Графоаналитический метод гармонического анализа несинусоидального тока заключается в том, что по заснятой осциллограмме определяют состав и порядок гармонических составляющих, их амплитуду и начальную фазу по отношению к исследуемой кривой или к основной гармонике. Могут быть также определены амплитудное и действующее значение несинусоидальной величины, а также коэффициенты искажений, несинусоидальности и другие несинусоидальные функции.
Графический метод определения гармоник основан на приближенном определении коэффициентов Эйлера ряда Фурье, на замене определенного интеграла суммой конечного числа слагаемых площадей. То есть площадь, ограниченную раскладываемой кривой определяют не интегрированием, а суммированием n-го количества приближенных площадей. С этой целью период функции f (х), равный 2 л, разбивают на n равных частей D x:
и интегралы заменяют суммами.
По определению, постоянная составляющая
или
где р - текущий индекс; он пробегает значения от 1 до п;
f p(x) - значение функции f(x) при х = (р - 0,5)D x, то есть в середине р-го интервала.
Амплитуда синусной составляющей k -гармоники ряда
или
амплитуда косинусной составляющей k -гармоники
Здесь sin p kx и cos p kx - соответственно значения функций sin kx и cos kx при х = (p - 0,5) D x, то есть в середине р- го интервала.
При расчетах по приведенным формулам обычно достаточно разделить период на п = 24 частей.
Перед тем как производить графическое разложение в ряд, необходимо выяснить, не обладает ли раскладываемая функция симметрией относительно осей координат. Наличие того или иного вида симметрии позволяет до проведения разложения предсказать, какие гармоники следует ожидать. Так, если кривая f (х) симметрична относительно оси абсцисс, то постоянная составляющая А о и все четные гармоники отсутствуют, а вычисляя А'k и A" k при нечетных k, следует учесть, что сумма f р (х) sin p kx за первый полупериод равна сумме
f р (х) sinp kx за второй полупериод.
|
Знак углов yk в формулезависит от знаков А'k и А"k. При построении гармоник на общем графике необходимо учитывать, что масштаб по оси абсцисс для k -гармоники должен быть взят в k раз большим, чем для первой гармоники.
Рис. 4. Графическое разложение кривой в ряд Фурье.
Tак, например, если некоторый отрезок по оси абсцисс для первой гармоники выражает собой угол л/3, то тот же отрезок для третьей гармоники выражает собой угол, в 3 раза больший, то есть:
Определим первую и третью гармоники функции f (х),изображенной на рис.4. а. Значения ординат функции f p(х) за первый полупериод при разбивке периода на n = 24 части следующие:
р = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
f p(x) = 7 11 13,5 15,4 17,4 20,5 25,4 32,5 27,7 19,2 10 5
Так как кривая симметрична относительно оси абсцисс, то A 0=0 и ряд будет состоять только из нечетных гармоник.
Амплитуда синусной составляющей первой гармоники
Амплитуда косинусной составляющей первой гармоники
Амплитуда синусной составляющей третьей гармоники
Амплитуда косинусной составляющей третьей гармоники
Амплитуда первой гармоники
Тангенс угла, на который начало первой гармоники смещено по отношению к началу кривой f (х),
Амплитуда и начальный угол третьей гармоники
Следовательно, если ограничиться третьей гармоникой, то
|
На рис. 4, б изображены первая и третья гармоники полученного ряда, а также результирующая (суммарная) кривая. Ее можно сопоставить с кривой рис. 9.45, а.