Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой ограниченной области (глобальный экстремум)

Лекция 9. Экстремумы функции нескольких переменных

Содержание лекций: Локальный экстремум. Необходимое и достаточное условия экстремума. Условный экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой ограниченной области.

Метод наименьших квадратов.

Локальный экстремум ФНП

 

Пусть дана функция и = f (Р), РÎDÌR ⁿ и пусть точка Р₀(а ₁, а ₂,..., а_п) – внутренняя точка множества D.

Определение 9.4.

1) Точка Р₀ называется точкой максимума функции и = f (Р), если существует окрестность этой точки U(P₀) Ì D такая, что для любой точки Р(х ₁, х ₂,..., х_п)Î U(P₀), Р¹Р₀, выполняется условие f (P) £ f (P₀). Значение f (P₀) функции в точке максимума называется максимумом функции и обозначается f (P₀) = max f (P).

2) Точка Р₀ называется точкой минимума функции и = f (Р), если существует окрестность этой точки U(P₀)Ì D такая, что для любой точки Р(х ₁, х ₂,..., х_п)ÎU(P₀), Р¹Р₀, выполняется условие f (P) ³ f (P₀). Значение f (P₀) функции в точке минимума называется минимумом функции и обозначается f (P₀) = min f (P).

Точки минимума и максимума функции называются точками экстремумов, значения функции в точках экстремумов называются экстремумами функции.

Как следует из определения, неравенства f (P) £ f (P₀), f (P) ³ f (P₀) должны выполняться только в некоторой окрестности точки Р₀ , а не во всей области определения функции, значит, функция может иметь несколько однотипных экстремумов (несколько минимумов, несколько максимумов). Поэтому определенные выше экстремумы называют локальными (местными) экстремумами.

Теорема 9.1.(необходимое условие экстремума ФНП)

Если функция и = f (х ₁, х ₂,..., х_п) имеет экстремум в точке Р₀, то ее частные производные первого порядка в этой точке либо равны нулю, либо не существуют.

Доказательство. Пусть в точке Р₀(а ₁, а ₂,..., а_п) функция и = f (P) имеет экстремум, например, максимум. Зафиксируем аргументы х ₂,..., х_п, положив х ₂= а ₂,..., х_п = а_п. Тогда и = f (P) = f ₁((х ₁, а ₂,..., а_п) есть функция одной переменной х ₁. Так как эта функция имеет при х ₁ = а ₁ экстремум (максимум), то f ₁¢=0или не существует при х ₁= а ₁ (необходимое условие существования экстремума функции одной переменной). Но , значит или не существует в точке Р₀ – точке экстремума. Аналогично можно рассмотреть частные производные по остальным переменным. ЧТД.

Точки области определения функции, в которых частные производные первого порядка равны нулю или не существуют, называются критическими точками этой функции.

Как следует из теоремы 9.1, точки экстремума ФНП следует искать среди критических точек функции. Но, как и для функции одной переменной, не всякая критическая точка является точкой экстремума.

 

Теорема 9.2.(достаточное условие экстремума ФНП)

Пусть Р₀ – критическая точка функции и = f (P) и – дифференциал второго порядка этой функции. Тогда

а) если d ² u (P₀) > 0 при , то Р₀ – точка минимума функции и = f (P);

б) если d ² u (P₀) < 0 при , то Р₀ – точка максимума функции и = f (P);

в) если d ² u (P₀) не определен по знаку, то Р₀ не является точкой экстремума;

Эту теорему рассмотрим без доказательства.

Заметим, что в теореме не рассмотрен случай, когда d ² u (P₀) = 0 или не существует. Это означает, что вопрос о наличие экстремума в точке Р₀ при таких условиях остается открытым – нужны дополнительные исследования, например, исследование приращения функции в этой точке.

В более подробных курсах математики доказывается, что в частности для функции z = f (x, y) двух переменных, дифференциал второго порядка которой есть сумма вида

исследование наличия экстремума в критической точке Р₀ можно упростить.

Обозначим , , . Составим определитель

.

Оказывается:

d ² z > 0 в точке Р₀, т.е. Р₀ – точка минимума, если A (P₀) > 0 и D(Р₀) > 0;

d ² z < 0 в точке Р₀, т.е. Р₀ – точка максимума, если A (P₀) < 0, а D(Р₀) > 0;

если D(Р₀) < 0, то d ² z в окрестности точки Р₀ меняет знак и экстремума в точке Р₀ нет;

если же D(Р₀) = 0, то также требуются дополнительные исследования функции в окрестности критической точки Р₀.

Таким образом, для функции z = f (x, y) двух переменных имеем следующий алгоритм (назовем его «алгоритмом D») отыскания экстремума:

1) Найти область определения D(f) функции.

2) Найти критические точки, т.е. точки из D(f), для которых и равны нулю или не существуют.

3) В каждой критической точке Р₀ проверить достаточные условия экстремума. Для этого найти , где , , и вычислить D(Р₀) и А (Р₀).Тогда:

если D(Р₀) >0, то в точке Р₀ есть экстремум, причем, если А (Р₀) > 0 – то это минимум, а если А (Р₀) < 0 – максимум;

если D(Р₀) < 0, то в точке Р­₀ нет экстремума;

Если D(Р₀) = 0, то нужны дополнительные исследования.

4) В найденных точках экстремума вычислить значение функции.

Пример1.

Найти экстремум функции z = x ³ + 8 y ³ – 3 xy.

Решение. Область определения этой функции – вся координатная плоскость. Найдем критические точки.

, , Þ Р₀(0,0), .

 

Проверим выполнение достаточных условий экстремума. Найдем

= 6 х, = -3, = 48 у и = 288 ху­ – 9.

Тогда D(Р₀) = 288×0×0 – 9 = -9< 0, значит, в точке Р₀ экстремума нет.

D(Р₁) = 36-9>0 – в точке Р₁ есть экстремум, а так как А (Р₁) = 3 >0, то этот экстремум – минимум. Значит, min z = z (P₁) = .

Пример 2.

Найти экстремум функции .

Решение: D(f) =R². Критические точки: ; не существует при у = 0, значит Р₀(0,0) – критическая точка данной функции.

= 2, = 0, = , = , но D(Р₀) не определено, поэтому исследование его знака невозможно.

По этой же причине невозможно применить теорему 9.2 непосредственно – d ² z в этой точке не существует.

Рассмотрим приращение функции f (x, y) в точке Р₀. Если D f = f (P) – f (P₀)>0 " Р, то Р₀ точка минимума, если же D f < 0, то Р₀ – точка максимума.

Имеем в нашем случае

D f = f (x, y) – f (0, 0) = f (0+D x,0+D y) – f (0, 0) = .

При D x = 0,1 и D y = -0,008 получим D f = 0,01 – 0,2 < 0, а при D x = 0,1 и D y = 0,001 D f = 0,01 + 0,1 > 0, т.е. в окрестности точки Р₀ не выполняются ни условие D f <0 (т.е. f (x, y) < f (0, 0) и значит, Р₀ – не точка максимума), ни условие D f >0 (т.е. f (x, y) > f (0, 0) и тогда Р₀ – не точка минимума). Значит, по определению экстремума, данная функция экстремумов не имеет.

Условный экстремум.

Рассмотренный экстремум функции называют безусловным, так как на аргументы функции не налагаются никакие ограничения (условия).

Определение 9.2. Экстремум функции и = f (х ₁, х ₂,..., х_п), найденный при условии, что ее аргументы х ₁, х ₂,..., х_п удовлетворяют уравнениям j₁(х ₁, х ₂,..., х_п) = 0, …, j _т (х ₁, х ₂,..., х_п) = 0, где P (х ₁, х ₂,..., х_п) Î D(f), называется условным экстремумом.

Уравнения j _k (х ₁, х ₂,..., х_п) = 0, k = 1, 2,..., m, называются уравнениями связи.

Рассмотрим функции z = f (x, y) двух переменных. Если уравнение связи одно, т.е. , то отыскание условного экстремума означает, что экстремум ищется не во всей области определения функции, а на некоторой кривой , лежащей в D(f) (т.е. ищутся не самые высокие или самые низкие точки поверхности z = f (x, y), а наиболее высокие или низкие точки среди точек пересечения этой поверхности с цилиндром , рис 5).

 

Условный экстремум функции z = f (x, y) двух переменных можно найти следующим способом(метод исключения). Из уравнения выразить одну из переменных как функцию другой (например, записать ) и, подставив это значение переменной в функцию , записать последнюю как функцию одной переменной (в рассмотренном случае ). Найти экстремум полученной функции одной переменной.

Пример 3:

Найти экстремум функции при условии .

Решение. Уравнение связи есть линейное уравнение относительно переменных х и у, из которого легко выразить одну переменную через другую, поэтому будем искать условный экстремум данной функции методом исключения.

Из уравнения выразим и подставим это выражение в функцию . Получим функцию одной переменной:

,

,

.

Найдем экстремумы полученной функции . Область определения этой функции . Находим критические точки:

;

Þ ,

.

Проверим наличие экстремума в этих точках (смену знака производной при переходе через эти точки):

 

 

Из рисунка 6 видно, что в точке функция имеет максимум, а в точке эта функция имеет минимум, причем

,

.

Но точкам экстремума функции соответствуют точки одноименного условного экстремума исходной функции . Найдем координаты этих точек:

при получаем , откуда имеем точку ;

при получаем , откуда имеем точку .

Таким образом, в точке функция имеет условный максимум

,

а в точке эта функция имеет условный минимум

.

 

Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой ограниченной области (глобальный экстремум)

 

Пусть в замкнутой ограниченной области G определена непрерывная функция и = f (Р). Тогда, как отмечалось в лекции 7, функция и = f (Р) в области G имеет наибольшее и наименьшее значения, т.е. $ точки Р₁, Р₂ Î G такие, что " РÎG выполняется условие f (Р₁) < f (Р) < f (Р₂), где f (Р₁) = f (Р) и

f (Р₂) = .

Очевидно, точки Р₁ и Р₂ могут лежать как внутри области G, так и на ее границе Г. Если Р _i – внутренняя точка, то f (Р) имеет в ней локальный экстремум. Если Р _i Î Г, то это точка условного экстремума, где в роли уравнений связи выступают уравнения границы Г. Следовательно, точки глобального экстремума следует искать среди критических точек функции, лежащих внутри области и на ее границе.

Для функции z = f (x, y) двух переменных отыскание наибольшего и наименьшего значений в замкнутой ограниченной области G можно проводить по следующему алгоритму.

1) Найти область определения D(f) функции и проверить, лежит ли область G в D(f).

2) Найти критические точки функции и отобрать из них принадлежащие области G (внутренние критические точки).

На каждом из участков границы Г, используя его уравнение, найти критические точки, записав функцию z = f (x, y) как функцию одной переменной, исключив вторую переменную с помощью уравнением рассматриваемого участка границы. При этом нужно отобрать только те точки, которые принадлежат Г (граничные критические точки).

3) Найти «угловые» точки, т.е. точки соединения отдельных участков границы Г. Вычислить значения функции z = f (x, y) во всех полученных точках и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Замечание. Если область ограничена одной замкнутой линией, то, в случае действий по указанному алгоритму, к угловым точкам следует отнести точки, соответствующие концам отрезка изменения переменной, относительно которой на данной кривой записана заданная функция. Например, для функции на границе круга имеет место представление функции в виде , критическая точка у =0, а граничными точками являются точки (0, 2) и (0, –2), т.к. .

Пример 4.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x ² + y ² в области G, ограниченной линиями у = х ² – 1, у = 3.

Решение. D(z) = R². Построим область G (рис.7).

Найдем внутренние критические точки:

, отсюда Р₀(0,0) –критическая точка, причем Р₀ÎG.

Найдем граничные критические точки. Рассмотрим участок границы, определяемый равенством у = х ² – 1. На этой линии функция z = x ² + y ² может быть записана в виде

z ₁ = x ² + (х ² – 1)² = х ⁴ – х ² + 1,

тогда z ₁¢= 4 х ³ – 2 х =2 х (2 х ² – 1) = 0, откуда

х = 0, или х = .

При х = 0 имеем у = –1 (из равенства у = х ² – 1);

при х = получим у = – . Получили точки Р₁(0, -1), Р₂ и Р₃ , принадлежащие границе области G (рис.7).

На участке границы, заданном уравнением у = 3, функция z = x ² + y ² может быть записана в виде z ₂ = x ² + 9, тогда z ₂¢= 2 х = 0, откуда х = 0. Тогда получаем точку Р₄(0,3), которая также принадлежит границе области G.

Найдем «угловые» точки, для этого определим точки пересечения участков границы

Р₅(2, 3) и Р₆(–2, 3)

Вычислим значения функции во всех найденных точках.

z (P₀) = z (0,0) = 0, z (P₁) = z (0,–1) = 1,

z (P₂) = z = , z (P₃) = z =

z (P₄) = z (0,3) = 9, z (P₅) = z (2,3)= 13, z (P₆) = z (–2,3) = 13.

Значит z = z (±2,3)= 13 и .

Мы рассмотрели аналитический метод отыскания глобольного экстремума. Для функции двух переменных может быть также использован графический метод. Суть его в следующем.

Для функции z = f (x, y) строится серия линий уровня f (x, y) = С для значений C₀<C₁<C₂<...<C _n так, чтобы они проходили через заданную область G. Точка Р₁ÎG, через которую проходит линия уровня с наименьшим С_к, есть точка наименьшего значения функции в этой области, а наименьшее значение функции равно числу С_к. Точка Р₂ÎG, через которую проходит линия уровня с наибольшим С _т, есть точка наибольшего значения функции в области G, а наибольшее значение функции равно С _т.

Пример.5

Найти графически наибольшее и наименьшее значения функции

z = x ² + y – 1 в области G = { y = 0, x = 1, y = x + 1}.

Решение. Построим область G, это треугольник АВМ.

Линии уровня заданной функции имеют уравнения x ² + y – 1 = С. Это есть параболы y = (1 +С) – x ². Построим серию этих парабол. Имеем

С₁ = –2, у = –1– x ²,

С₂ = –1, у = – x ²,

С₃ = 0, у = 1– x ²,

С₄ = 1, у = 2 – x ², и т.д.

Очевидно, первая точка, через которую линии уровня с возрастанием С «входят» в область, это точка (0,0). Значит, это и есть точка наименьшего значения функции, а так как на линии уровня, проходящей через эту точку, С = –1, то

.

Последняя точка области G, через которую пройдут линии уровня при возрастании С, будет вершина В треугольника АВМ, ее координаты (1,2), значит, z = z (1, 2) = 2.

Замечание.

Если z = f (x, y) – линейная функция, то достаточно построить одну линию уровня, а затем передвигать ее параллельно себе в направлении градиента функции. Точка входа в область (или точка выхода при движении в направлении, противоположном направлению градиента) будет точкой наименьшего значения, а точка выхода – точкой наибольшего значения функции в заданной области.

Пример 6.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x + y в области G, ограниченной линиями у = х, у = (х – 2)².

Решение. Построим область G. Функция z = x + y – линейная, значит, ее градиент в любой точке области определения сохраняет направление и равен grad z = = (1, 1).

Рассмотрим одну из линий уровня заданной функции

х + у = С,

А

например, при С=0, т.е. х + у = 0, и построим ее.

Заметим, что grad z перпендикулярен линии уровня х + у =0. Двигая линию уровня в направлении градиента, найдем точку А входа линий уровня в область G и точку В выхода линий из области. Точка В есть точка пересечения линий, образующих границу области:

Þ В(4,4).

Точка А – это точка кривой у = (х – 2)², в которой касательная параллельна прямой х + у =0, т.е. прямой у = – х. Тогда угловые коэффициенты этой прямой и касательной совпадают Угловой коэффициент прямой у = – х равен k = –1, а для касательной k = 2(x – 2).

Из равенства 2(x – 2) = –1 находим х = , тогда у = , таким образом, . Тогда , а .