Метод анализа иерархий (метод Т. Л. Саати)

Метод Саати состоит в декомпозиции проблемы на все более простые составные части и дальнейшей обработке последовательности суждений ЛПР по парным сравнениям. В результате может быть выра­жена относительная степень (интенсивность) взаимодействия элемен­тов в иерархии проблемы. МАИ включает в себя процедуры декомпози­ции проблемы, синтеза множественных суждений эксперта, получения приоритетных критериев и нахождения альтернативных решений. Метод базируется на следующих принципах:

1 Принцип идентичности и декомпозиции. Данный принцип пре­дусматривает структурирование проблемы в виде иерархии или сети, что является первым этапом применения МАИ. Иерархия считается по­лной, если каждый элемент заданного уровня связан со всеми элеме­нтами последующего уровня. Простейшая полная иерархия проблемы многокритериального выбора включает в себя следующие три уровня (рисунок 1):

 

Рисунок 1 – Иерархия проблемы

2 Принцип дискриминации и сравнительных суждений. Чтобы ус­тановить приоритеты критериев, получить оценки для альтернативных решений в МАИ используется метод парных сравнений: строятся мат­рицы парных сравнений

 

,

где , -– «вес» i -того элемента иерархии. Очевидно, что

.

При заполнении матриц парных сравнений ЛПР рекомендуется пользоваться следующей шкалой относительной важности для (таблица 1):

 

Таблица 1 – Шкала относительной важности

 

	Пояснения
	Равная важность сравниваемых элементов иерархии
	Умеренное превосходство i-го элемента иерархии над j-ым
	Существенное или сильное пре­восходство i -го элемента
	Значительное превосходство i-го элемента
	Очень значительное превосходство i-го элемента
2, 4, 6, 8	Промежуточные степени превосходства

 

Следует помнить, что между собой сравниваются элементы принадлежащие к одному уровню иерархии, сравнение происходит по степени их соответствия конкретному элементу вышестоящего уровня.

Таким образом, для проблемы, обладающей, приведенной выше, простой иерархией, необходимо будет составить N +1 матрицу парных сравнений (одну – для сравнения элементов второго уровня, т. е – критери­ев, по степени их важности для ЛПР при достижении цели, и N матриц – для сравнения элементов третьего уровня, т. е. альтернативных решений, по степени их соответствия каждому из N критериев).

3 Принцип синтеза приоритетов. Итак, будем считать, что построены матрицы парных сравнений: одна для второго уровня иерархии, а на каждом последующем уровне – столько матриц парных сравнений, сколько элементов содержит предшествующий уровень иерархии. Какую информацию содержат эти матрицы?

Для каждой матрицы мы можем рассчитать локальные приоритеты сравниваемых элементов. Каждой строке матрицы, а, следовательно, соответствующему элементу, ставим в соответствие геометрическое среднее ее элементов. Суммируя полученные результаты, делим гео­метрические средние каждой из строк матрицы на эту сумму.

В результате получаем локальные приоритеты соответствующих сравниваемых элементов.

Важно также вычислить так называемый индекс согласованности (ИС) суждений по каждой матрице

(1)

где n – размерность матрицы, а считается следующим образом: вначале суммируется каждый столбец суждений, затем сумма первого столбца умножается на величину первой компоненты нормализованного вектора приоритетов, сумма второго столбца на вторую компоненту и т. д., затем полученные числа суммируются.

Теперь необходимо сравнить ИС с той величиной, которая полу­чилась бы при случайном выборе суждений по нашей шкале: 1/9...9. Значения этой величины – случайной согласованности (СС) представлены в таблице 2:

 

Таблица 2 – Случайная согласованность

 

Размер матрицы
Случайная согласованность			0,58	0,9	1,12	1,24	1,32	1,41	1,45	1,49

 

Определяя ИС и СС, находим отношение согласованности

 

(2)

Если для конкретной матрицы окажется, что ОС > 0,17, то мож­но утверждать, что суждения эксперта, на основе которых заполнена исследуемая матрица, сильно разсогласованы, и ему надлежит запол­нить матрицу заново, более внимательно используя при этом шкалу парных сравнений.

Теперь обратимся непосредственно к принципу синтеза приори­тетов. Приоритеты синтезируются, начиная со второго уровня вниз.

Локальные приоритеты альтернатив перемножаются на приоритеты со­ответствующих критериев предшествующего уровня и суммируются по каждому элементу в соответствии с критериями.

Приоритеты элементов второго уровня умножаются на единицу.

 

Использование метода МАИ может быть проиллюстрировано на следующем примере.

Предположим, что некоторая крупная преуспевающая фирма ставит перед собой цель строительства своего филиала в одной из стран с так называемой «переходной экономикой».

Пусть в качестве таковых определены Египет, Турция, Хорватия, Беларусь и Россия.

Цель строительства: получение доступа к зарубежным рынкам сбыта и снижение издержек производства за счет более низкой опла­ты труда в этих странах.

При этом не сбрасываются со счета и по­тенциальные издержки: некоторая потеря контроля за управлением, преобладание неквалифицированной рабочей силы, риск изменения политических и экономических условий в выбранной стране.

 

 

Воспользовавшись методом Саати для решения данной проблемы, надлежит, в первую очередь, четко определить те потенциальные выго­ды и издержки, которые необходимо учитывать.

 

Допустим, что в ре­зультате получены следующие иерархии выгод и издержек (рисунки 2 и 3):

 

 

Рисунок 2 – Иерархия выгод

 

Рисунок 2 – Иерархия издержек

 

После создания иерархии проблемы необходимо приступить к заполнению матриц парных сравнений. Матрица парных сравнений для второго уровня первой иерархии имеет следующий вид (предположим, что эксперт фирмы заполнил ее с учетом интересов и суждений своих и руководства) (таблица 3):

 

Таблица 3 – Матрица парных сравнений для второго уровня

 

Сравнение выгод	Экономические выгоды	Управленческие выгоды
Экономические выгоды
Управленческие выгоды	1/3

 

Из вида заполненной матрицы следует, что эксперт при решении про­блемы отдает предпочтение (хотя и незначительное) достижению эко­номических выгод перед управленческими. После этого для данной матрицы по описанной выше методике рассчитываются локальные прио­ритеты и ее согласованность. Приведем здесь незаполненные матрицы парных сравнений для третьего уровня критериев (таблицы 4 и 5):

 

Таблица 4 – Матрица парных сравнений для третьего уровня

 

Важность критерия при достижении экономических выгод	Дешевая рабочая сила	Финансовая помощь стра­ны-хозяина	Близость к рынку	Сила валюты страны
Дешевая рабочая сила
Финансовая помощь страны-хозяина
Близость к рынку
Сила валюты страны-хозяина

 

 

Таблица 5 – Матрица парных сравнений для третьего уровня

 

Важность критерия при достижении уп­равленческих выгод	Знание мест­ных условий рынка	Несущественное вмешательство государства	Надежность транспортных коммуникаций
Знание местных усло­вий рынка
Несущественное вме­шательство государ­ства
Надежность транспор­тных коммуникаций

 

 

Что касается последнего – четвертого уровня, то для него необхо­димо составить семь (по числу критериев – элементов вышестоящего уровня) матриц для сравнения альтернатив – государств предполага­емого строительства филиала по степени их соответствия каждому критерию (таблицы 6 и 7).

 

Таблица 6 – Матрица парных сравнений для четвертого уровня

 

Дешевая рабочая сила	Египет	Турция	Хорватия	Беларусь	Россия
Египет
Турция
Хорватия
Беларусь
Россия

 

Таблица 7 – Матрица парных сравнений для четвертого уровня

 

Надежность транспортных коммуникаций	Египет	Турция	Хорватия	Беларусь	Россия
Египет
Турция
Хорватия
Беларусь
Россия

 

После того как все эти матрицы будут заполнены, будет прове­рена согласованность суждений эксперта при заполнении каждой из них и в случае удовлетворительного значения ОС по этим матрицам будут рассчитаны локальные приоритеты сравниваемых объектов. Зная локальные приоритеты всех элементов иерархии, можно переходить к этапу синтеза глобальных приоритетов. Таким образом, будут получе­ны глобальные приоритеты стран-альтернатив с точки зрения выгод строительства в них филиала фирмы.

Повторяя описанные выше действия для иерархии издержек, по­лучим глобальные приоритеты стран-альтернатив с точки зрения воз­можных издержек строительства филиала. И, наконец, вычислив отно­шения приоритетов выгод к приоритетам издержек по каждой из стран, определим ту страну, для которой это отношение является максимальным. Это и будет та страна, которая в наибольшей степени удовлетворяет требованиям фирмы.

Данный подход, основанный на методе МАИ, опирается на рас­смотрение доходов и издержек одновременно. Это выгодно отличает его от подходов, опирающихся в основном лишь на учет доходов. Но еди­нственный критерий величины доходов – не очень подходящая основа для сравнения, поскольку, чем больше ресурсов будет потрачено, тем больше могут быть доходы. Однако ресурсы в большинстве случаев ограничены. С другой стороны, если специалисты по планированию, оценивая возможные проекты, выбирают лишь те из них, которые тре­буют минимальных инвестиций, то можно скатиться к подходу «ничего неделания» или, что более реально, производить незначительные дей­ствия, не способствующие существенным прогрессивным сдвигам (рисунок 4):

 

 

Рисунок 4 – Иерархия издержек пересечения реки

 

Рассмотрим в качестве примера еще одну проблему. Допустим, что перед неким правительственным комитетом, в ведении которого находится проблема строительства мостов и туннелей, встал вопрос: построить или нет туннель или мост через крупную реку, на которой в настоящее время работает частный паром. Допустим, что эксперты комитета, комплексно подходя к решению данной проблемы, опираясь на метод МАИ, сумели разработать следующие иерархии (рисунок 4). После применения процедуры метода Саати решение может быть рекомендовано к принятию после сравнения выгод и издержек по каж­дому из возможных решений. Уточним понимание конкретных выгод и издержек, приведенных в иерархиях.

Выгоды. Экономические факторы, влияющие на выбор, содержат выгоды, связанные с выигрышем во времени при передвижении по но­вому мосту или туннелю, по сравнению со временем переправы на па­роме. Увеличение транспортного потока в районе может также прине­сти ощутимый доход от эксплуатации дорог при введении платы за проезд, что положительно должно сказаться на местном бюджете. Бо­лее интенсивное движение будет способствовать и развитию торговли как в окрестностях моста, так и вдоль всей дороги, будут построе­ны новые бензоколонки, магазины и рестораны. Возникнет также воз­можность дополнительного привлечения местного населения на строи­тельные работы. Нельзя сбрасывать со счетов и социальные выгоды проекта: мост или туннель может обеспечить большую безопасность и надежность переправы по сравнению с паромом, а также будет способствовать большему количеству пересечений реки для посещения род­ственников, друзей, в целях посещения музеев, выставок и т. д. Строительство моста или туннеля может привести также к повышению статуса населенного пункта. Выгоды среды напрямую связаны с соци­альными выгодами и большим психологическим комфортом жителей.

Издержки. Как и выгоды, издержки, связанные с выбором той или иной альтернативы переправы через реку, включают факторы эко­номического и социального плана, а также факторы среды. Основные экономические издержки: капитальные вложения на строительство, за­траты на управление и эксплуатацию, а также последствия свертыва­ния уже налаженного паромного бизнеса. При планировании социаль­ных последствий следует просчитать возможность отрицательного влияния последствий разрушения существующего стиля жизни. Издерж­ки, связанные со средой, должны учитывать возможный вред, причи­няемый экосистеме каждой из альтернатив.

Допустим, что при вычислении приоритетов альтернативных про­ектов экономические факторы имели больший приоритет и глобальные приоритеты по выгодам и издержкам следующие (таблица 8):

 

Таблица 8 – Глобальные приоритеты по выгодам и издержкам

 

Глобальные приоритеты	Мост	Туннель	Паром
Выгода	0,57	0,36	0,07
Издержки	0,36	0,58	0,05

 

В предыдущем примере при выборе проектов мы опирались на критерий «стоимость – эффективность», определяя проект с наиболь­шим отношением выгод к издержкам. В данной задаче таким проектом является строительство моста. Однако, поскольку паромная перепра­ва уже существует, то представляется также важным учесть критерий сравнения приращения выгод (0,57 – 0,07) с приращением издержек (0,36 – 0,05), т. е. имеем 0,5 / 0,36 > 0,07 / 0,05.

Таким образом, с точки зрения этого подхода, строительство моста – наиболее пред­почтительная из всех альтернатив.

Для решения более сложных проблем, иерархия которых не может быть сведена к 3-х или 4-х уровневой структуре, возможна следую­щая их декомпозиция по иерархии.

В вершине иерархии устанавливается единственный элемент – фокус – формулировка исследуемой проблемы.

Во второй (не обязательный) уровень следует включать различ­ные экономические, политические и социальные силы, влияющие на исход.

Третий уровень – факторы, которые реально влияют на ситуацию путем манипулирования этими силами.

Четвертый уровень – преследуемые цели каждого фактора.

Пятый (не обязательный) уровень включает политики факторов, посредством которых они пытаются достичь своих целей.

Шестой уровень – альтернативные возможные сценарии или ис­ходы, за которые борется каждый фактор ради достижения своих це­лей.

Седьмой уровень – обобщенный исход как результат реализации и взаимодействия возможных альтернативных сценариев развития про­блемы