Содержание
Введение 3
Постановка задачи 4
Уравнения равновесия 5
Решение уравнений равновесия 12
Заключение 16
Список использованной литературы 17
Введение
Актуальным направлением научно-технического прогресса является развитие и широкое использование возможностей современных высокопроизводительных компьютеров, сетей мультипрограммных ЭВМ и на этой основе - применение математических методов моделирования в научных исследованиях. Развитие вычислительной техники в Республике Беларусь приводит к необходимости создания систем и сетей ЭВМ, эффективно обслуживающих запросы различных пользователей. Благодоря задачам, связанным с математическим моделированием мультипрограммных вычислительных систем и анализом их производительности, с проектированием и анализом сетей передачи данных и сетей ЭВМ теория сетей массового обслуживания (СМО) является сравнительно новым и быстро развивающимся разделом теории массового обслуживания.
Исходным материалом для аналитического исследования СМО является стационарное (инвариантное) распределение вероятностей состояний. Ввиду сложности и многомерности случайных процессов, описывающих функционирование таких сетей, большинство аналитических результатов связано с получением стационарного распределения в форме произведения множителей, характеризующих стационарное распределение отдельных узлов сети.
Актуальным вопросом, связанным с исследованием СМО является доказательство инвариатности стационарного распределения таких сетей относительно функционального вида распределений длительности обслуживания в узлах, позволяющее при проектировании и эксплуатации реальных сетей, считать, что обслуживание в узлах имеет наиболее простое для анализа распределение - экспоненциальное.
|
Постановка задачи
Сеть состоит из двух приборов, на каждый из которых поступает простейший поток с параметрами и
соответственно. В случае, если прибор занят, заявка, поступающая на него выбивает заявку находящуюся на приборе, и та становится в очередь на дообслуживание. После обслуживания на I приборе заявка с вероятностью
уходит из сети, а с вероятностью
поступает на II прибор. Аналогично, после обслуживания на II приборе заявка с вероятностью
уходит из сети, а с вероятностью
поступает на I прибор.
Пусть - число заявок в очереди на I приборе,
- число заявок в очереди на II приборе,
- функция распределения времени обслуживания
-ой заявки на I приборе,
- функция распределения времени обслуживания
-ой заявки на II приборе. Предполагается, что
=
=
Требуется доказать, что стационарное распределение не зависит от вида функций распределения времени обслуживания
. При этом можно считать, что
,
где
,
,
т.е. когда - экспоненциальны.
Уравнения равновесия
Введем случайный процесс
,
где - число заявок в очереди на I приборе в момент времени
,
- число заявок в очереди на II приборе в момент времени
,
-время, которое еще будет дообслуживаться заявка с момента
, стоящая i-ой в очереди I прибора,
-время, которое еще будет дообслуживаться заявка с момента
, стоящая j-ой в очереди II прибора.
Пусть существует стационарное эргодическое распределение процесса и процесса
, т.к. процесс
- это процесс
, дополненный непрерывными компонентами до того, чтобы быть марковским.
|
Изучим поведение процесса в устойчивом режиме. Пусть
Введем в рассмотрение событие А, состоящее в том, что
а) Предположим, что за время от до
не было поступления требований. Тому, чтобы
не изменило за время
своего значения и при этом выполнилось событие А, отвечает выражение:
б) Тому, что за время от до
на 1-ом приборе обслужена заявка и ушла из сети, отвечает слагаемое:
Тому, что за время от до
на 2-ом приборе обслужена заявка и ушла из сети, отвечает слагаемое:
в) Тому, что за время от до
на 1-ый прибор поступила заявка. Количество времени на дообслуживание этой заявки должно быть не больше, чем
, где
- определяется моментом поступления заявки внутри интервала
. Этому случаю отвечает слагаемое:
Тому, что за время от до
на 2-ой прибор поступила заявка. Количество времени на дообслуживание этой заявки должно быть не больше, чем
, где
- определяется моментом поступления заявки внутри интервала
. Этому случаю отвечает слагаемое:
г) Если в интервале заявка окончила свое обслуживание на I приборе и перешла на II, то время на ее дообслуживание II прибором должно быть не больше, чем
, где
- определяется моментом поступления заявки внутри интервала
.
Если в интервале заявка окончила свое обслуживание на II приборе и перешла на I, то время на ее дообслуживание I прибором должно быть не больше, чем
, где
- определяется моментом поступления заявки внутри интервала
.
|
Наконец, остальные случаи, благодаря событию А сводятся к тому, что за время либо поступало, либо обслужено более одной заявки, или заявки поступали и обслуживались. Для простейшего входящего потока вероятность поступления двух и более заявок за время
есть
. Если же мы будем рассматривать слагаемые, соответствующие возможности окончания обслуживания в сочетании с поступлением заявок, то, очевидно, что эти слагаемые есть
. Таким образом, приходим к следующим соотношениям:
Вводя обозначение
и учитывая, что
,
последнее соотношение перепишется в виде
Рассматривая все слагаемые в последнем соотношении как сложные функции от , разлагаем их в ряд Тейлора в окрестности 0 с остаточным членом в форме Пеано:
.
После чего приводим подобные слагаемые и устремляем к
. Тогда вводя обозначение
и учитывая, что
,
,
,
получаем, что свободные члены сократились, а слагаемые, содержащие своим сомножителем образуют уравнениям равновесия.
Таким образом, приходим к уравнениям равновесия:
.
Решение уравнений равновесия
Покажем, что удовлетворяет нашим уравнениям равновесия, где
- решение для случая, когда
и
- экспоненциальны, т.е.
,
.
Для этого распишем все частные производные функции .
.
С учетом вида функции уравнения равновесия перепишутся в виде
.
Подставив в это уравнение и, учитывая, что
приходим к выводу, что функция
.
есть неотрицательное, абсолютно-непрерывное решение исходных уравнений равновесия.
Отсюда следует, что стационарное распределение не зависит от вида функций распределения времени обслуживания
и
, поскольку
, при этом можно считать, что
,
где
,
,
т.е. когда и
- экспоненциальны.
Заключение
Таким образом, для рассматриваемой сети массового обслуживания установлена инвариантность стационарного распределения относительно функционального вида распределений длительности обслуживания в узлах, т.е. установили, что стационарное распределение не зависит от вида функций распределения времени обслуживания
и
, если известно, что для них выполняется следующие ограничения:
=
=
При этом, можно считать, что функции распределения времени обслуживания и
имеют экспоненциальный вид.
Список использованной литературы
1. Буриков А.Д., Малинковский Ю.В., Маталыцкий М.А.//Теория массового обслуживания: Учебное пособие по спецкурсу.-Гродно: 1984г.-108с.
2. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. // Введение в теорию массового обслуживания.-Москва: Наука. 1966г.-432с.