z как функцию одной переменной х и согласно теореме 7.1 получим

.

Аналогично .

Таким образом, для функции двух переменных, заданной неявно уравнением , частные производные находят по формулам: ,

 

Рассмотрим функцию z = f(x, y). Пусть существуют производные = fх¢(x, y) и = fу¢(x, y). Так как эти производные сами являются функциями двух переменных, то можно поставить вопрос об их частных производных. Если такие производные существуют, то их называют частными производными второго порядка от функции z = f(x, y) и обозначают

, , , .

Производные и называются смешанными производными второго порядка. Наряду с приведенными обозначениями используются также обозначения

, , , .

 

...





Читайте также:
Решебник для электронной тетради по информатике 9 класс: С помощью этого документа вы сможете узнать, как...
Пример художественного стиля речи: Жанры публицистического стиля имеют такие типы...
Определение понятия «общество: Понятие «общество» употребляется в узком и широком...

Поиск по сайту

©2015-2022 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-10-25 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту:


Мы поможем в написании ваших работ!
Обратная связь
0.012 с.