Введение
Проникновение математики в экономическую науку связано с преодолением значительных трудностей. В этом отчасти была "повинна" математика, развивающаяся на протяжении нескольких веков в основном в связи с потребностями физики и техники. Но главные причины лежат все же в природе экономических процессов, в специфике экономической науки.
Большинство объектов, изучаемых экономической наукой, может быть охарактеризовано кибернетическим понятием сложная система.
Наиболее распространено понимание системы как совокупности элементов, находящихся во взаимодействии и образующих некоторую целостность, единство. Важным качеством любой системы является эмерджентность - наличие таких свойств, которые не присущи ни одному из элементов, входящих в систему. Поэтому при изучении систем недостаточно пользоваться методом их расчленения на элементы с последующим изучением этих элементов в отдельности. Одна из трудностей экономических исследований - в том, что почти не существует экономических объектов, которые можно было бы рассматривать как отдельные (внесистемные) элементы.
Сложность системы определяется количеством входящих в нее элементов, связями между этими элементами, а также взаимоотношениями между системой и средой. Экономика страны обладает всеми признаками очень сложной системы. Она объединяет огромное число элементов, отличается многообразием внутренних связей и связей с другими системами (природная среда, экономика других стран и т.д.). В народном хозяйстве взаимодействуют природные, технологические, социальные процессы, объективные и субъективные факторы.
Сложность экономики иногда рассматривалась как обоснование невозможности ее моделирования, изучения средствами математики. Но такая точка зрения в принципе неверна. Моделировать можно объект любой природы и любой сложности. И как раз сложные объекты представляют наибольший интерес для моделирования; именно здесь моделирование может дать результаты, которые нельзя получить другими способами исследования.
Потенциальная возможность математического моделирования любых экономических объектов и процессов не означает, разумеется, ее успешной осуществимости при данном уровне экономических и математических знаний, имеющейся конкретной информации и вычислительной технике. И хотя нельзя указать абсолютные границы математической формализуемости экономических проблем, всегда будут существовать еще неформализованные проблемы, а также ситуации, где математическое моделирование недостаточно эффективно.
Ясно, что экономическая система как объект изучения методами математического анализа обладает некоторыми особенностями. Приведем некоторые общие соображения относительно математических моделей экономических систем.
Во-первых, математическое описание экономической системы должно основываться на системном подходе. Экономическое развитие есть результат взаимодействия производственных и непроизводственных процессов, связанных посредством производственных отношений людей. Все они должны быть описаны в совокупности. Однако для изучения системы часто приходится выделять ее фрагменты. Описание части системы должно опираться на описание ее как целого. Только так можно ясно представить, что мы теряем, изолируя часть экономической системы для изучения.
Во-вторых, в математическом описании экономической системы как целого особенное внимание должно быть обращено на адекватное отражение структуры обратных "связей, воплощенных в экономических механизмах регулирования. Математическая модель управляемой экономической системы должна содержать не только описание технологий процессов производства, распределения, но и описание экономических механизмов регулирования, отражающих в усредненном виде взаимодействия людей, участвующих в производстве.
В-третьих, регулирующее и программирующее воздействие государства на экономику должно быть описано математической моделью управляющей системы. В ней содержится описание алгоритма выработки управляющих воздействий и описание реализации воздействий государства на управляемую экономическую систему.
В-четвертых, достоверно описать экономическое развитие можно в терминах макропоказателей, они же обычно и наблюдаются. Описание в макропоказателях экономических механизмов регулирования отражает взаимодействия многих людей. При этом становится несущественным индивидуальное поведение каждого из них.
Еще один важный вывод: математическое описание экономического равновесия будет выражено соотношениями между макропоказателями, но макроописание должно быть результатом усреднения (агрегирования) исходного микроописания взаимодействия производственных и непроизводственных процессов через производственные отношения людей.
В-пятых, результаты математического анализа экономического развития обязательно надо сравнивать с качественными особенностями действительного процесса развития изучаемого типа системы. Модель, не отражая основных качественных особенностей развития системы в совокупности, не может считаться хорошей моделью.
Перечисленные выше общие соображения относительно математических моделей экономических систем, относятся к моделям любых экономических систем и к анализу любого типа экономического развития. Однако воплотить их в законченной математической форме пока еще не удается даже в самых простых случаях, к которым относится, например, экономика свободного рыночного типа. Поэтому в работе речь пойдет о моделях экономических систем рыночного типа, основанных на гипотезе совершенной конкуренции, которая в действительности не выполняется. Применение этих моделей оправдывает принятую схематизацию при условии, что не будут упущены наиболее характерные черты моделируемой системы.
Классический подход. Подсчет уравнений и неизвестных величин
Задача общего равновесия заключается в анализе взаимосвязи двух основных элементов микроэкономики — потребителей и фирм, в терминах цен и объемов товаров и затраченных ресурсов Взаимосвязь между основными элементами показана на рис.1 в виде круговой диаграммы потоков. Потребители, располагающие набором некоторых факторов, в том числе рабочей силой, получают доход от их продажи на рынке и используют его для приобретения товаров на рынке товаров. Фирмы используют факторы для того, чтобы произвести товары. Таким образом, в задаче общего равновесия заданными считаются вкусы и ресурсы потребителей и технологические процессы фирм-производителей.
| Товарные рынки |
| Фирмы |
| Потребители |
| Рынки факторов |
| Рис.1 |
Классический подход к общему равновесию основывается на таком методе, при котором для каждого частного потребителя и фирмы в экономике перечисляются условия равновесия и подсчитывается количество уравнений, описывающих эти состояния равновесия.
Рассмотрим экономику, производящую 
товаров (выпусков) и имеющую 
факторов (видов затрат). Пусть 
есть цена j -го товара, j =1,2,.,п, тогда вектор- строка
характеризует цены выпуска. Аналогично, обозначив через 
оплату i -го фактора, 
, получим вектор-строку
.
Предполагается, что экономика является конкурентной в том смысле, что все потребители и фирмы действуют по заданным ценам.
В экономике существует F фирм, каждая из которых производит затраты на рынке факторов для изготовления продуктов, продаваемых на рынке товаров. Пусть 
— количество первичных затрат i -го вида, «купленных» фирмой f, а 
— объем выпуска j -го продукта, продаваемого фирмой f. Тогда прибыль этой фирмы 
будет состоять из годового дохода от продажи за вычетом стоимости покупок
, 
(2.1)
Пусть 
— вектор-столбец, составленный из объемов товаров, проданных фирмой f
— вектор-столбец, составленный из объемов факторов, «купленных» фирмой f
Тогда прибыль фирмы f может быть выражена соотношением
,
Каждая фирма максимизирует сумму своей прибыли при условии выполнения ограничения в форме производственной функции, которую можно записать в общем виде неявной функцией
Сформулируем задачу для фирмы f
| (2.2) |
Функция Лагранжа для этой задачи записывается следующим образом:
где 
— множитель Лагранжа для фирмы f. Предполагается, что фирма производит продукцию каждого вида и потребляет все виды факторов. Необходимым условием максимизации прибыли при ограничении в виде производственной функцииявляется выполнение соотношений
что приводит к (n+m+1) уравнениям
| (2.3) |
с (n+m+1) неизвестными 
.Так как эти уравнения справедливы для каждой из фирм , в итоге мы получаем (n+m+1)F уравнений для задачи общего равновесия.
В экономике есть Н потребителей, каждый из которых владеет определенным фактором, как, например, рабочая сила, который он может продать на рынке факторов по заданным ценам и получить доход. Кроме этого, каждый потребитель может иметь свою долю в фирме и получать часть прибыли. Общий доход от продажи факторов и участия в деле используется на покупку товаров по заданным ценам на рынке товаров. Пусть 
обозначает количество j -го товара, купленного потребителем h, а 
— количество i -го фактора, проданного потребителем h. Тогда полезность, получаемая потребителем h, зависящая и от потребленных товаров и от предоставленных факторов, будет выражена функцией
где 
— вектор-столбец товаров, потребленных потребителем h, а 
— вектор-столбец факторов, предложенных потребителем h
,
, 
Запишем бюджетное ограничение для потребителя h
| (2.4) |
где первая сумма в левой части выражает общий доход от продажи факторов; вторая показывает доход потребителя как собственника, где shf — доля участия потребителя h в фирме f. Выражение в правой части характеризует общий расход. Участие потребителя h в фирмах обобщено вектором-строкой
а прибыль всех фирм записывается вектором-столбцом
поэтому бюджетное ограничение может быть записано в виде:
.
Таким образом, для потребителя h задача формулируется следующим образом:
| (2.5) |
при условии
Запишем функцию Лагранжа для этой задачи
где yh — множитель Лагранжа для потребителя h. Предполагается, что потребитель покупает товары всех видов и предлагает некоторое количество факторов всех видов. Необходимое условие максимизации полезности при выполнении бюджетного ограничения может быть выражено системой уравнений
что дает (n+m+1) уравнений с (n+m+1) неизвестными.
| (2.6) |
Так как эти уравнения справедливы для каждого из H потребителей (), то в итоге мы получаем (n+m+ 1) H уравнений для задачи общего равновесия.
Следующая группа уравнений связана с рыночным механизмом и устанавливает, что общая сумма спроса на любой товар или фактор должна быть равна сумме предложения этого товара или фактора. Равновесие на товарных рынках порождает n уравнений
| (2.7) |
, 
| (2.8) |
, 
.
Следовательно, описание рыночного механизма дает (т + п) уравнений.
Уравнения (2.3) для всех f, (2.4) для всех h, (2.7) и (2.8) — все вместе дают (n+m+ 1) (F+H)+m+n уравнений.
Основное равенство теории общего равновесия, закон Вальраса, утверждает, однако, что общая величина спроса должна быть равна общей величине предложения при какой-либо системе цен. Из этого вытекает, что одно из полученных уравнений не является независимым от всех остальных. Для иллюстрации закона Вальраса рассмотрим бюджетное ограничение (2.4). Проведем суммирование по всем потребителям
| (2.9) |
При этом мы воспользовались тем фактом, что сумма долей по всем потребителям для каждой фирмы должна быть равна единице, так как общая собственность владельцев каждой фирмы составляет 100%. Уравнение (2.9) означает, что общий доход всех потребителей вместе с общей прибылью всех фирм равняется общей стоимости товаров; этот вывод используется при подсчете национального дохода. Пользуясь определением прибыли (2.1), получаем
или, сгруппировав выражения
| (2.10) |
Из этого выражения закона Вальраса сразу же следует, что одно из уравнений общего равновесия зависимо от остальных. Например, предположим, что все рынки находятся в состоянии равновесия, кроме рынка последнего фактора
, 
, 
.
Подставив эти выражения в (2.10), в правой части получим нуль, так как каждое выражение вскобках обращается в нуль; все члены в левой части также будут нулями, кроме последнего; поэтому
требует равновесия на рынке последнего фактора при предположении, что значение 
ненулевое. Таким образом, последнее уравнение может быть выведено из остальных.
В соответствии с законом Вальраса мы имеем (n+m+ 1) (F+H)+(n+т-1) независимых уравнений. Теперь рассмотрим число неизвестных. Для каждой фирмы f существует набор n объемов продаваемых товаров, т покупаемых факторов и множитель Лагранжа
т. е. всего (n+m+ 1) F неизвестных. Каждого потребителя h характеризует п купленных товаров, т проданных факторов имножитель Лагранжа
, 
т. е. (n+m+ 1) H неизвестных. Наконец, существуют цены товаров и факторов
Но решение задачи (2.2) для каждой фирмы при ценах 
является также решением и при ценах 
где 
— некоторая положительная константа. Это вытекает из того, что максимизация 
эквивалентна максимизации 
. Аналогично решение задачи (2.5) для каждого потребителя при является также решением при для всех 
, так как, умножая все цены на неотрицательный коэффициент, мы умножаем на него обе стороны бюджетного ограничения. Таким образом, все функции спроса и предложения являются однородными нулевой степени при любых ценах; это означает, что множество цен можно нормировать, выбрав один выпуск или затраты в качестве единицы счета и измерив все цены относительно него. Например, выбрав первый товар в качестве единицы счета и взяв поэтому 
запишем относительные цены в виде вектора
.
Таким образом, в итоге мы получим (n+m- 1)ценностных отношений или относительных цен в качестве неизвестных, причем в данном случае все цены выражены относительно цены первого товара, общее число неизвестных поэтому (n+m+ 1) (F+H)+(n+т-1), равное числу уравнений. Конечно, равенство количества неизвестных количеству уравнений не является ни необходимым, ни достаточным условием для существования равновесия. Это также не означает, что решение, если оно существует, является «содержательным» в том смысле, что объемы покупаемых или продаваемых товаров не отрицательны. Эти недостатки классического метода преодолеваются с помощью более современных подходов к теории общего равновесия.
3. Макромодель модель равновесия рыночной экономики.
3.1. Предпосылки построения модели.
Теория экономического равновесия ведет свое начало со второй половины XIX в, с работ Л. Вальраса, поставившего задачу о взаимодействии индивидуальных разобщенных производителей и потребителей через отношения купли-продажи.
Вопрос стоял так. В условиях частной собственности каждый производитель или потребитель свою экономическую деятельность определяет в зависимости от цен на продукты и ресурсы, складывающихся на рынках. Существует ли такая система рыночных цен, при которой производители и потребители, действуя в соответствии со своими индивидуальными экономическими интересами, действовали бы вместе с тем в совокупности согласованно, т. е. совокупное производство каждого продукта было бы сбалансировано с общим спросом на этот "продукт?
Только семьдесят лет спустя задача была решена. Было показано, что такие рыночные цены существуют. Их. назвали равновесными; согласованные индивидуальные спросы и предложения тоже назвали равновесными. Экономическим равновесием назвали само состояние экономики, характеризующееся ценами, значениями индивидуальных спросов и предложений, соответствующих этим ценам, сбалансированным в совокупности.
Таким образом, равновесие есть особое, идеальное состояние рыночной экономики. Одна из важных задач экономической науки — определение условий равновесия экономики, и в том числе равновесных рыночных цен. Наиболее простые математические модели экономического равновесия строятся при следующих предположениях:
1) совершенная рыночная конкуренция, означающая отсутствие как крупных производственных корпораций (и, тем более, монополий), так и объединений работников, могущих диктовать свои условия для всей системы;
2) неизменность производственных возможностей системы: оборудование, производственные помещения, технологии не изменяются со временем;
3) неизменные во времени экономические интересы партнеров: предприниматели не пытаются увеличить свою прибыль, рабочие — зарплату, инвесторов устраивают проценты, получаемые по ценным бумагам, и т. д.
Таким образом, теория экономического равновесия решает весьма частную проблему — исследует состояние застывшей в своем развитии экономики с заданной структурой производственных отношений, воплощенной в рыночных механизмах экономического регулирования при условии так называемой совершенной рыночной конкуренции. Последнее означает, что ни один из экономических субъектов не в состоянии влиять на цены и действует в условиях заданных цен, складывающихся на рынке в результате несогласованной совместной деятельности всех субъектов. На рынке все равны, потому что каждый имеет ничтожно малую экономическую силу. Общественная иерархия замёнёна рыночным хаосом. Теория утверждает, что в этом хаосе существует равновесие, но не дает удовлетворительного объяснения, как хаос приводит к равновесию.
Надо отчетливо понимать ограниченность теории экономического равновесия, но следует помнить, что это один из первых и ранних опытов прикладной математики в новой и очень сложной сфере экономических исследований. Кроме того, в теории экономического равновесия отчетливо просматривается системный подход к анализу экономики, а это позволяет проследить взаимодействие различных экономических явлений.